En cherchant à exprimer une solution quelconque

par un système fondamental de solution A, a, on est amené à déterminer n inconnues t-^^, t^, . ■ ■ , tn par m-\-n équations

«i = ^l,itl + ^2,» <2 4" • • • 4" ^n,i tn

On sait d'avance qu'il existe une solution unique et en nombres entiers ; ce système linéaire doit donc présenter certaines circonstances

particulières. Nous allons montrer qu'elles se réduisent à ceci : d'abord le plus grand diviseur de la matrice du système est = 1 , ensuite tout déterminant de la matrice complétée se compose de n -(- 1 solutions.

Théorème IV. — Un système de m -|- n équations entre n inconnues

a» = ft,» h + ^2,i <2 + • • • + ^n,i '»

admet toujours une solution unique et en nombres entiers , lorsque le plus grand diviseur de la matrice du système est = 1 et que tous les déterminants de la matrice complétée sont nuls.

Nous ajouterons un théorème analogue sur les congruences.

Théorème V. — Un système de m-{-n congruences entre n inconnues

ai~Pi,ih -\-^2,it2 + ■ ■ . + l^n,it„ (modM), (î = l, 2, ...,m + n)

admet toujours une solution unique , lorsque le plus grand diviseur de la matrice du système est premier avec M et que tous les déterminants de la matrice complétée sont ^0 (modM).

Il suffira de démontrer ce dernier théorème ; nous pouvons écrire les congruences données ainsi

A, = ai (modM), (î= 1, 2, . . . , w -}- w),

les A, étant des fonctions linéaires en t^ft^, ..., tn- Considérons le déterminant minimum A de la matrice de ce système. Si A divise tous les autres déterminants , il sera premier avec M d'après notre hypothèse. Les n congruences correspondantes admettront alors une solution unique et cette solution satisfera aussi à toutes les autres congruences (voir le n° 1).

Mais si

A = !y?sft| (i,A=l,2,...,n)

ne divise pas tous les autres déterminants , il ne divisera pas , par

exemple , le déterminant

ft,3 ^2,3

Mais alors on pourra remplacer le système donné par le système équivalent

A, = aî {i=l,2,...,n,n-{-2,n-\-S,...,n-\-m), A„ + i — cAi = a„ + i — cai,

et ce nouveau système aura, pour une valeur convenable de c, un déterminant minimum plus petit que A. On pourra ainsi diminuer le déterminant minimum jusqu'à ce qu'il soit devenu égal au plus grand diviseur de la matrice donnée. Il divisera alors tous les autres déterminants et l'on est ramené au cas que nous avons considéré d'abord.

Le théorème IV peut se démontrer d'une façon toute semblable , ou encore par le raisonnement que nous avons fait dans la démonstration du théorème IX (Chapitre II).

Nous indiquerons encore une autre démonstration du théorème V.

Si l'on écrit

M = PXQXRX ...,

où P, Q, R, . . . sont des puissances de nombres premiers distincts, on reconnaît facilement que les congruences données admettent une solution unique, par rapport à chacun des modules P, Q, R, . . . , d'où l'on peut conclure qu'elles en admettent aussi une par rapport au module M.