DES CONGRUENCES

1. Si la différence des deux nombres a et b est divisible par un nombre M , o et 6 sont dits congrus par rapport à M ; le diviseur M est appelé le module ; a et 6 sont résidus l'un de l'autre suivant le module M. Pour exprimer cette relation , on écrit, d'après la notation de Gauss,

Oz^b (mod M) ;

cette formule est une congruence. Il y a avantage , dans cette théorie , à admettre , pour a et 6 , non seulement les valeurs entières positives , mais aussi les valeurs entières négatives.

Si r est le reste de la division de a par M, on a

a = r (mod M) ;

le reste r est ordinairement un des nombres

mais on pourrait le prendre aussi entre g- et + ^ ! d'où il suit que

tout nombre a un résidu qui ne surpasse pas en valeur absolue la moitié du module. C'est là le résidu minimum.

2. Nous allons indiquer ici les propriétés les plus élémentaires des congruences , il sera à peine nécessaire d'insister sur les démonstrations. Si l'on n'indique pas le module, il sera sous-entendu que ce module est toujours M.

Si l'on a

on aura ainsi

a-\-a'-\-a"-\-... = b + b' + b" + ..., ma^mb.

De même , on aura

et plus généralement

Ainsi

aa'a"... = bb'b" .

f{x,y,z,...) = ^Ar„,n,p,...x>''y'>zP...

étant un polynôme à coefficients entiers , on aura f{a,a',a",...)=r{b,b',b",...).