Pour cela , posons u = u' ; on aura
cos (p = {i — t) cos {x — x')-\-t cos (y — y') , R"fc = C (1 - 0'«*^' («,/». y. 0.
et , à cause de i-\-k — 2a = n, le coefficient de P dans RJ^^. est
Mais, d'autre part, d'après la formule (7), le coefficient de <" dans Vn est
2" [cos {y — y') — cos {x — a;')]"-
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS Ç) + r^] - 1. 1 73
En posant donc pour simplifier ic' = 7r, y' ^0, on doit avoir
[ 2" (cos X + cos y)"
COS i X cos k y.
[y{y-{.l)...{y-a—ly
Mais le développement de
2" (cos X + cos y)" se trouve directement sans difficulté , et le résultat est
12" (cos X -f- cos «/)" = y'y'4 n{n)n(n) ^4- n(»-=A-^->f-L+i+-*)n(=L=l±*)n(^+|^*)
x cos k y.
La comparaison de ces formules (15) et (16) donne la valeur cherchée de cj'^
5. Voici maintenant comment on obtient le développement (16). On a d'abord
2" (cos X + cos 2/)" = ^ (n)r (2 cos x)»-'' (2 cos yY,
en posant
l.2...r et comme on a , d'autre part ,
(2 cos a;)" = ]^' 2 (w)n-r cos r çp ,
174 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE l'eXPRESSION [R^ — 2 R ? CCS <p -{- 'l'^} ^■
il vient
2» (C08 X + COS y)" = V V' y\'i («)r (W — r)rt-r-i{r)r-k cos i X cos ky, rik 22
et, en écrivant
2" (cos a; + 008 2/)"= ^'^' 4^^ cos i a; cos A «/ ,
on aura
OÙ
Soit "~^~^ = w,^^^ = s; l'expression précédente devient 2 ^
Mais on voit facilement que
= (w)m(Wî)s(W — Wî)„m -fc-»,
donc
fc»^ = («)^ [{w,)o (n — m)„m k+ (»j)j (m — m)n-m-k-\-\- ■ • •]
ou
ce qui fournit le développement (16).
On voit que f"^ est le produit de deux coefficients binomiaux, il en est de même de
(^jij = (m — m)k {n — m — i)*.
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R2 — 2 R r COS 9; + ? 2"]- 1 ^75
6. Voici donc le résultat de cette analyse : I R2 — 2 R r [cos u cos u' cos (x — x') + sin m sin u' cos {y — «/')] + ^^ | ~ ^
= 2- ^" Rn + 2 '
V„ = ^ ^ 4 c"j (cos M cos m')' (sin u sin ?*'}*
X f (a, /S, j', sin^n)§{a, p, y, sin^ m') cos f (a; — x') cos k {y — y') ,
iA-k — n
M. Tisserand a obtenu d'abord , dans le tome LXXXIX des Comptes
rendus des séances de l'Académie des Sciences, ce résultat, qu'en
j ,, • sin(n4-l)œ posant dans 1 expression r- >
^ ^ sin 97
cos (p = cos^ M cos a; -|- sin^ M cos y
et en développant suivant les cosinus des multiples de a; et de y, le coefficient de cos i x cos k y est égal à
4(^fcC082«Msin2*M^2(Q^^^ y^ sin^M).
Mais la découverte de ce beau résultat a été extrêmement laborieuse, comme on peut le voir par l'analyse compliquée par laquelle M. Tisserand a démontré son résultat.
En réfléchissant sur cette belle formule, nous avons observé d'abord qu'en posant
cos <p = cos M cos m' cos a; -f- sin m sin u' cos y , les coefficients devenaient des produits de fonctions analogues en u et u', et nous avons trouvé ensuite dans l'extension de la théorie du potentiel au cas de quatre variables l'origine vraie de cette formule.
1 76 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE l'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS 95 -f J ^] " ^
Nous observons qu'un point essentiel de notre analyse consiste dans ce changement de variables
a;i = rcosMcosaj, X2 = r cos M sin a; , a^ = rsin Mcosî/, Xi = r sin u sin y.
Green, Jacobi et d'autres géomètres, qui se sont occupés de cette extension de la théorie du potentiel, ont introduit d'une autre manière des variables analogues aux coordonnées polaires, en posant
Xi = r cos 61 ,
Xg = ^ sin 01 cos 02 »
rcg = r sin Sj sin 62. cos ^3 1
x^ = r sin 0^ sin 0^ sin ^s-
7. II est clair que notre analyse est parfaitement analogue à celle de Laplace concernant la fonction
X„ (cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos 95).
Il serait facile de poursuivre cette analogie et d'arriver, par exemple,
au développement
où
nA-\ [^ , (^"(^"a-, ,sin(w + l)9P , ,
(19) Z*")=^^^/ sinMiCOSMidMi / / %(u^,Xy,yi) ^^^ -dx^dy^,
ces 9» = cos « cos «1 cos (X — Xi) + sin u sin u^ cos {y — y^) ,
f (M, X, y) étant une fonction arbitraire continue, donnée pour les valeurs
0<tt<J,
0<j/<2ji,
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2Rr COa ç> + r^^K 1 77
et telle que
§f(0, X, y) est indépendant de y,
^ \2' *' ^) ^^^ indépendant de x,
Mais, au lieu d'insister sur ce sujet, nous croyons être plus utile en appelant l'attention sur quelques autres formules.
