P = AB
alors il est clair que le nombre N = A -j- B n'est divisible ni par 2 , ni par 3, . . . , ni par p. En décomposant donc N en facteurs premiers, on trouvera nécessairement des nombres premiers qui surpassent p.
Remarquons avec M. Cayley que, si l'on prend A = P, B = l, les nombres N -|- 1, N + 2, ..., N -j-p — 1 sont tous composés; d'où l'on voit que la différence de deux nombres premiers consécutifs peut surpasser un nombre donné.
18. Voici une proposition dont on a besoin quelquefois. Il est toujours possible de mettre le p. p. c. m. des nombres a, 6, c, . . . , i sous la forme d'un produit
dont les facteurs sont premiers entre eux et divisent respectivement o, 6, c, . . . , i. Adoptons les notations du n" 16, le p. p. c, m. est
Écrivons les nombres a, 6, c, . . . , i l'un au-dessous de l'autre. Ecrivons ensuite le facteur pj' à côté d'un des nombres a,h, c, . . . ,1 qu'il divise (un au moins de ces nombres est divisible par pj"). Faisons de même pour pg' • • -P**- Alors on prendra pour a' le produit des nombres
qu'on aura écrits à côté de a (a' = 1 lorsque aucun nombre ne se trouverait à côté de a), de même pour 6', c', . . . , l'.
Il est clair qu'on obtiendra toujours au moins une solution ; elle est unique dans le cas où, parmi les nombres a, 6, ...,/, il n'y en a qu'un seul divisible , soit par p^, soit par p^, etc. Dans le cas contraire , le problème admet toujours plusieurs solutions.
19. On peut toujours obtenir une solution , sans décomposer les nombres a, b, c, . . . , l en facteurs premiers et uniquement à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
Mais , pour abréger, nous nous bornerons au cas de deux nombres o et 6, d'où il est facile, du reste, de remonter au cas général. Soit (a , 6) = d , et calculons
{^' ")="'■ ii' ")=''■■
a' et b' seront premiers entre eux , puisque ^ et -v le sont ; d sera donc divisible par leur produit , soit
et puis
En continuant ainsi, on finira toujours par arriver à un couple
o(* + i)i^ 6<* + i) = l, car
d = a'b'd' = a' a" b' b" d" = a' a" a'" b' b" b'" d'" = ... On aura alors
et, pour le p. p. cm.,
ab
Les nombres "j^ et -3- sont premiers entre eux , et , a', a", . . . a<*' étant
des diviseurs de -j, b', b", . . . 6<'> des diviseurs de -3 , il est clair que les deux facteurs
^ X a' a" . . . a<*' et ~ X b' b" . . . 6<*) d d
sont premiers entre eux. Ensuite d<*' est premier avec chacun de ces facteurs, car
l~, (i(*)) = a<* + i) = 1 , (A, d(A)J = 5(* + i) = 1. En prenant donc
A = 4 Xa'a"...ft(*'
B = -^-X6'6"...6<*'Xd<*),
on aura m = AB, A et B seront premiers entre eux , puis A divise a et B divise b. Plus généralement, si l'on a d<** =pq, p et q étant premiers entre eux , on pourra prendre
A = -| Xa'a"...a(*'Xp,
Si l'on suppose a et 6 décomposés en facteurs premiers , on verra facilement que
est le produit des puissances de nombres premiers qui figurent dans la décomposition de a avec des exposants plus grands que dans la décomposition de b, tandis que d^** est le produit des puissances de nombres premiers qui figurent avec le même exposant dans les décompo-
sitions de a et de b. Lorsqu'on a d<*'>l, on obtient toujours deux solutions au moins , en prenant soit p = 1 , ç = d**' , soit p = d'** , g =: 1. Mais, dans ce cas, il peut arriver que le problème admet encore d'autres solutions , et cela a lieu lorsque d<*) est divisible par plus d'un nombre premier. Mais, pour obtenir ces solutions, il faut absolument recourir à la décomposition de d**' en facteurs premiers : l'algoritiime d'Euclide seul ne peut pas les faire connaître.
20. En jetant maintenant un coup d'oeil sur le chemin que nous avons parcouru , on reconnaîtra que la théorie de la divisibilité des nombres repose sur ce fait, qu'étant données deux nombres a et 6, on peut toujours déterminer un nombre m, tel que
a = w6 -{-c, où
.Si l'on considère les nombres complexes a -|- 6 i (i = l^ — 1), on peut établir une relation analogue, et de là découle, pour ces nombres, une théorie de la divisibilité parfaitement analogue à celle des nombres ordinaires. Nous aurons à revenir plus tard sur cette question et d'autres de la même nature.
Les propositions les plus essentielles sur la divisibilité des nombres se trouvent déjà dans les Éléments d'Euclide; notamment on y trouve: l'algorithme pour la recherche du plus grand commun diviseur, la proposition qu'un produit ne peut être divisible par un nombre premier, à moins qu'un des facteurs ne le soit , la proposition qu'il y a un nombre infini de nombres premiers.
