Considérons maintenant les équations

et un intervalle quelconque (a, 6),

Deux cas peuvent se présenter :

Ou bien les équations

Qan(— «) = 0,

pour lesquelles il n'y a aucune racine entre a et b, sont en nombre fini; ou bien ces équations sont en nombre infini.

Dans le premier cas, nous dirons que l'intervalle (a, b) est de première espèce; dans le second cas, il est de seconde espèce.

Lorsque l'intervalle (a, b) est de première espèce il existe un nom bre V, tel que pour w > v l'équation

a toujours au moins une racine entre a et b, et cette propriété est évidemment caractéristique pour un intervalle de première espèce. Ainsi, lorsque, pour une valeur particulière de n, l'équation a deux racines entre o et 6, l'intervalle est toujours de première espèce , car les équa

lions suivantes de degrés supérieurs auront toujours au moins une racine entre ces deux racines-là.

Supposons que l'intervalle (a, b) soit de seconde espèce et, en outre, que les points a et 6 soient des points de continuité de * (m) et de toutes les fonctions q>„ (m). Il résulte de cette dernière hypothèse que :

* (a) = lim <p„ (a) ,

n = oo $ (6)=: lim (pn(b).

Je dis qu'on a nécessairement <{>(«) = * (6). En effet , supposons

<I.(a)<<l>(6), on pourra déterminer un nombre positif e tel que

D'autre part , pour toutes les valeurs de n au-dessus d'une certaine limite n > r, on a

I cpn (a) — $ (a) î < e , i cp„ (6) $ (6) |< £.

Il s'ensuit que, pour ces mêmes valeurs de w, on a

<Pn (a) < <Pn (b).

La fonction q>n (m) doit donc augmenter effectivement lorsque m croît de a jusqu'à b. Cela n'est possible que si l'équation

a au moins une racine entre a et b. Comme cela doit arriver pour toutes les valeurs de n qui surpassent v, on en conclut que l'intervalle (a, b) est de première espèce , contrairement à l'hypothèse admise. On a donc bien

Pour « > r, on aura toujours

mais , puisque ^ (a) = 4> (b) , il est évident qu'il s'ensuit

pour toutes les valeurs

C'est là un résultat important; il suppose que l'intervalle (a, b) soit de seconde espèce et que a et 6 soient des points de continuité de ^(m) et de toutes les fonctions q>n{'u). Dans le cas a = 0, l'intervalle (0, b) peut être de seconde espèce, mais voici dans quelles circonstances seulement. L'équation

ne doit jamais avoir une racine égale ou plus petite que b; car, si cela arrive, l'équation

a toujours pour n' > n une racine dans l'intervalle (0,6), qui serait ainsi de première espèce. Donc, si l'intervalle {0, 6) est de seconde espèce , on a toujours

et par conséquent * (b) = 0. Les fonctions çj» (m) et $ (m) sont identiquement nulles dans tout l'intervalle

46. Soit L un nombre positif quelconque et considérons l'intégrale

<Pn{'U)— $ (m)| du.

Entre 0 et L, j'intercale k — 1 nombres u^, u^, ..., Ma i

Mo = 0 < «1 < «2 < . . . < Mft -1 < M* = L ,

d'une façon quelconque. Je désigne par e l'étendue du plus grand des intervalles (m,i, m,), (î= 1 , 2, . . . , /f).

Pour simplifier un peu les raisonnements , je supposerai qu'aucun point Mi (i = 1 , 2 , . . . , A) ne soit racine d'une équation

Q2«(-«) = 0, ou un point de discontinuité de $ (m). Puisque l'ensemble des racines et des points de discontinuité de $ (m) peut se ranger sous la forme d'une suite infinie, il existe de tels points m, dans tout intervalle. Le point M(| = 0 n'est pas une racine, mais il peut être un point de discontinuité pour * (m). Cependant , cela ne peut jamais arriver lorsque l'intervalle (m,,, Mj) est de seconde espèce, car alors $ (m) est nulle dans tout l'intervalle.

A chaque intervalle («,i, m,) j'associe maintenant un nombre entier V, de la façon suivante. Si l'intervalle est de première espèce, je suppose que le nombre r,- est tel que, pour n > Vj, l'équation

a au moins une racine dans l'intervalle.

Si l'intervalle est de seconde espèce, je suppose que, pour «>»>, et

Ui-i^V ^ Mi,

on ait

i <Pn (M) — $ (M) i < «',

e' étant un nombre positif arbitraire , le même pour tous les intervalles de seconde espèce.

Cela étatJt, soit N le plus grand des nombres

Vl, "2. •••. »'*.

je supposerai désormais n > N, et je cherche une limite supérieure de l'intégrale

/ \<pn{U) — $(M)!dM.

Pour cela, je la décompose dans une somme de k intégrales

V f '\(p„(.u) — ^(u)\du.

Si l'intervalle (M<i,Mi) est de première espèce, la fonction <pn(u) aura au moins un saut brusque dans l'intervalle pour m = c et

Les deux intervalles

l(pn(Ui-l),(pn (Mi)] et [* (M ,• 1) , $ (M.)]

auront donc au moins un point de commun , par conséquent

ip„(Ui)^^(Ui-i), * (Mi)^9P„(Mi i).

Dans tout l'intervalle, on a évidemment

Tn (M,l) — * (M,) g <pn («) — $ (m) ^ (fn (Mi) — * (Mf-l),

et à plus forte raison

(pn(u)— * (u) ^ qjn (Ui) — <p H {l'i-l) -\- * («i) — * (".-]), 95„(m) — $(M)^9?„{Mi i) — 9?„(Mi)4- $ (Mi i) — * (m,),

c'est-à-dire

l?'» (")—*(") ^rn("i)— ?>«(». -1)+ * (M|)— 1'(Mi i).

On en conclut

/ I <pn (m) — * (m) i dZ< ^ e { çJn (W,) — g9„ (m j i) -f $ (Wj) — * («,• ])|.

Le facteur qui multiplie e est la somme des variations de fonctions ipn(u) et 4>(m) dans l'intervalle (Mi i, «<). La somme de toutes les intégrales

/li ■

"il

pour lesquelles (m,i, Ui) est un intervalle de première espèce, a donc pour limite supérieure

Oj étant la somme des variations de q>n(u) dans ces intervalles, o^ la somme des variations de * (m). Il est clair que a^ est inférieur à la variation totale de çj» (m) i c'est-à-dire à

<p„(oo) — (p„(0) = ---- "1

De même a^ est inférieure à la variation totale de $ (m) qui , elle aussi,

ne peut pas surpasser On peut donc adopter pour limite supérieure

2e de la somme considérée l'expression —

Si l'intervalle (m,i,m,) est de seconde espèce, on aura dans tout l'intervalle, à cause de la valeur de w > N ^ v,,

/ \q>n(u) — ^(u)\du<e'(Ui — Ui-i). «•1-1

La somme de toutes les intégrales de cette espèce sera donc infé-

Heure à Le', puisque la somme des intervalles est évidemment inférieure à L.

D'après cela , il est clair que nous pouvons énoncer la proposition suivante :

L,e,e' étant des nombres positifs arbitraires, il existe un nombre entier N tel que , pour » > N ,

[''\<P„(u)-<P{u)\du<^ + Le'.