Il est évident que
P2n(g) r" d(pn{u) /•" <Pn{u)dU
Q2»(«)~/ z + ^^ -j {z-\-uf '
P2n(g) r 1> (m) du /•» y» (m) — ^ (") ...
Q2„(g) j (z-\-uf~} {Z + Uf ""'
z étant un point quelconque non sur la coupure. On en conclut
P2n(g) r ^ (m) du I p \(pn{u)—<i'{u)\ ,
Q2„(g) j {z-\-nf\^J |a + M|^
La limite supérieure peut s'écrire
Adoptons deux nombres positifs s, e' et déterminons N comme dans le n" 46 , on aura , pour » > N ,
r^W.iu)-nu)\^^^lj2e X
(z) étant, comme au n" 33, le minimum de 12;-|-m|, lorsque u varie de 0 à 00.
Pour l'intégrale entre limites L et 00, j'observe que
i<P«(M) — *(m)|<— « et pour « = a + /?»>
donc
vn («) - 1» («) I ^„ ^ 1 r du^ l
du <
2 4-„|2 "'"^«1./ (u-\-af — a,(L-\-a)
en supposant que L -j- a soit positif. Il vient donc
P2n(g) r^^{u)du 1 /2£ I .A I 1
Q2„ (^) i (^ + «)' i^f Ui ra,(L + a)'
Or les nombres L, e, c' étant arbitraires (ou à peu près), il est clair que la limite supérieure peut être rendue aussi petite qu'on le voudra. Il est ainsi démontré que pour tout point z non sur la coupure, on a
lim P2n(g) ^ r *** (m) dM ^ P d $ (m)
n = ao Q2»(2) J {Z + Uf J a + M 0 0
Nous savions déjà que
tend vers une fonction holomorphe F (2); nous voyons maintenant que cette fonction peut se mettre sous la forme
Quant à l'uniformité de la convergence, il résulte de la limitation obtenue que la convergence est uniforme dans tout domaine S oïl la
partie réelle de — s et , -. est limitée supérieurement. Un tel domaine peut s'étendre à l'infini.
48. De la même façon que nous avons étudié les réduites d'ordre pair, on peut étudier les réduites d'ordre impair, et l'on trouvera
*i (m) étant encore une fonction croissante qui caractérise une certaine distribution de masse sur un axe OX.
Mais il est à peine récessaire de faire cette recherche, car le seul cas qui nous intéresse est celui où la série
est divergente; mais alors nous savons que F{z)=:F^{z), et il devient inutile de faire une recherche spéciale pour obtenir une forme analytique plus explicite de Fj (s). Les fonctions * (m) et $i (m) caractérisent alors nécessairement la même distribution d'après le théorème du n" 39. Dans le cas où la série
est convergente , il est clair que les distributions de masse caractérisées par les fonctions # (u) et ^^ (m) sont celles données par les systèmes
{vi,ei), i = 0,l,2,3,...
considérées au n" 24. Les intégrales
se réduisent alors aux séries
Nous avons vu (nO 15) que x étant réel positif, on a
(1) . F(a.)=|-| + ... + (-i)»-i^-|^^ + (-i)"Jrïï (0<^<i);
or, on a
xF{x) = r -^ d $ (m).
Il est aisé de voir que , pour a; = + oo , le second membre a pour limite
f d «> (m) = <ï' (oo ).
En effet, cette intégrale ayant une valeur finie, on peut choisir un nombre L de façon que
/co d * (m) = Cl ,
«1 étant plus petit qu'un nombre arbitraire e. On aura alors
«i étant plus petit que e. Ensuite il est clair qu'on peut prendre x assez grand pour que
ei étant plus petit que e. On aura donc
f ^^ "^ * (") =1'' d 4» (m) + e{ - e'{ =f d<^ (m) ,1 4- el «',';
or, d'après la formule (1), on a
donc
lim X F (a;) = Cq = — »
/ d*(M)=Co.
Ce point établi , nous pouvons écrire
FW=/ [ï
d * (m) = ^0 — — / — *^ (i <!. (m) , ^ ' X xj x-{-u ^ "
(2) xAF{x) — ^ = —r—r-ud^{u).
[ xi J x-^u ^ '
Nous savons que , pour x ^ oo ,
lima;2
On peut en conclure que l'intégrale (3) rud^iu)
a une valeur finie et que cette valeur est Cj. En effet, si
iid<P{u)
croît au delà de toute limite avec L, le second membre de (2) croîtrait aussi au delà de toute limite pour x=x>, ce qui ne doit pas avoir lieu. L'intégrale (3) a donc une valeur finie, et pour obtenir cette valeur il suffit de faire croître x indéfiniment dans la formule (2). En continuant ces raisonnements , on voit que généralement
/OO M* d * (m) = Ck-
La distribution de masse caractérisée par la fonction <I> (m) constitue donc une solution du problème des moments. Dans le cas où la série
est divergente, nous n'obtenons ainsi qu'une solution de ce problème, et. en effet, nous démontrerons bientôt que ce problème n'en admet pas d'autres dans ce cas.
Nous avons vu (n" 42) que
— <Pn(u)
""'^" = 1+1 [fe = 0, l,2,...,(2«-2)].
et du résultat que nous venons d'obtenir on conclut aisément
(ft = 0.1,2,3,. .);
on en conclut que
doit changer de signe au moins 2n — 1 fois. Soit Xk un point de dis continuité de «PnCw); il est facile de conclure
q>n (Xk) < * (Xk) ^ <ï> (Xk) <q>n (Xk).
Ce résultat précise celui obtenu à la fin du n° 44.
Il est clair aussi que, dans un intervalle où la fonction *{m) est constante, l'équation
ne peut avoir plus d'une racine.
49. Je reviens à la proposition du n° 46; pour h > N on a / |ç'n(w) — 4>(M)|dM< |-Le'.
Nous venons de voir que <l> (oo ) = ç;„ («3 ) := Cq, par conséquent
Co — <Pn(u) et Co — *(") ne sont jamais négatifs , et à cause de
(pn 00 — <I> (M) = Cq — $ (") — [Co — rn (")],
on aura
I (pn (U) — <P(U)\^\ Co — 4> (M) 1 + I Co — (fn («) I ;
or il est facile de voir que
|Co — 9'n(M)!<-^> |Co-<I>(M)|<-^.
En effet , considérons la distribution de masse caractérisée par <P (u) [ou 9P„(u)]. Le moment du second ordre est Cj, la masse totale comprise dans le segment de u k ce est Cq — <P{m), le moment du second ordre de cette masse est inférieur à c^; si l'on concentre cette masse au point M, on diminue encore le moment du second ordre; donc
«2 I Co — 4> (M) |< Cg.
Il vient donc
et
puis
f \<Pn{U)—^(U)\dll<
/■" I ç,„ (M) - * (M) I dti < - + L e' + ^
Par un choix convenable de L, e, e' on peut rendre la limite supérieure plus petite qu'un nombre donné, par conséquent
/oo IÇ'nC") — 4>(M)|dM= 0.
