En introduisant dans la différentielle elliptique
dx
une nouvelle variable y par la substitution linéaire
yy-\-ô on obtient un résultat de cette forme
dx dy
'X.-:=aQa:^ -\- ^a^a? -{-Qa^x^ -\- ia^x-\-a^, Y = &o 2/^ + 4 6i3/« + 662I/2 +46,1/ + b,. Cette transformation a été déjà traitée maintes fois : cependant il nous a paru qu'on ne l'avait pas encore envisagée sous un certain poini de vue qui ne semble pas sans intérêt.
Nous préférons écrire la relation entre x et y sous la forme p-\-qx-\-ry -]^sxy = 0, et il sera quelquefois plus commode d'écrire X et Y. sous forme homogène
X = aoa^ + ^a^x^x' + Qa^x^x'"^ -\- ^a^xx'^ -\-a^x'* , Y = boy* +ib,y^y' +6b,y^y'^ + ia^yy'^ + b^y'*.
et nous emploierons sans distinction ces formes non homogènes ou homogènes: il faudra toujours supposer dans ces dernières x'=:y' ^=1.
2. Voici deux remarques qui se présentent immédiatement. On constate d'abord que, si l'on considère les invariants de X
S = ffoff4 — ^aiOg + Hal,
T ^ Og «2 «4 -f- 2 ff, «2 % — ^2 û'otts — «1 «4 >
et les invariants correspondants S', T' de Y, on a
C'est là une conséquence immédiate de la propriété caractéristique des invariants. En effet, la valeur de Y se déduit de celle de X en remplaçant
X par ay-\-py', y par 7y-\-ày',
et en divisant ensuite par (ad — Py)"^. Ainsi l'on a
ffo «4 — 4 Oj Og -f- 3 o| = 6o ^4 — 4 6i 63 4- 3 62 = S ,
ffo «1 02
ffo «q
Oo
b(i 61 62 Ôj 62 ^3 62 h N
En second lieu , considérons les racines des équations X = 0, Y = 0. En les désignant par x^, x.,, x^, x^ et y^, y.^, 2/3, 2/4 respectivement, il est clair que
P + qoCi-\-ryi-{-sXiyi = 0 (î=1,2,3, 4),
et par conséquent le rapport anharmonique des racines de X = 0 est égal au rapport anharmonique des racines correspondantes de Y = 0. Si nous désignons, pour abréger, un tel rapport
Xi) ^"^ JCq JL/Q '
par (1,2,3,4),
on a
Ces six valeurs du rapport anharmonique sont différentes en général; il n'y a exception que dans les cas suivants, A. X=: — 1 (ou = 2 , ou = ^) ; alors
B. X = l-\-e (ou =l-f-e^), e étant une racine cubique imaginaire de l'unité
Il faudrait ajouter le cas >l = 0 , 1 , oo , mais ce cas ne peut se présenter que lorsque les racines de l'équation X ^ 0 ne sont pas toutes distinctes et nous en ferons abstraction. Dans ces cas exceptionnels le rapport anharmonique peut même devenir tout à fait indéterminé , par exemple , lorsque x^ ^ a;^ ^ x^.
3. Nous posons maintenant la question suivante: étant donnés deux polynômes du quatrième degré X, Y, quelles sont les conditions né- II 10
cessaires et suffisantes pour qu'il soit possible de satisfaire à l'équation différentielle
dx dy
KX ~ "^ K Y '
par une relation de la forme
p -\- qx-\-ry -{-sxy = 0.
La réponse est presque immédiate. D'après ce qui précède, il est nécessaire certainement que les invariants de X soient égaux aux invariants de Y, mais il est facile à voir que cette condition est aussi suffisante.
En effet , on peut remarquer d'abord que cette égalité des invariants entraîne aussi l'égalité des rapports anharmoniques des racines de X = 0 et des racines de Y ^ 0.
Ce fait bien connu , nous allons le déduire ici des formules qui donnent la résolution de l'équation X = 0, dont nous aurons besoin encore dans la suite.
On a d'abord à calculer les racines u\ u", u'" de l'équation cubique
(1) 4m8 — Sm — T = 0.
Ensuite on a à calculer les racines carrées
(2) m" = fal — ooa^ — aou",
\ m'" = fal — «002 — Oom"' ; mais, à cause de la relation
(3) . . . . w'»î"w"' = — ^(2of — 3a„aifl2 + Oo«3).
on voit qu'on peut exprimer par exemple m'" rationnellement au moyen de m' et m".
Les racines de X = 0 sont alors données par les formules
aoXi = — ai-\-m' -\-m" -^ m'",
,00X2 = — ai-\-m' — m" — m'",
aoXs = — ai — m'-\-m" — m"',
aox^ = — ai — m' — m"-\- m'".
Ces formules conduisent directement à cette conséquence que les rapports Enharmoniques de x^, x^, %, x^ s'expriment rationnellement par les racines u', u", u'". En effet , on trouve , par exemple
ou bien
Or, comme l'équation Y = 0 donne lieu à la même équation résolvante en u, on voit bien que l'égalité des invariants entraîne l'égalité des rapports anharmoniques.
Ce point étant établi , supposons
Xi — Xs . x^ — x^ 2/1 — ^3 . Vi — yt . — . >
et supposons qu'on détermine les coefficients p, q, r, s dans la relation
(6) p -\-qx-\rry -{-sxy = 0,
par la condition que , pour
on aura aussi nécessairement , pour x-=x^, y = y^.
La substitution (6) donnera alors nécessairement un résultat de cette forme
dx d^
où c est une constante. Mais maintenant les invariants de cY doivent encore être égaux à ceux de X ou de Y, ce qui donne
d'où l'on conclut c = + !• •
Nous venons de déterminer les coefficients p, q, r, s (ou plutôt leurs rapports) par la condition de la correspondance des valeurs suivantes de a; et de y:
. iX = Xi, X2, x^, x^,
mais , à cause de
il est clair qu'on aurait pu établir les correspondances suivantes:
. . j a; = a?! , x^, Xq, x^,
/TTi\ (2; = a;i, r»2, 0:3, a;^,
\y = ys> Vi, Vi. V'z)
/jyX tX^Xi, X2, X^, 3/4 ,
Nous obtenons donc le résultat suivant:
Pour qu'il soit possible de satisfaire à l'équation différentielle
dx dy
vx ~ Vf
par une relation de la forme
p-{- qx-{-ry -{-sxy = 0,
il faut et il suffit que les invariants de X soient égaux aux invariants de Y; et, si cette condition est remplie, il existe toujours quatre relations de cette forme qui satisfont à l'équation différentielle.
On peut nommer ces relations des intégrales linéaires de l'équation différentielle , et notre but principal sera maintenant d'approfondir au point de vue algébrique la détermination de ces intégrales linéaires.
Il faut remarquer, en efïet, que, d'après ce qui précède, on peut bien écrire directement ces intégrales linéaires, mais à condition d'avoir résolu d'abord les équations X ^ 0 et Y = 0. Les opérations non rationnelles nécessaires pour cela sont d'abord la détermination des trois racines m', ti", u'" de l'équation cubique en m, et ensuite on a à calculer encore quatre racines carrées.
Mais , comme on vient de reconnaître que le problème admet toujours quatre solutions, la solution doit dépendre d'une seule équation du quatrième degré , et ainsi il doit être possible d'obtenir rationnellement ces intégrales linéaires après avoir calculé les racines d'une équation cubique et deux racines carrées.
Ainsi, au point de vue algébrique, la méthode qui consiste à passer par les racines de X=:0, Y = 0 n'a pas toute la simplicité "possible.
Mais, avant d'aborder le problème que nous venons de poser, il convient de compléter encore par quelques remarques ces considérations préliminaires.
4. Nous avons vu que les rapports anharmoniques des a\, x^, x^, x^ s'expriment rationnellement au moyen des racines m', u", u'" . Or , dans les formules (4), les racines carrées doivent satisfaire à la relation (3) et par conséquent il est permis de changer à la fois le signe de deux de ces racines carrées. Il est clair qu'un tel changement de signes revient à une certaine permutation des racines iCi, x,^, x^, x^ et l'on conclut maintenant que ces permutations sont précisément celles qui laissent invariable le rapport anharmonique.
Il est facile de trouver directement l'équation du sixième degré qui détermine les rapports anharmoniques. Les coefficients de cette équation sont évidemment des fonctions symétriques de m', m", u'" et s'expriment ainsi rationnellement par S et T.
Les équations (5) donnent facilement
et , en substituant ces expressions dans les relations
T= \u'u"u"', il vient
27T = 4 (u' — u"f{l -f A) (— 2 + A) (1 — 2>l); donc
On vérifie directement que le second membre ne change pas en remplaçant A par -y ou par 1 — A.
La résolution de cette équation du sixième degré, nous le savons, ne renferme pas de plus grandes difficultés que la résolution d'une équation cubique. En effet, ses racines s'expriment rationnellement au moyen de m', m", u'" ; mais , comme l'équation (8) ne renferme que le
seul paramètre mg qui est un invariant absolu , il vaut mieux mtroduire
aussi dans l'équation cubique ce seul paramètre. Soit donc S u = T ?; : il vient
iv'-^{v-\-l) = 0,
et , en désignant par v', v", v'" les racines , on a
Lorsque l'équation X = 0 admet une racine double, les valeurs du rapport anharmonique sont
00, 00, 1, 1, 0, 0, et ainsi l'équation (8) doit se réduire à
On voit que cela exige que S^ — 27 T^ = 0 , et l'on sait en effet que le discriminant de X est égal à 256 (S^ — 27 T^). Comme conséquence, on peut écrire, au lieu de (8),
5. Considérons maintenant les cas particuliers que nous avons déjà énumérés dans le n". 2.
A. A = — 1 (ou =2, ou =1^):
Dans ce cas on a A = y II semble donc que, pour transformer au moyen d'une substitution linéaire |^__ en ± |^, on puisse employer
non seulement les correspondances (I), (II), (III), (IV) du n" 3, mais encore les suivantes :
ix = Xi, X2, x^, x^, (1 ) \
'v=Vi, Vt, Vi, ys;
,, J X = a^i , X2, Xg, x^,
(Il ) i
'y=!/2> Vi, y^> Vi)
'y = !/3, 2/4. ^2. yi>
lX = Xi, X^, Xg, x^, 'y =^4» ."3) Vl, .V2-
Faut-il en conclure que dans ce cas exceptionnel il existe huit sub-
.... . , dx du ^ ., ,
stitutions hnéaires qui transforment . . - en it r7=^ r 11 n en est rien
En effet, l'équation (8) montre qu'on a dans le cas actuel T^O. Mais alors les relations (7) se réduisent à
et l'on peut en conclure seulement c= ± 1.
Donc, dans le cas T=:0, il n'existe pas seulement quatre intégrales linéaires de l'équation différentielle
dx dy
Vx~-Vy'
mais il y en a autant qui donnent
dx dy
Les unes seront données par les correspondances (I), (II), (III), (IV) et les autres par les correspondances (I'), (II'), (IH')» (I V)-
Le second cas :
B. A = 1 -f- £ (ou = 1 -|- £2) , donne lieu à des remarques analogues. L'équation (8) montre que S = 0 , et les relations (7) se réduisent à
d'où l'on peut conclure seulement c=l, c = £, c = e^.
Chacune des trois équations
dx dy
VY
dx dy dx dy
vl~ vWy
admettra quatre intégrales linéaires. Les unes sont déterminées par les correspondances (I) , (II) , (III) , (IV) et les autres par celles-ci
IjX — Xi, X2, X^, X4 ,
h=yi, Va. Vi, ^2'
/y ^^^ ly /y» /y» ly*
jj — .t/j , X2 , -l'a , ^4 ,
S'=y2. y4. y.s. Vx,
/y ^^— /y rr* /v" IT
y =^3. yi; V2y Vi'i
( x = ajj , X2, Xq, x^,
\y=Vi, ^2. yi. ys;
X — aîj , ^2 , a^ , x^,
y =yi, y*. y2. ys;
j a; ^ ajj , a;2 , aïs , 374 ,
(y =y2. V3, Vi, y*; U=y3> y2. y*> yi;
y=y4, yu ys. y2-
6. Comme application des considérations précédentes, considérons la réduction à la forme normale
dx Kl
^dy
M étant une constante. Le rapport anharmonique de -j- 1 » — 1 , + — -r étant (T^"t) • il faudra déterminer k par la relation
On trouve ainsi deux valeurs réciproques de A;; à chacune d'elles correspondent quatre substitutions linéaires, et, si l'on se souvient que X a six valeurs, il semble qu'on obtient ainsi 48 substitutions
linéaires qui réduisent à la forme normale la différentielle -r-^ ' Mais il faut remarquer que le changement de A en y correspond au change-
ment de A en — k; par suite, le nombre des substitutions linéaires se réduit à vingt-quatre , et le nombre des valeurs de k^ est six , qui sont réciproques deux à deux. Si ± A; est l'une des valeurs du module, les autres sont égales à
±1 , n+yic]' ±(^-^A' ji+iyA' ^(i-iVk''
Les racines de Y = 0 sont 1, 7^2» 0, «. Leur rapport anharmonique
A' -\i-VkJ' -"\l + l/Â/' \l-iVlcj' -\l + iVk) Une autre méthode , plus simple à beaucoup d'égards , consiste à poser d'abord
dx Mdy
est ^ et l'on a ainsi
kl = l
On voit qu'ici la signification de Af est beaucoup plus simple que dans le premier cas. On trouve encore six valeurs de kl et vingt-quatre substitutions linéaires. En posant y = s^, on est ramené à la forme canonique ordinaire. Mais il faut remarquer que , si les coefficients de X sont réels et qu'on veuille avoir une valeur de Aj qui soit réelle et comprise entre 0 et 1 , cette seconde méthode n'est applicable que dans le cas oïl les racines de X =: 0 sont réelles. Mais il n'entre pas dans nos intentions de discuter ces substitutions en ayant égard aux limites entre lesquelles a; et y sont variables ; c'est une discussion qu'on trouve dans les Traités des fonctions elliptiques. Constatons seulement , en terminant ces considérations préliminaires, que les intégrales linéaires de
dx dy
sont
DÉTERMINATION DES INTÉGRALES LINÉAIRES DE l'ÉQUATION r7^ •= ± r^l^-
VX Vy
7. La méthode la plus directe pour résoudre le problème proposé consisterait à effectuer la substitution
p-\-qx-\-ry -^8xij = 0
OU
P + ry
On trouve ainsi par identification
(ps — qrfbi = rsPao — r^{Sps-\-qr)ai-{-3rsips-\-qr)a2~
— s^{ps-\-3qr)as-i-s^qai,
{ps — qrfb2^r^p^aQ — 2rp{ps-^qr)ai-\-{p^s^-\-q^s^-\-ipqrs)a2 —
— 2qs{ps + qr)a^-\-q^s^ai, {ps — qrfbQ = rp^ao — p^ips -\-Sqr)ai + Sp? {ps -\- qr)a2 —
— q^ (3ps + qr) as + ç^sa^,
{ps — qrfbi = p*ao — 4:p^qai-^6p^q'^a2 — ipçî^as + g^ai.
Ces cinq relations , à cause de l'égalité des invariants de X et de Y, se réduisent à trois relations distinctes seulement , et le problème qui consiste à déterminer les rapports des quantités p, q, r, s est déterminé.
Mais c'est une voie bien différente qui nous conduira à la solution du problème.
8. Nous aurons à nous appuyer dans ce qui suit sur certains résultats de la théorie algébrique des formes biquadratiques , pour lesquels nous renvoyons le lecteur aux Mémoires classiques de M. Hermite : Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminés , dans le tome 52 du Journal de Crelle.
Désignons par Rx 1^ hessien de X
Hx =
Ui
dx' t^a;
dx i>x'
Hx := {a,)a2 — a?) œ* + 2 {a^a^ — a^a2)o(^ -{-
+ (aoa4+2o'ia3— 3a|)a;2 + 2 (Oj «4 — «a «a) « + («3 ''4 — «1) . et par J, le covariant du sixième degré qui est le jacobien de X et de Hx
dx ;dx
8 ÔHx èHx
Jx =
Les covariants sont liés par la relation
4 H^ — S Ho; X2 + T X3 = - J2, d'où M. Hermite a tiré cette conséquence importante, qu'en posant
il vient
2dx +du
VX Viu^ — Su-T Désignons maintenant par Hy, J» les covariants de Y; en posant
il viendra de la même manière
2dy ±dv
Il est évident par là que la relation u = v, c'est-à-dire
XHj, — YH;, = 0, satisfait à l'équation différentielle
dx dy
Cherchons à approfondir maintenant la nature de cette intégrale particulière.
Pour cela , considérons d'abord le cas particulier
On trouve par un calcul facile
X}iy-YE, = }(l-k^f(x-y){x + y)il-kxy){l-\-kxy)
= i{l—k^f(xy'—yx'){xy'-\-yx')(x'tf' — kxy)(x'y'-\-kxy).
L'intégrale
XHy— YH=. = 0
a donc une nature toute particulière ; on voit qu'elle se décompose ainsi
X — y = 0, a; + «/ = 0, 1 — A;xy = 0, \-\-]ixy^^, et elle résume donc les quatre intégrales linéaires de l'équation différentielle.
9. Il est facile maintenant d'étendre ce théorème au cas général et de montrer que
X n.y Y Ha;
est égal au produit de quatre expressions linéaires de cette forme
j)-\-qxAr'ry-\-sxy, et alors il est clair que notre problème revient simplement à décomposer X Hy — Y Hx en quatre facteurs.
En effet , c'est là une conséquence de ce fait que H , H» , Y, Hj/ sont des covariants.
Nous savons que , par une substitution
X ax^-\-^x[ X'~ yXi -j-àx[
on peut réduire
(Ix . , r ■ <^%
Y7= à la forme canonique ,- „ „ =iF '
Par une substitution analogue , on réduira
dy . , r • dyi
■ .— a la lorme canonique ^r===F=^^=^^ VY ^ fc'il-yl){l-k^y\)
et, à cause de l'égalité des invariants de X et Y, on peut faire en sorte qu'on ait la même valeur de k^ dans les différentielles transformées, et alors on a aussi nécessairement C = C. On est ramené ainsi au cas particulier que nous venons de considérer , et , si l'on écrit
C(l-rcf)(l— ft^a;?) = Xi, C{l-yl)il-k''y!) = Y„ on a
^1 Hy, — Yj Hx,
= \ a—k^fCHx^y'i — yiOc^i) (a^2/i + yia^i) (a;i j/i — kx^y^) (x'iy'i + *a;iyi).
Mais Xj s'obtient en remplaçant dans X
X par aXi-\-^afi, x' par yXi-\-ôafi,
et en divisant ensuite par (ad — ^yf. Ainsi l'on peut écrire
et, en vertu de la propriété caractéristique des covariants, on trouve aussi
Hx = (a<5-yîy)2Hx„
On aura de même
Y = (a'<5'-yS'/)2Y,, Uy = (a'ô'-p'Y'fHy,.
Par conséquent , pour avoir X Hy — YBx, il suffit de remplacer dans l'expression de Xj Hy — Yj ]îx,Xi,x[, y^, y[ par leurs valeurs en x, x' , y , y' tirées des relations
X = aXi + jffxi , x'= yx^ + ôx'i ;
y = «' «/i + i^' yi .
y' = /yi + ^' y'i ,
et de multiplier par {ad — /S yf (a' à' — ^' y'f. On aurait même pu supposer égaux à l'unité les déterminants des substitutions. Il est clair que l'expression ainsi obtenue se présente bien sous la forme d'un produit de quatre expressions , telles que
px' y' -\- qxy' -\-ryx' -{-8xy = p -\-qx-\- ry -{-sxy.
Ainsi nous pouvons énoncer la propriété suivante: Lorsque deux formes biquadratiques X, Y ont leurs invariants égaux, alors l'expression
X Hy — Y xîx
est décomposable en un produit de quatre expressions de cette forme
p + qx + ry + sxy,
et, en annulant ces facteurs, on obtient précisément les quatre intégrales linéaires de l'équation différentielle
dx dy
