Dans le cas de l'intégrale
/•"" sin aw ^
la résolution approchée de R„ = 0 est donc donnée par les développements
(22) a — ^n g + g^yy ^^ Ï632960 n^'
, . , f" sin au , 1
Pour n= 1, on aurait, d après (22), la racine de / ^1^2"" — ^
approximativement égale à 1,86012. Pour calculer la valeur exacte,
nous observons qu'on déduit de la formule (16), en remplaçant ^ ^2
11,11 par 2 1 w + 2 l-\-v'
en sorte que l'équation à résoudre par approximation est
On trouve a = 1,85986 et l'erreur de notre formule approchée dans ce cas extrême 0,00026.
10. En remplaçant, dans la formule (21), m par 2 n + 1 , on trouve que, dans le cas de l'intégrale
r* M CO8 au , — / -^1 2- du,
la résolution approchée de R„ = 0 est donnée par les formules
Ces formules donnent une approximation largement suffisante; en
prenant w = 0 dans (24), on aurait 0,87905 comme valeur approchée de la racine de l'équation transcendante
f^ MCOS «M , , ,. , ,
/ -î-t:^^m = — ie^^liCe") — ICli (e-«) = 0.
La valeur exacte est 0,87964:.
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE SEMI-CONVERGENTE DE log r{ai).
11. Avant d'aborder le développement de log r (ai), nous croyons utile de résumer ici le résultat auquel on est arrivé par l'étude du développement de logr(a), en renvoyant d'ailleurs pour les démonstrations au travail de M. Bourguet.
Le premier travail rigoureux sur ce sujet, qui est dû à Cauchy, a son point de départ dans cette formule à laquelle Binet était déjà arrivé,
du.
(26)]ogr(a) = (a-i)loga-a+ilog2^-j-/ ^^^^A + -^
Pour obtenir le terme complémentaire sous forme finie , il est plus avantageux de partir de l'expression
(27)Iogr(a) = (a-i)loga-a+ilog2. + A/"^log(j-A^),
et l'on trouve
! r« dM / 1^ \
jtj 1 f-M2"'^\l e-2^ott|
r^ = — ,~r^.2 log î o — d u.
71 J 1 -j- M'' ° W — e-2;toH/
M. Bourguet trouve que l'indice du plus petit terme est le premier nombre entier supérieur à ^ra -f — -f ^ — , et il donne comme racine
%. Ou TT et
approchée de R„ — R„i = 0 l'expression
On conclut de ce qui précède que le reste du plus petit terme est, à fort peu près, égal à la moitié de ce terme. En posant na=:n-\-Tj, on peut développer R« suivant les puissances descendantes de n. Comme nous aurons à exposer plus loin un calcul analogue dans le cas du terme complémentaire d'une série de seconde espèce, nous nous bornerons à donner ici le résultat suivant
e-2:ta
vnn
1 / 1 , 5 \ 1 J + lYl W n +
On peut en déduire encore sans difficulté la résolution approchée de
1 équation —3 — ^0; nous trouvons
^ dn '
12. Nous allons nous occuper maintenant du développement de logr(aO- Observons d'abord que, d'après la définition de la fonction r adoptée par Gauss, on a
g a t log n
r(ai) = Lira ., , r- (w = 00 ).
En se rappelant la loi de multiplication de deux nombres complexes , on en conclut qu'en posant
(30) r(at) = Re®'.
on aura
R=l:|/aMl+«^)(l + -f)(l + ^).--, c'est-à-dire
(31) R:=1/ZZJZZZ
et puis
(32) 0 = Lira la log n =F ^ — arc tang a — arc tang -^ — ... — arc tang — J
Il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que a est positif ou négatif, et les arcs doivent être pris entre les limites ± -p-- Dans la
suite nous supposerons toujours que a est positif. Comme l'on a
logr(oî) = logR + 9i,
on voit que nous aurons à nous occuper seulement du développement de la partie imaginaire &. On pourrait, dans cette recherche, partir de l'expression (32), mais il est beaucoup plus simple, comme nous le verrons, de .se servir de la formule de Binet
logr(a) = (a-i)loga-a + ilog2^+|"(^^^^-^ + l)'-Ç"dM.
13. En établissant cette formule , on a en vue ordinairement seulement les valeurs réelles de a. On voit cependant facilement que rien n'empêche d'attribuer à a une valeur imaginaire quelconque , à la condition toutefois que la partie réelle de a soit positive. Les logarithmes qui entrent dans la formule ont une détermination unique par la condition même que la variable ne doit jamais franchir l'axe des y.
Cependant, comme nous voulons changer a en ai, quantité dont la partie réelle est nulle, il est nécessaire de justifier cette opération.
Evidemment, cette application delà formule de Binet sera justifiée si nous faisons voir :
1" Que l'intégrale
J \eu 1 u ^ 21
du
a un sens ;
2" Que cette intégrale est la limite vers laquelle tend
lorsque la quantité positive b décroît indéfiniment.
Le premier point est à peu près évident , car la fonction
qui entre dans les intégrales
ri 1 1 , Mcosaw, /•=" / 1 1 1 \ ain au
est positive et décroissante; elle devient infiniment petite pour m = oo, Le second point à établir revient à montrer que les intégrales
: P -^-^'(1 — e-*") cos au du, J u
oïl nous avons posé
N ~ r ^^'{1 — e-*") sin au du,
convergent vers zéro en même temps que b.
Nous remarquons que les fonctions 95 (m) et -^- sont toujours finies , et décomposons M en trois parties
r 'P^i^Y — e-'"') cos au du,
fi (.
On a évidemment
donc
lira Ml = 0 pour 6 = 0.
Ensuite
IMgi <(l-e-'^*)9'(l)log|/y,
I désignant une valeur entre 1 et 1/ . On en conclut
lim M2 = 0.
Quant à M3, en appliquant le second théorème de la moyenne,
f f{x) y> (x) dx = f{a)j rp {x) dx-\- f{b) f y;{x)dx,
OÙ la fonction f(x) doit varier toujours dans le même sens,
M3 = (1 - e - ^~') C ^^ cos audu+r ^^ cos au du. 'J u ^J u
fi "
Mais l'intégrale j —~ cos au du ayant un sens , les deux intégrales "o qui figurent au second membre convergent vers zéro et lim M3=:0.
On conclut de tout ce qui précède lim M = 0, et la même démonstration s'applique à l'intégrale N; donc aussi lim N = 0.
D'après cela, il est permis de changer a en a* dans la formule de Binet , et nous obtenons ainsi
(33) . ïogR = ^\og2n—l\oga—ljia-{-f ^-^cosawdM,
sm au du.
(34) . . . e = aloga-a-~-f ^
14. Nous avons à transformer d'abord les intégrales qui figurent dans les second membres. Soit
en substituant y. ,,2 1 ^.2 2 au Heu de <p{u), nous trouvons
Nous avons vu déjà (n" 7) qu'il est permis de remplacer, dans l'intégrale
l'intégration le long de l'axe des x, par une intégration le long de l'axe des y , en évitant par un petit demi-cercle de rayon s le point t. On obtient ainsi
et , par conséquent , V = 15- log
, .n/i-ï dv 1 ■ 1 p dv 1 \
(35) . . / -^-^^^ cos au du = -^7^ log:, — ,
^ ' J u 2 1 — e-2:io'
/■"" <p(7«) . , 1 /"i-« dw , 1
/ —^—^ am au du = - z „ log ;j
J u nj 1 — v^ 1 — e-s^io»
, 1 p dv 1
En portant la valeur (35) dans la formule (33), on retombe sur la valeur finie de R déjà donnée [formule (31)].
15. En employant dans le second membre de la formule (36) l'identité
on trouve, en ayant égard à la formule
(37) . ■ Aj%2.-2iog^--l-^d.= (^^^^|^^,,,
(qu'on obtient en développant en série le logarithme) ,
-pW..-.,.., ^«. fil 1 Bs 1 . B»
(38) /- ^ ,i„ a„ .« = jA.- +^.+ -~ + (2ir^-„|ï-,;,r-^+R..
P 1 fi-^v^^dv , 1 , 1 r^ v2»dt? 1
C'est la série semi-convergente que nous avions en vue ; le terme complémentaire se présente sous la forme de la valeur principale de
1 /-°° v^'^dv 1
„ j l î,2 'Ogl e-2:Ta.
Il est intéressant de rapprocher de cette formule la forme du terme complémentaire dans le cas de la série de Stirling [formule (28)].
La série étant de seconde espèce , il nous reste à déterminer approxi mativement la racine de l'équation R„ = 0. Pour cela, nous développons d'abord R„ suivant les puissances descendantes de n.
