cot 2 M ^ 5— =i — s H — 7—r, — -r^ = U

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R- — 2 R r COS ç- -j- r^] - 1. 171

En introduisant maintenant au lieu de T le développement (6), on obtient pour V» la relation

^+2cot2M4^ + du^ du '

Ô^Vn , 1

d^Vn

C'est cette équation différentielle linéaire qui permet d'obtenir facilement le développement cherché de Y„ suivant les cosinus des multiples de ic — x' et de y — y'.

3. On reconnaît sans peine, par l'inspection des formules (5) et (7), que ce développement se compose d'une série de termes

C coa i {x — x') coa k (y — y'),

où i,k sont des entiers tels que n — i — A; est pair et non négatif. Ensuite on voit que hs coefficient C est divisible par

(ces u cos u'Y (sin u sin u'f

et que le quotient est un polynôme en sin^ m et sin^ u'. Nous posons

(10) . . . Yn=^'^' iRlkCoai(x — x')coak(y — y'),

avec cette convention que , lorsque l'un des indices i, A; est égal à zéro, il faudra remplacer le coefficient 4 par 2 , et , lorsque i=:k^=0 (ce qui n'arrive que lorsque n est pair) , il faudra remplacer 4 par 1.

En introduisant le développement (10) dans l'équation différentielle (9), on obtient pour E^^^ l'équation différentielle

d M^ du

En posant maintenant

R^j = co8< u sin* M S"t, S"a sera un polynôme entier en

t = sin^ u

172 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPKESSION [R" — 2Rr COaq}-\- r'^2~^-

et l'équation (11) nous donne

cP S" d S"

ii4-k — n « = 2—' i±k±n±2 ^ 2

On en conclut

S;;* = C^(a,^,y, sin^M);

a en effet est un nombre entier négatif, en sorte que la série hypergéométrique se réduit à un polynôme.

D'après cela , on doit avoir

r;|j = C cos'' M sin* uS{a, ^,y, sin''' m),

C étant indépendant de u. Mais il est clair que le coefficient R^^j es: symétrique en m et m'; donc

l R"fc = c"a (cos M cos M')' (sin M sin "')*

( X^{a,^, Y, sin^M)^ (a,/S, /.sin^M'),

(^fc étant un coefficient numérique qu'il reste à déterminer.