w , M désignant la plus grande , m la plus petite des
valeurs du déterminant
n in
fAt')
fnil')
sous les conditions
l(n-\)< fin) g ft.
Comme le remarque M. Schwarz, ce théorème permet d'établir, d'une manière rigoureuse , certaines propositions fondamentales dans la théorie des courbes planes ou gauches. Soit, par exemple, M un point d'une courbe gauche , et prenons sur cette courbe trois points infiniment voisins de M. Le plan osculateur en M est la position limite du plan qui passe par les trois derniers points. A laide du théorème de M. Schwarz, on reconnaît aussi clairement les conditions dans lesquelles cette proposition est exacte.
2. La démonstration que M. Schwarz a donnée de son théorème est extrêmement simple. La circonstance qu'elle exige des intégrations nous a conduit à chercher si l'on ne pourrait pas arriver au but d'une manière plus élémentaire.
Nous avons reconnu alors que le quotient considéré est égal à
A ii')
k in
. . . fn («')
mn
mn
ff-'Ktn
/•{n-D ••-In
où
^") = (<j, ^^, .... tn),
(t^,L, . . ., tk) désignant un nombre compris entre le plus petit et le plus grand des nombres t^, t„, . . ., tk-
3. La démonstration de ce théorème s'appuie principalement sur le lemme suivant.
Si une fonction f{t) s'annule pour n valeurs différentes de la variable
nt,)=o, /-(y^o, ..., nfn) = o,
alors on a
/•("-i)(f) = 0, où
Il faut supposer que la fonction f(t) admet des dérivées f {t\ f" {t\ . . ., f(»-'~){t) qui sont finies et continues et que /'"--'(O admet encore une dérivée finie /'" "'*(0. mais on n'a pas à supposer que /<" ~^>(0 soit continue.
En effet , soit , par exemple , n = 3 et
tl<t2< h-
Ayant on en conclut d'abord
t' étant compris entre ^^ et ^2 (en excluant les limites), et t" entre?., et /g. Ayant donc
on voit ensuite que la fonction f"{l) doit s'annuler pour une valeur de la variable comprise entre t' et t", valeur qui sera comprise aussi entre
tl et /g.
4. En s'appuyant sur ce lemme, la démonstration du théorème énoncé est très facile. Nous supposerons w = 4 , et posons
fiy) 9 (y) h (y) k{y)
fit) g{t) hit) k{t)
l X x^ aP l y y^ y^
Considérons la fonction
^ ^ fiz) g{z) h{z) k{z)
Il est clair qu'on a identiquement
F(a;) = 0, F{y) = 0, et encore, à cause de la valeur A,
On en conclut
où
ce qui revient à
r(0 9"'(0 h"'{C) k"'(0 Soit maintenant
î fix) g(x) h(x) k{x)
f(u) giu) h [il) k{u)
no g"'{!:) h"'{0 /c"'(C)
Il est donc clair qu'on a donc
où
On a , par conséquent ,
f{y) g {y) '^iy) ^iy) rkn) g" {ri) h" M k"[n)
I r'(C) 9"'(C) h"'{i:) k"'(C) Considérons enfin la fonction
g(w) = Il est clair qu'on a
f'iv) g" M h"{f]) k"{n)
no g"'{0 h"'(C) k"'0)
donc
OÙ
Or cela revient à
fix) g{x) h{x) k{x)
f'iS) g'{^) A'(l) k'{^)
firù g" in) h" in) h" in)
no 9"'iC) h"'{c) r'(C)
ce qui est l'expression du théorème annoncé.
On remarquera que cette démonstration suppose seulement que les dérivées secondes
rit), 9"it), h"it), k"it)
admettent des dérivées
nt), g"'it), h"'it), k"'it);
mais il n'est pas nécessaire de supposer que ces dernières fonctions soient continues.
Mais, si l'on ajoute cette dernière condition [la continuité de /"'"(<), g'" it), h'" it), A"'(<)], on conclut directement que, si x, y, z,t tendent vers une même limite a, on a
fia) gia) h {a) A (a)
fia) g'ia) h' ia) A' (a)
ria) g"ia) h" (a) k" (a)
f" (a) g'" (a) h'" ia) k'" (a)
lim A =
(Paris, Bull. Soc. math., i6, 1888, 100—113.)
Sur une généralisation de la formule des accroissements finis.
1. Soient /"(m), g (m), h (m), k (m) quatre fonctions réelles de la variable réelle m. On suppose que ces fonctions sont finies et continues , ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre , et enfin que
f"{u), g"{u), h"{u), k"{u), admettent encore des dérivées
/"'(M), 9"'{u), h"'{u), k"'{u) mais qui ne sont plus nécessairement des fonctions continues.
Si maintenant x, y, z, t sont quatre nombres inégaux, nous allons considérer le rapport des deux déterminants
f{x) g{x) h{x) k(x) f{y) g (y) h (y) k{y) f(z) g{z) h{z) k{z) fit) g{t) hit) kit)
Nous désignerons ce rapport par A
Il est clair que A est une fonction symétrique de x, y,z,t, et nous pouvons supposer
On a ainsi
fix)
ny)
fiz)
hit)
kit)
Remplaçons, dans le premier membre, t par une variable m, on obtiendra une fonction de u qui s'annule pour î^ == s et pour M ^ ^ et dont la dérivée s'annule par conséquent pour une valeur m = Ci ^={z, t), en désignant par (s, t) un nombre compris entre z et l (en excluant les limites).
On a donc
fix) gix) hix) kix)
f{y) g {y) hiy) kiy)
fiz) giz) hiz) kiz)
n^i) g'iC,) h'iCO A'(fi)
2 Cl
Remplaçons, dans le premier membre, s par une variable m: on obtiendra une fonction de m qui s'annule pour m = y et pour m = ^ et dont la dérivée s'annule pour u=:r]j^ = (y, z):
fix) g(x) hix) kix) fiy) g {y) hiy) kiy)
f'iriù g'inù h'ir,,) k'ir],)
/'(Cl) ^'(Ci) A' (Cl) A' (Cl) En continuant ainsi, il vient
fix) gix) hix) kix)
/'(l) g'ii) h'i^) A'(|)
f'ivi) g'ivi) h' in,) k'ir,,)
/'(Cl) ^'(Ci) ^'(Ci) A' (Cl)
Zrii
2fi
3Cf
i.x,y), r), = iy,z), a; < f < »?i < Cl < <
1 2 Cl 3C?
Cl = (0,0.
Remplaçons maintenant Ci par une variable m, on aura dans le premier membre une fonction de m qui s'annule pour u = rj^, « = Ci et
l'on en conclut
0 1 2 ri, Sril
f'ii) g' (S) h'(^) k'm
riVi) 9'ivd h' {ri,) k'ivO
nco) g"{Q h"(c^) k"iC2)
a; < f < >?i < fs < *• En remplaçant encore rj, par une variable u, on trouvera, par le même raisonnement ,
1 X x^ sd^
f{x) g{x) hix) k{x) /■'(l) ?'(f) ^'(1) ft'(f)
f'iv) 9" in) h"{r,) y in)
ri = (S,rii),
Et , si nous remplaçons enfin Co par une variable u , on trouvera
fix)
gix)
g" (ri)
h {X) k (X) h' (è) k' (I) h" {rj) k" iri)
f"'(0 9"'Qi) A"'(a ft"'(a
c'est-à-dire
k(.x) k'm k" (ri)
f" {rj) g" (r,) h" (rj)
f'iO g"'iC) h"'(C) k"'(C)
Ayant f = (a;, y), »?i = (2/, 2) et »? = (^ »h), on en conclut 7? = (a;, z) et l'on trouvera de même ^ = {x, t).
Le résultat que nous avons obtenu peut s'énoncer ainsi :
Le rapport A n'est pas plus grand que jy^rBÏ^^ P^^ plus {;etit que
ÏX2T^ , en désignant par M la plus grande , par m la plus petite des
valeurs du déterminant ,
sous les conditions
C'est là un théorème qui se rapproche beaucoup d'un autre théorème donné par M. H. A. Schwarz (Annali di Matematica de Brioschi, séri II , t. X). La limitation que nous venons d'obtenir est un peu plus resserrée que celle donnée par M. Schwarz.
