Multiplication des matrices. - Soit
/j=l,2,...,n >l"''*ll U=l,2,...,m + «;'
ou II A II une matrice du type n X (m-j-n), {m'^ 0),
||c<,fc|| {i,k = l,2,...,n),
ou II C||, une matrice du type n X «, nous représenterons par
une matrice du même type que |j A |i et dont les éléments sont
u'i,k = Ci,l «1,4 + C,-,2 «2,* + • • •+ Ci^nCln,k
\A; = 1 , 2 , , . . , m -\- nj Lorsque || Cj || est encore du type n X n, nous écrirons
||Cil|X|lA'|| = l|CillX!|C||XjA||, et il est facile de voir que
!iCi!!xllC||xiiA|j = }i|Ciiix!ICiiixllA!|.
Mais on ne peut pas permuter les deux matrices dans un produit, et si l'on considère un produit de plusieurs facteurs
„C„tlXi|C„i||X...Xi|C!|xl!Ai|,
on suppose toujours que toutes les matrices i C^ |î sont du type n X n: seule la matrice ||A|| peut être du type nX{m-\-n), le produit est toujours du même type que j| A IJ.
Il est clair que , lorsque
||A'|l = IIC||XliA!|,
tout déterminant de || A' || est égal au déterminant correspondant de Il A II multiplié par le déterminant | C |. Les déterminants correspondants de II A II et II A' Il seront proportionnels et si, en particulier, le plus grand diviseur de | A | est = 1 , le plus grand diviseur de || A' || sera la valeur absolue de ! C |.
Dans le cas où le déterminant
Cl,l Ci,2 ... Ci,„ C2,l C2,2 ••• C2,n
Cn, 1 Cn, 2 • • • Cn,
nous désignerons par || C ||~i la matrice
en,\, ey2,i, ....
«Kl
Yi^k étant le coefficient de Cj,* dans le déterminant | C
On voit que
|C||XllCil-i = ||C|i-txliCîi =
et de la relation on peut conclure
||A'!i = l|C|lxllA!i,
i|A|| = ||C||-iX||A' IL
8. Soit li A|| la matrice formée par n solutions indépendantes, j|B|| la matrice formée par un système fondamental de solutions.
Puisque les solutions de || A || peuvent se déduire du système fondamental Il B II, cela revient , avec notre nouvelle notation , à dire que
Il est clair que le plus grand diviseur de || A || est = ± | C | , et, dans le cas I C I = ± 1 , Il A 11 est évidemment aussi un système fondamental de solutions , car
||B|| = ||C||-iXl|A||.
Si l'on considère plusieurs systèmes de n solutions indépendantes , ou de systèmes fondamentaux, les déterminants correspondants seront toujours proportionnels.
Théorème VI. - Lorsque le plus grand diviseur de la matrice
Il B II du type n X (m -)- w)
est ^ 1 , et que les déterminants d'une matrice
Il A II du type n X (m -\-n)
sont proportionnels aux déterminants correspondants de || B || , on a toujours
et la matrice || C || est unique.
En effet, on obtient pour déterminer c,,i, Ci,2, •> Ci^n les équations
Un déterminant quelconque de la matrice complétée de ce système , tel que
