a2fc+tî

elle est nulle lorsque la série est divergente. Dans le cas indéterminé ,

est le maximum de la masse qui peut être concentrée à l'origine ; elle s'y trouve , en effet , dans la distribution

{yi, Oi), puisque

mais , dans toute autre distribution , la masse concentrée à l'origine est moindre.

Je rappelle la limitation

nous savons (nO 15) que

lirn a; Fj (j;) = 1 : 7 ggt+i.

Nous allons montrer que

•i" / — tt;— = lini V («) = M-

en désignant par fx la masse concentrée à l'origine. En effet ,

r"" xdyj{u) r''' xdyj (m) , f^" xdyj(u) . r" xdyj(u)

j x-\-u J x-\-u 'J x-\-u 'J aj + M '

êlt

et il est évident que

x-\-u 1 -|- la;

r" xdrf>(u) ^ Vx r , , n/~M

la première intégrale tend vers n, les deux autres vers zéro. Dans le cas déterminé , on a

= Fi(x);

il vient donc

Dans le cas indéterminé , on peut conclure seulement

et cela pour toutes les distributions équivalentes qui donnent les mêmes

moments et la même fraction continue.

Nous savons d'ailleurs que, pour la distribution caractérisée pai $j (M), on a

Je dis maintenant que , pour toute autre solution du problème des moments, on a

En effet, admettons que, pour *] (h) et ^(m), on ait

Si , dans chacune de ces deux distributions (supposées différentes) , on enlève la masse fi concentrée à l'origine , il restera deux systèmes de masses donnant encore les mêmes moments, c'est-à-dire équivalentes. II existe alors une troisième distribution de masse, équivalente à ces deux-là et qui a, à l'origine, une masse finie ju'. Cette distribution est caractérisée par une fonction ^[ (u) analogue à ^^ (m). En rétablissant maintenant la masse ju, on aurait une solution du problème des moments primitifs , avec une masse /^ + /*' à l'origine qui serait supérieure à

Cela est impossible, d'où la proposition énoncée. 59. Dans le cas oh la série

est divergente , nous avons vu que la fraction continue est convergente et que la limite des réduites est

Il est clair maintenant que la fonction * (m) qui figure ici n'est assujettie dans un intervalle quelconque (0,6), à aucune autre condition restrictive que celle d'être croissante. Il s'ensuit qu'en général la coupure est bien une ligne singulière à travers laquelle il est impossible de continuer analytiquement la fonction F {z). En effet , pour que cette continuation analytique soit possible à travers l'intervalle ( — a, — b) de la coupure , il faut que la fonction $ (m) soit une fonction analytique de m dans l'intervalle (a, b). Or c'est là une condition très restrictive qui ne sera point satisfaite en général.

Mais, si l'on veut donner des exemples particuliers, on ne peut guère commencer par se donner les a*, ou cela n'est possible que dans des cas très restreints. Il faudra bien se résigner à prendre pour $ (m) quelque fonction analytique , ainsi s'explique qu'en réalité nous n'avons pu donner aucun exemple du cas général dans lequel la coupure est une ligne singulière. Dans tous nos exemples, la coupure est seulement une coupure artificielle.

60. La fonction rp (m) étant donnée , ou la distribution de masse qu'elle représente, comment peut-on savoir si la fraction continue pour

dyj{u) z-\- u

est convergente ou divergente.? C'est là un problème qui présente quelques analogies avec celui qui consiste à décider de la convergence ou de la divergence d'une série donnée. On n'en peut guère donner une solution générale; tout ce qu'on peut faire, c'est donner quelques règles qui permettent de répondre à cette question dans un certain nombre de cas particuliers. Lorsque la fraction continue est convergente , le problème des moments n'admet qu'une seule solution; nous dirons aussi, dans ce cas, que la distribution de masse représentée par v'(m) est déterminée. On ne peut guère faire varier cette distribution , sans introduire des masses négatives, si l'on veut conserver les moments. Or les masses négatives seront toujours exclues. La distribution de masse est indéterminée, au contraire, lorsque la fraction continue n'est pas convergente , mais oscillante.

Voici d'abord quelques remarques qui sont à peu près évidentes. Si , à une distribution de masse indéterminée , on ajoute de nouvelles masses , on restera toujours dans le cas indéterminé. Si , à une distribution déterminée on enlève une partie de la masse (toujours sans introduire des masses négatives) , on restera dans le cas déterminé.

Dès qu'on trouve deux distributions équivalentes qui ne sont pas identiques, on est certainement dans le cas indéterminé.

Qu'on veuille bien se reporter maintenant aux formules (8) et (11) des n°^ 11, 12, par lesquelles les sommes

s'expriment au moyen des Ck.

On trouve facilement que ,

/ / Ci, fc Xi Xft = de (Xq , Xj, X2, . . • , Xn)

étant une forme quadratique définie et positive, le minimum de

s'exprime par

Co,0 Co,l . . . Co,n Cl,o Ci,i . . . Ci,n

Cl,l . . . Ci,n Cn, 1 • • • Cn,n

Cn,0 Cn, 1 • ■ • Cn,n

Dès lors, on reconnaît que le minimum de

r(l+XiM + ...+X„M")2dv(M)

est égal à