n— l)(8o)' du dv
C'est cette expression du ternie complémentaire, sous forme d'intégrale double singulière, qui va nous permettre de résoudre avec approximation l'équation transcendante R„ = 0.
28. Nous posons 2 a = n + »; et nous développons R„ suivant les puissances descendantes de n. L'intégrale
/ue-^x" e-*?" dîidv
v.p.ff(^:)"
1 — î< -f- V Km V
se décompose naturellement en deux parties P et Q, que nous allons considérer séparément.
Dans la première partie P, qui est positive, on a
[ —îl -\- v'^e, dans la seconde partie négative Q ,
La fonction t~ï~ devient maximum pour m= 1, v = 0, et l'on ob-
Fig. 6.
tient la partie principale de P en intégrant seulement sur cette partie du champ d'intégration qui forme le voisinage du point A. Toutefois
à cause de la ligne de discontinuité AM , il faut y ajouter une bande le long de cette ligne AM. Il en est de même évidemment pour la partie Q, et il faudrait donc évaluer P et Q en étendant l'intégration sur l'aire indiquée dans la Fig. 6; mais, au lieu de cela, nous intégrons d'abord seulement sur une aire dont la forme est indiquée dans la Fig. 7.
Fig. 7.
Nous négligeons donc de continuer indéfiniment la bande le long de la ligne de discontinuité. Nous verrons plus tard que ce procédé est légitime.
29. L'évaluation de l'intégrale P, étendue sur l'aire indiquée, s'obtient par un changement de variables.
Nous définissons d'abord une fonction <p {x) pour des valeurs positives de X par les relations
en supposant que t varie de 0 à 1. La fonction q> {x) est positive et constamment croissante, ç)(0) = 0, (p{co)=l. Pour des valeurs suffisamment petites de as, on peut développer tp(x) suivant les puissances ascendentes des x; nous avons déjà trouvé (n" 2)
q,{x) = V2x-%x' + ^V2x?-\-jl^x^ -]-....
Nous introduisons maintenant, dans l'intégrale P, les nouvelles variables X, y, en posant
l-fr"~
On voit d'abord que le long de AM (Fig. 7) x est constant et infiniment petit, tandis que y varie de 0 à oo. Ensuite, d'après la définition de 99 (x), on voit que, pour t; = 0, on a aussi ?/ = 0, et, le long de OA, x varie de 00 à 0. Nous avons donc seulement à nous occuper de cette partie de l'intégrale qui correspond à de petites valeurs de x et de y; mais, pour des valeurs suffisamment petites de x et de y, on peut développer u et V suivant les puissances croissantes de a; et de y; ces développements ne contiennent évidemment que les puissances paires de y. En éliminant v, on a
Me-« = [m -}- ç) (x)] e-i-^*-!'".
Le premier terme du développement de u étant 1, on a
M=l-faa; + ^a;2 + y?/2 + ^ar5 + exî/2 + ...,
et l'on détermine sans difficulté les coefficients a, /?, y, ... par la méthode des coefficients indéterminés. Le développement de v se trouve ensuite à l'aide de la relation v^u — l -]- (p (x). On obtient ainsi
M = 1 — 1/2 a; + I a;2 4- 2/2 — J^ 1/2 0^4- K2 a;î/2 - . . . , v = y''[l + V2x + ^x^-\-U V2x^-V2xf- + ...].
Il importe surtout de remarquer que tous les termes de v sont divisibles par y'^, car nous avons observé déjà que v et y s'annulent en même temps. On conclut des développements précédents
Vu= 1 1 1/2 a; + J^ a;2 -f 1 2^2 |. L K2 ar» -f 1 1/2 xî/'^ + . . . , Vv = y[l -\.lV2x-{- l-|a;2-fJ^K2a;»--^ 1/2 a; 2/2 +...].
A cause de u=:v -\-l — 99 (x) , on a
du dv
dx dx
dçp dx'
du dv dy~ dy
et
du dv du dv dv dtp
dy dx dx dy dy dx' U
en sorte qu'il vient
J j \l-\-v) l — u-\-v Vuv J J
ax ay Vu
et , par le développement de T ,
J J[l + v) l—ti + v ViTv
