Il faut donc étudier cette décomposition de

X Ht^ — Y six.

Rappelons d'abord les relations identiques

iEl-SExX^ + TX^ = -3l, 4H^-SH,Y2 + TY3 = -J2.

En désignant par u', m", u'" les racines de l'équation

4m3 — Sm — T = 0, on voit par là qu'on a

4 (H^ + u' X) (H=, + u" X) (Hx + W" X) = — J?, 4 (H, + M' Y) (Eî, + u" Y) (H, + u'" Y) = - J^,.

Or , Hx et X n'ayant pas de facteur commun en général , les facteurs Hx + m'X, H» + m' Y, . . . sont nécessairement des carrés parfaits (Hermite, loc. cit., p. 15, 16). Posons donc

iHx + «' X = ç'x , Ha + M"X = 9'x^, '"2 B.X + M X = q>x ;

iUy -\-U' Y = (p'y , Hy-fM"'Y = <pr.

<p'x, <Px , fx seront des polynômes du second degré.

Nous cherchons à résoudre l'équation X H^ — Y H ,: = 0 par rapport à a; en y regardant y comme connu. On a donc

Hx Hx^+M^X Hx + M^^X HH^M^X^a "~ Hv ~ H, + u' Y - H, + M" Y H, + u"' Y

SUR UNE TRANSFORMAIION LINEAIRE.

et , par conséquent , (11)

<Px=îi<Py,

Si nous ajoutons ces équations après les avoir multipliées respectivement par («" — m'") (p'y, (m'" — m') <p'y, (m' — m") q>y', il vient , eu égard aux formules (10),

(m" — M'") (p'x (p'y -f (m'" — M') f'i <Py + («' — «") f'i' V'y = 0-

C'est là une équation du second degré qui doit admettre au moins une racine de XHi, — YHx^O; mais on constate que cette équation du second degré a ses deux racines égales. En effet , la différentielle

(m" — m'") (p'ydq>'x + («'" — IC') (p'y d q^x + («*' — U")ç>'y' d (p'x

se trouve égale à

[{m" — M'") <p'xd<px + (m'" — M') Ç'i' d (p'i + (U' — M") (p'i' d (p'i''\

ou à

2^ [(m" — m'") d ( H:t + m' X) + (m'" — m') d (Hx + m" X) 4- (m' — m") d ( Hx + m"'X)]

et s'annule par conséquent.

Nous obtenons donc ce résultat, qui donne la solution du problème proposé :

L'expression

est, sauf un facteur constant, le carré d'un des facteurs de XH^ — YH^. Sous une forme légèrement modifiée , nous pouvons dire qu'on a d'abord à calculer les fonctions yj', rp", rp'" par les relations V'' =(Hx + M' X)(H, + M' Y),

(Hx + «" X)(H, + M" Y), (Hx + «'"X)(H, + u'"Y);

ensuite on aura les carrés des facteurs linéaires de XH^ — YHi (sauf des facteurs constants) sous la forme

(A) . . . ±{u" — u"')y>' ±{u"' — u')xp" ±{u' — u")y>"'.

lôO SÛR Une transformation linéaire.

Il est clair qu'on obtiendra bien ainsi les quatre facteurs de X Hy — YHx ; car , en changeant à la fois les signes de y', y", y'", on obtient la même intégrale linéaire de l'équation différentielle

dx dy

Quelles sont maintenant les opérations irrationnelles qu'exige cette détermination des intégrales linéaires? D'abord on a à calculer les trois racines de l'équation cubique

4m3 — Sm — T = 0,

et ensuite on voit que la détermination de chacune des fonctions v'> v"» v'" exige le calcul d'une racine carrée. Mais il est à noter qu'on peut multiplier l'expression (A) par un facteur constant quelconque. En multipliant donc par une des racines carrées à calculer , on voit que le calcul de deux racines carrées suffit pour obtenir, sous forme explicite , les intégrales linéaires. On peut remarquer que le coefficient de sd^y*, dans l'expression de ip'\ est

(CoOg — a? 4- a^u') (Ôq ^2 — ^i + *o "') .

et ainsi les fonctions ip', rp", xp'" sont connues après avoir obtenu les racines carrées

/•' = ^(ao 02 — a? + ao m') (&o 62 — 6? + 6o «') ,

r" = y'CaoOg - al + ay')iboh — bl + bou") ,

r"'= ^(a,a^-^l + aou'") {b,b^- bf+b^).

Mais le produit de ces trois racines carrées est égal , au signe près, à

i (agcfg — SaoU^a, + 2a?) (6^63 — Sbob^b.^ + 26?),

et ainsi r'" sera connu dès qu'on connaît r' et r". Toutefois, il peut arriver que le terme avec a;* y* manque dans v'^ v"^ ou v"'^ mais, en tout cas , il est clair , par ce qui précède , que le calcul de deux racines carrées et la connaissance des racines u', u", u'" permettent d'obtenir les intégrales linéaires cherchées. Cette solution jouit donc, au point de vue algébrique , de toute la simplicité compatible avec la nature du problème proposé.

loi

EXAMEN d'un CAS PARTICULIER. ÉQUATION d'eULER.

11. On peut donner une autre forme à la solution du problème et la faire dépendre directement d'une équation du quatrième degré. Mais, pour reconnaître l'intérêt qui s'attache à cette seconde forme, il est utile d'étudier d'abord le cas particulier où l'on a

ai = bi (i = 0, I, 2, ..., 4),

en sorte qu'il s'agit de la détermination des intégrales linéaires de l'équation d'Euler

Il est clair que , dans ce cas particulier , on obtient v''i v", v'" sans avoir à extraire aucune racine carrée , et la connaissance de m', m", m'" suffit.

Prenons pour y>', yj", \p"' les valeurs

v' = (aoOo — a? + ffoM' ) a?y'^ + • • • , v" = (floOg — af + oou" )x^y^-]- ..., V"'= (aoa2 - af -f- ao«"') a^^y' + . . • .

On peut d'abord mettre ces valeurs de xp', v", v " sous une autre forme.

Il est clair que t^', par exemple, est symétrique en x et y, et de plus, si l'on pose y=^x, y' doit se réduire à Rx-{-u'X. Or, si deux polynômes doublement quadratiques et symétriques en x et y coïncident entre eux pour x^y, ils peuvent différer seulement par un terme i.{x — y)^. Il suffit de les écrire explicitement pour reconnaître l'exactitude de cette proposition , qui est due à M. Halphen.

Mais la seconde polaire de H^ + m'X

oè'-^ (Hx + w'X) , d2 (H. + u'X) , 02 (H.-f m'X)

da^ "^"^ dxiix' ' da;'2

est d'abord symétrique enajety et se réduit aussi à Hx + m'X pour a; = y. On a, par conséquent,

2^2 (Hx + m'X) , d (H. + m' X) , C>2(Hx-f M'X)

dx"

àa; bx'

+ X'ix—y)K

Il reste à déterminer A'. Cette détermination pourrait se faire déjà ici en calculant directement le coefficient de xy dans xp' : on trouverait ainsi

où l'on a supposé

Hr + m' X = Ao a;* + 4 A, ic^ + 6 Ag .-c^ 4- 4 A3 a; + A^.

Mais il existe une expression beaucoup plus simple pour X' qui s'offrira d'elle-même dans la suite. Nous nous bornerons donc à observer que l' doit être une fonction rationnelle de m', et peut dès lors se mettre sous la forme d'un polynôme du second degré en u',

k' = 2au'"-^^u'-\-y.

Posons , pour abréger ,

en sorte que h et f sont les secondes polaires de Ex et de X , on aura , d'après ce qui précède,

y,' =h-\-u'f-\-{2au'^ +/Si«' +}'){x-!/)\ y," = /» 4. M'Y + (2 « m"2 4- (i H" + y) ix - yf, ,p'" = h-{- u"'f-\- (2 a u"'"+ fi u'" + y) (x — yf. Les carrés des facteurs de X Hj, — Y H,: sont , en général . | (« ' m'") ,/ -f- (m'" — u') y," + (?V - u") y>"', |. (m" M"') y;' (m'" — u') ip" - (m' — u") y/", — (u" — tl"') rp' + (m'" — M') ./<'■ — (m' — M") v'", („" ti'") ^/ (,«'" u') yp" + (m' — u") V-'".

La première expression se réduit évidemment à

2 a (m' — m") (u' — m'") (m" — m'") (a; — yf, et donne ainsi la substitution linéaire x — 2/ = 0. Cette solution était évidente a priori.

La seconde expression devient égale à

— 2 a (m' — u") (u' — m'") (m" — m'") (a; — yf-\-2 {u" — ?*'") y'

SUR UNE TRANSFORMATION LINÉAIRE. lÔâ

OU bien, en divisant par 2{u" — m'"),

y,' — a («' — «") {u' — m'") {x — yf, mais on a évidemment

{u' -u"){u' — u"') = ^{u^-\Su — lT)u = u' = Su'^ — l8,

en sorte qu'on obtient

^ + «'/■+(-««'' + /Sm' + y + i«S)(a;-t/f.

Ici se présente maintenant le moyen de déterminer les valeurs de a, fi, y par cette condition que l'expression précédente doit être un carré parfait.