CHAPITRE VIII

ÉTUDE DE l'intégrale '

51. Soit yf{u) une fonction croissante quelconque [v(0) = 0], nous supposerons seulement que la distribution de masse quelle représente a des moments finis d'ordre quelconque , et nous poserons

/QO u''dyj{u).

Considérons maintenant l'intégrale

/■"" dy (m)

qui représente une fonction holomorphe dans tout le plan , excepté la coupure. Si la fonction \p (m) est constante à partir de m = a, l'intégrale se réduit à

'•"alpin)

et la coupure ne s'étend que de « = 0 jusqu'à m ^ — a. Tous les moments sont alors finis dès que cela est le cas pour Cq = ip (a). L'intégrale admet évidemment un développement asymptotique

qui est divergent en général et convergent pour | « | > a dans le cas particulier que nous venons de mentionner.

Mais on a toujours , lorsque z=:x est réel positif,

1^' = ^-^+ ■ +(-i)"-"|i'+(-ir^ (0<f<i).

Le développement en fraction continue de cette intégrale , ou , à proprement parler, de son développement asymptotique, a fait l'objet des recherches de Tchebicheff , Heine , Darboux.

Nous allons reprendre ici cette étude , en nous attachant surtout à la question de la convergence , qui n'a guère été considérée dans les travaux antérieurs que nous venons de rappeler, et dans lesquels on a pris toujours la fraction continue sous la forme (I ^) (voir l'Introduction).

Pour réduire la série en fraction continue , on n'a qu'à appliquer les formules du n" 11 , les déterminants A» et B„ seront positifs comme déterminants des formes quadratiques positives

r (Xo + «Xi + ît2X2+...+M«-lX„i)2dv(M),

ru{Xo + mXi + «■■^Xg + . . . + u»-iX„ -i)2 d v(w)-

On trouvera donc une fraction continue du type que nous avons étudié, les Ui étant positifs.

Dès lors , nous pouvons appliquer les résultats obtenus par l'étude directe de la fraction continue.

Deux cas sont à distinguer :

1" La série V^ a„ est convergente.

Dans ce cas on a

lim

P2»(g) y/,v J>(g) V f^i ^f-d^Piu)

q2„{z) ~'^^'~ q{z)~^ 2 + Xi J z + u

Q2« + lU) ^ ' ?i(2) ^^ Z + Bi l Z-\-

20 La série V^ a„ est divergente.

Dans ce cas , on a

Qn(e) ^ ' J z+u

I qui a été l'origine de la fraction continue ? "

52. Pour répondre à cette question, supposons d'abord z = x réel et positif. On a alors ce théorème (voir Comptes rendus, t. CVIII p. 1297 ; 1889) :

Le minimum de l'expression

est égal à

dxp(u) Pan (a;)

et l'on a donc nécessairement

r^ dxpju) Pa» (g;)

La vérification est facile ; posons

£ = 1 + Xi (a; + m) + X2 (a; + M)2 + . . . + X „ (a; + M)« ; les conditions du minimum sont

(1) r {x-[-u)''Sld^p(u) = 0 [A = 0, 1,2, ...,(w-l)].

Ces relations sont visiblement équivalentes à celles ci

r u''2dyjiu) = 0 [A = 0, ],2,...,(w— 1)],

ou bien, si l'on se souvient le symbole S introduit au n" 11 ,

SjM*£|=0 [A = 0, 1,2, ...,(w— 1)].

D'après la formule (3) du n" 11, le polynôme £ dans le cas de minimum, ne diffère donc que par un facteur constant de Q2n( — m), et, puisque £ se réduit à l'unité pour m = — x, on aura

Q2n(a;) Le minimum est

f'^^=f'^m+^,<.+u)+.^.+x.i.+«ri

ce qui, à cause des formules (1), se réduit à

f^dy>(u)^ f^dipiU) 1 rQ2n(X) — Q2„(— M) , ,,

La dernière intégrale est évidemment égale à

ce qui achève la démonstration.

On vérifiera aussi aisément ce second théorème :

Le minimum de l'expression

est égal à

P2n + 1 iX) Q2n

1 te) r

dtp{u) a;-j- '*

et l'on a donc nécessairement

Pzn+ijx) r* di^ju)

A ces théorèmes, j'ajouterai la remarque suivante:

Dans le cas du premier théorème, 2 est le polynôme en u le plus

j est aussi un tel

polynôme; on aura donc

dy)(u) P2n{x) . f" u^^dif'.n)

c'est-à-dire

Q2n {x) X sfi ' a^ et l'on trouvera de même

Q2»+i(a;)^ X af -r ■ ■ ■ -r ^2r,+i-

Ces inégalités , nous les avions obtenues déjà (n° 15) , mais rappro chons-les maintenant de celles-ci

Pour calculer numériquement l'intégrale

r"" dtp (M) ' x-\-u '

on peut se servir de la série (même divergente)

la somme d'un nombre pair de termes donnera toujours une limite inférieure , la somme d'un nombre impair de termes une limite supérieure.

Mais on peut aussi réduire la série en fraction continue : les réduites successives donneront encore alternativement des limites supérieures et inférieures.

Nous voyons maintenant qu'il y a toujours avantage à réduire la série en fraction continue : les limites données par les réduites sont plus rapprochées que celles données par la série.

La limite de l'approximation que peut donner la fraction continue est caractérisée par ces inégalités

53. Il est facile maintenant de répondre à la question posée à la fin du n" 51.

Dans le premier cas , lorsque la série

est convergente , nous savons que le problème des moments est indéterminé (n° 24). C'est dire qu'il existe une infinité d'intégrales dyj(u) i'" dipi (M) r" d v>2 (M)

p dy)(u) ^ I " d w\ m f

qui sont des fonctions holomorphes distinctes de z, qui donnent le même développement asymptotique

0 «2 T gS • • ■

et, par conséquent, aussi la même fraction continue.

Le calcul des réduites de cette fraction continue conduit à deux limites

mais on ne peut établir évidemment aucun lien précis entre ces deux fonctions parfaitement déterminées et une intégrale telle que

dxp (m)

puisque cette fonction est susceptible de varier.

La seule chose qu'on peut affirmer c'est que, pour a = a;, on aura

toujours

p(x)^r°°dv;(M)^Pi(a:) 5 (a;)-; a; + M--gi(a;)

Les fonctions <I> (m) et ^j (m) figurent d'ailleurs aussi parmi les déterminations possibles de ip (u).

On ne peut pas avoir, pour une valeur particulière x=^Xç^,

p{XQ)i'"dy-'(u)

îK)

Xo + tt

sans qu'on ait identiquement dans tout le plan

p (z) r°° dy (m) r=" d<P{u)

et les fonctions yj{u), <ï>(m) peuvent être considérées comme identiques, puisqu'elles caractérisent la même distribution de masse. En effet nous avons vu que

dif>{u) 'P2n{xo) r°° dipju)

Xq+u Q2»(a;o)

Xo+M

Or , si le second membre tend vers zéro pour ?i = oo , comme nous le supposons ici , cela aura lieu à plus forte raison lorsqu'on remplace X(, par un nombre plus grand. Par conséquent , on aura

p (s) r"' dy (M)

dès que z est réel , positif, plus grand que Xq.

Mais alors cette égalité aura lieu dans tout le plan. On verra de même que l'égalité

entraîne l'identité

Pl (gp) /•* drpju)

Pi («) r dyi (M)

q^iz) j z-\-u

Tant que la distribution de masse, caractérisée par xpiu) n'est pas identique à une de celles représentées par $ (m) et *i(m), on aura

pix) p dyju) p^ix) ^ gix)"^] x-\-u qi(x)'

l'égalité étant exclue.

54. Dans le second cas , la fraction continue est convergente et l'on aura , pour z=:x,

car , dans ce cas , F (a;) = Fj (x). Il s'ensuit que l'on a

dxp{u) ['"d^iu)

car cette égalité ne peut avoir lieu pour 2 = x sans avoir lieu dans tout le plan. Les fonctions tp (m) et 4> (m) seront identiques ou elles représenteront au moins la même distribution de masse.

On voit aussi que le problème des moments est déterminé dans le cas actuel , et qu'il n'admet pas d'autre solution que celle caractérisée

par la fonction $ (m) ou y)(u). En effet, si le problème avait une autre solution caractérisée par ViW» l'intégrale

donnerait toujours la même fraction continue, et il s'ensuivrait

d Vi (w) / °° d V (m) / * d * (m)

/•■" a yi {u) /-^ ay>(u) /

Il est à remarquer que ce second cas peut arriver, même lorsque le

développement

So ^ j ^

est toujours divergent. En effet , la série est dans ce cas lorsque

croît au delà de toute limite. Nous savons que, pour cela, il faut et il suffit que les nombres

O-ndn + l

ne soient pas limités supérieurement. Or, il est clair que cela n'empêche nullement la série

d'être divergente. On pourrait , par exemple , prendre arbitrairement tous les a,, exceptés ceux d'une certaine suite infinie

et déterminer ensuite ceux-ci de façon que les nombres

croissent au delà de toute limite.

55, Pour donner un exemple de la théorie que nous venons d'exposer, considérons l'intégrale

-k J 1^ U dM

«-f-tt

OÙ — l^A^l. Puisque

dy; (</) = [l + A sin (I^m)] e- "^ «dM , nous avons affaire ici à une distribution de masse à densité finie. Cette distribution varie d'ailleurs avec le paramètre L Mais , si l'on calcule les moments, on trouve

Ck=ru^e-^^du (4=0,1,2,3,...);

ils ne dépendent pas du paramètre i. ; en effet , on vérifie sans peine que les intégrales

pM*8in(l^M)e-'*'»dM = 4r°°M**+3sinMe-«dM (4 = 0,1,2,3,...) "o 0

sont toutes nulles. Le problème des moments a donc manifestement une infinité de solutions; nous sommes dans le cas indéterminé, et il est certain que des valeurs des a,- seront telles que la série

est convergente. La fraction continue donnera deux limites

q{z) ^z+ii' q,{z) Z^z + Oi

et les distributions de masse (j«,-, Xi), (vt, Oi) constitueront encore deux solutions particulières du problème des moments. Mais on ne peut établir aucun lien précis entre la valeur de l'intégrale et les limites fournies par la fraction continue. Toutefois , lorsque z = x est réel positif, on pourra toujours obtenir des limites supérieures et inférieures de l'intégrale en calculant les réduites. Mais, puisque les c* et les as ne dépendent point de X, on voit qu'on ne tient aucun compte de la partie

Puisque X peut varier de — 1 à -|- 1 , on en conclut nécessairement Qiix) q{x)

La fraction continue ne peut donner qu'une approximation limitée , comme c'est le cas aussi du développement en série. En calculant o^ , Og, ..., on voit que ces nombres suivent une loi très compliquée, en sorte qu'on ne peut pas vérifier directement la convergence de la série

ou

56. Je donnerai encore un autre exemple dans lequel cette vérification peut se faire.

Soit /"(m) une fonction impaire et périodique de u,

alors l'intégrale

f M*M-l<'8»/'(l0gW)dM,

oh k est un entier quelconque, positif nul ou négatif, est toujours nulle.

Pour le voir , il suffit de remarquer que

/" "e-'^/^(v)dt? = 0

et de faire la substitution

v = ^+log!<.

Ainsi, dans le cas /"(u) = sin(27iM),

i M*M-'°8»sin(27ilogM)du = 0.

Je considère maintenant l'intégrale

1 /■* 1 -\-Xsin{2n\ogu) z-\-u

— Ig/lg-f 1.

M-">B»dM,

OÙ

On voit que les choses se passent comme dans l'exemple précédent ; la valeur de

1 /■* 1 /•+* -Ik4-\y

vnJ VnJ

est indépendante du paramètre î..

La fraction continue doit donc être oscillante; cela se vérifie ici directement, puisqu'on a

02n+l — -, ^TT 7 ^8\ 7 n\'

il — e V(l — e-^)\l — e V.--[i — e V A cause de e > 1 , la convergence des séries

est manifeste. Pour abréger, je supprime le calcul qui donne les valeurs des Ob (et qui reste valable sans qu'on ait besoin de supposer que e ait la valeur particulière 2,71828 . . .).

Dans le cas actuel , la différence

doit surpasser nécessairement

2 /■■" sin (27ilogM) ,„„.,, n ^>i/- i«„^ VnJ x + u

57. Comme exemple du cas déterminé, je rappellerai d'abord la fraction continue étudiée par Laguerre, dont nous avons parlé dans l'Introduction. Puisque , dans ce cas ,

a2n — 1=1, fl2n = — »

n la fraction continue est convergente et représente dans tout le plan , excepté sur la coupure, l'intégrale

*° e-«dM

La masse s'étend ici à l'infini , et, en effet, les nombres 6„^

,. . , , . anOn + l

ne sont pas limités supérieurement.

Dans le cas où la masse ne s'étend pas à l'infini, la fraction continue est naturellement toujours convergente, car le développement en série est alors même convergent pour des valeurs suffisamment grandes de 2.

Comme exemple de ce cas, considérons une fraction continue périodique telle que

On connaît, dans ce cas, immédiatement la fonction F{z) F U) = ^^'"+2(j> + g)g + (P -qf-z + p-q

et

(pV" 1 /?^"

ql ' ---^^- p \p) ' l'une des deux séries

sera toujours divergente. Mais la fonction F (s) doit pouvoir se mettre

sous la forme

et l'on a vu, dans le n" 39, comment on peut mettre ¥{3) sous cette forme , si l'expression explicite de F (2) est connue.

Ce calcul conduit ici aux résultats suivants. Deux cas sont à distinguer selon que p^q.

Premier cas : p > g.

Posons

fi = (Vp + V-qr, on aura

F(^)^^^ I 1 r^V{u-a){p-u) du ^ ' z '* 2nJ M z-\-u

Ainsi il y a, à l'origine, une concentration de masse égale à Vafi=p — q, puis une distribution continue de masse dans l'intervalle (a, /S).

Second cas : p < q- On trouve simplement

PM- 1 (PV{H-a)(fi-u) du .

la masse concentrée à l'origine du premier cas a disparu. Dans le cas particulier: p = g,onaa = 0,et l'on peut appliquer l'une ou l'autre des formules trouvées. Il n'y a pas de masse concentrée à l'origine, mais la densité y devient infinie.

Dans le premier cas , la série

est convergente , et sa somme est 1 : (p — q).

58. Nous allons montrer que, toujours dans le cas déterminé , la masse concentrée à l'origine est