Considérons maintenant les intégrales
/ x''{F(x) — Q((x)]dx.
Une intégration par parties donnant
jx" F {X) dx = j-^ a;* + i F (x) — -r^ fx>'f(x) dx il vient, en introduisant les quantités a^ définies par la formule (1)
(x)dx =
ao6* + i — 0*4-1
Ensuite d'après la définition même de G (x) J x''G{x)dx = Ai
rpk + l ^k + l
+ (Al 4- A2 + . . . + Am-i) -'" k+ l"*^ + (Ai + A2 + ... + A«) J^^TT"
ou bien
et définitivement en ayant égard aux formules (2)
(4) . . / "x" Q{x)dx = ""— ^' r^"* "^' • A = 0, l,2,...,2w~2.
592 SUR CERTAINES INÉGAUTÉS.
Les équations (3) et (4) montrent que
/ x*[F(a5) — G(a;)]da; = 0. A = 0, 1, 2, . . ., 2»i — 2
On en conclut que le nombre des changements de signe de Y{x) — G(a;) dans l'intervalle (a, b) est au moins égal à 2m — 1.
Mais nous venons de voir que ce nombre est 2 w — 1 ou plus ; il est donc exactement égal à 2w — 1, et de là on conclut les inégalités (A')' qui sont équivalentes aux inégalités (A).
7. Les quantités A, et la fonction G(a;) dépendent encore du nombre entier m. Pour mettre en évidence cette dépendance nous écrirons maintenant AJ" et G" (a;) au lieu de A, et G (a;). D'après cela la signification de
Ar+^ t = l, 2, ...,m-}-l
et de
G'» + Ma:) est claire. Quant aux quantités qui doivent remplacer
en changeant m en m -f 1 , nous les désignerons par On sait alors que
(6) a<Xi<Xi<iX2<X-2... <Xm<x'm + \<b.
Au lieu des équations (4) nous aurons
Çx" G" {x) dx = "" ^"^^r^"^^ A = 0,l,2,...2»w -2,
/•*a;fcQm+i(a;)da; = °oft'' +' — «<=+! ft = 0,l,2,...,2m.
On en conclut que
doit présenter au moins 2 m — 1 changements de signe dans 1 intervalle (a, b) et ensuite, exactement de la même manière que tout à l'heure G"- (Xfc + «) > G" - ' (Xk) > G™ (xa — £)
SUR CERTAINES INÉGAUTÉS. 593
OU bien
Ar + Ar + . . . + Ar > Ar+' + Af+' + ...+ Ar+' Ar + Ar + . . . + Ar i< Ar+^ + Ar+' + . . . + Ar+^
Ce sont les inégalités que j'ai données sans démonstration dans les Annales de l'École normale (3« Série, t. 2 pag. 184).
On remarquera sans peine que , dans ce raisonnement , il n'est pas nécessaire de s'appuyer sur les inégalités (5). Au contraire, le raisonnement fournit une nouvelle démonstration de ces inégalités.
8. Dans le mémoire „Sur les valeurs limites des intégrales" M. Tchebychef a proposé une question intéressante relative à certains maxima et minima.
Plus tard il a exposé plus complètement les résultats qu'il a obtenus dans un mémoire publié en russe dans l'appendice au tome 51 des Annales de l'académie des sciences de St. Pétersbourg (1885). On doit une traduction française de ce mémoire à M"" Kowalevski. (Acta mathematica t. 9. 1886).
De son côté M. Markoff s'est occupé de la même question en la généralisant encore, à la suite de son travail sur les inégalités de M. Tchebychef. Son mémoire „Sur quelques applications des fractions continues algébriques" (1884) a été publié en russe.
Plus récemment M. Markoff a encore donné à sa solution plus de généralité dans les Acta mathematica t. 9 (1886). (Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tchebychef.)
Pour compléter les renseignements bibliographiques sur cette question , nous devons citer encore :
le livre de M. C. Possé „Sur quelques applications des fractions continues", St. Pétersbourg 1886 (en français), où l'auteur a reproduit, quant aux traits principaux, la solution donnée par M. Markoff dans son premier mémoire russe,
et enfin r„Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite par M. Markoff." (Annales de l'École normale 3« Série t. 3. 1886).
M. E. F. van de Sande Bakhuyzen nous a signalé que ce Mémoire, dont les résultats avaient été obtenus dès 1875, fut publié en 1876, par le père de Stieltjes et à l'insu de ce dernier (C).
Pour un autre exemple, on peut consulter Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, p. 285. Dans son cours à la Faculté des Sciences de
Toulouse, Stieltjes traitait l'exemple simple, consistant à déterminer / x^f/x,
en intercalant entre a et 6 des moyens formant constamment une progression géométrique (C).
Note de l'auteur.
Des formules (12) et (14) on déduit encore
1 roog — aruyp— 1
0 1 + e~ 2 et
Lim V (ic .iî)p = o = a; — |.
Pour plus de développements voir N^. VIII.
Ch. Hermite, Sur la formule d'interpolation de Lagrange (J. Math. Berlin, 84, 1878, 70) (C).
Rapport sur ce mémoire par M.M. Grinwis et Schols (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet., Sér. 2, 17, 1882, 206).
Lettres 2, 3, 4, 5.
G. Frobenius, Ueber die Leibnitzsche Reihe (J. Math. Berlin, 89, 1880, 262—264) (C).
Voir Bul. Sci. math., Paris, Sér. 2, 5, I™ part. 1881, 157, 181 (C). Les manuscrits de Stieltjes, contiennent une suite de calculs sur différentes algorithmes, p. e.
62 = Kai6,
«i + ôi
