Considérons maintenant le système non homogène

(III) .... ai,iXi-{-ai,2X2-\- . ■-^ai,m + nXm + n=^Ui

Soit d le plus grand diviseur de la matrice de ce système , d' le plus grand diviseur de la matrice complétée , il est clair que d' divise d. Mais, en éliminant m — 1 des inconnues, on reconnaît que tout déterminant de la matrice complétée , qui n'est pas en même temps un déterminant de la matrice non complétée , doit être divisible par d. Pour que le système (III) admette des solutions, il est donc nécessaire que l'on ait d ^ d'. Mais cette condition est aussi suffisante.

Théorème VIII. — Pour que le système (III) admette des solutions, il faut et il suffit que le plus grand diviseur de la matrice du système soit égal au plus grand diviseur de la matrice complétée.

En effet, dire que le système (III) admet une solution , c'est la même chose que de dire que le système homogène

UiXo-{- ai,i xi + a,-,2a;2 + • • • + ai-,m+na3m+n = 0 admet une solution où Xq = — 1. Or la solution générale du système homogène est

Xi = Po.i to-\- ^l,itl -}-... -|- /?„,, tn ,

En supposant d=:d' les déterminants de la matrice des || fii^k \\ qui renferment les coefficients /?o,o, /?i,o, . . • , /?n,o sont égaux aux déterminants correspondants de la matrice du système homogène , divisés par d. Mais ces déterminants sont simplement des déterminants du système (III), et en les divisant par d on obtient des nombres dont le p. g. c. d. est = 1. Il est clair par là que le p. g. c. d. de /ffo,o, A.o, . . • , Pn,o est aussi = 1 , et , par conséquent , on peut donner à tQ,ti, ..., fm des valeurs telles que Xq = — 1. On reconnaîtrait aussi facilement la vérité U 22

de ce théorème à l'aide de la méthode de réduction du n° 4. On voit , d'après ce théorème , que si l'on considère l'ensemble des solutions du

système homogène (I), la plus petite valeur de a;* (sauf 0) est -r, dk

étant le plus grand diviseur de la matrice obtenue en supprimant la

^ième colonue. Cette valeur -r- est donc, dans tout système fondamental

de solutions

le p. g. c. d. de ^i,k, ^2,k, . . . , ^n,k-

Il est clair que pour obtenir la solution la plus générale du système non homogène (III), il suffit d'ajouter à une solution particulière la solution la plus générale du système homogène (I).

12. Si le système (III) admet une solution pour certaines valeurs de Mj, «2, . . . , Mm, il en sera de même encore si l'on remplace ces nombres par «1, V2, ...,Vm,oiL

M, = v, (modd), i=: 1, 2, . . ., m.

La possibilité ou l'impossibilité du système ne dépend donc que des résidus de Mj , Wg , . . . , Mm , par rapport à d. Le nombre total de ces systèmes de résidus est de d"*, mais pour d"*~^ de ces systèmes seulement, les équations (III) admettent une solution. Pour le reconnaître, il suffit de recourir à la transformation du n" 10, qui donne un système équivalent de la forme

Ui = diyi,

«3 = /53,i yi + /53,2 j/2 + dsys,

Mm = /?m,l 2/1 + /îm,2«/2 + ••• "f"/'»«. ">-!?'"» -1 + (^mym, dj dg . . . dm = d.

Il est clair d'abord que Mj ne peut avoir que -j- valeurs par rapport au module d. A chacune de ces valeurs de Mj correspond une valeur déterminée de y. et ensuite évidemment -j- valeurs de «g par rapport

au module d. A chaque système de valeurs de m^ et Mg correspondent

ensuite des valeurs déterminées de y^ et y^ et ensuite -r- valeurs de Wg par rapport au module d, etc. Le nombre total des systèmes de résidus de «1, Mgj • • • I Wm, par rapport au module d, est donc

"l «2 dm

Parmi les valeurs admissibles pour m< figure toujours la valeur m,=0, et si l'on se donne d'avance

= Uk = 0,

les Mfc + i, . . . , Mm ne peuvent plus représenter que d"*"* systèmes de résidus par rapport au module d. Mais , en raisonnant comme tout à l'heure , on voit que , parmi ces systèmes , il n'y en a que

dk + i, dic + 2> ' • • , di

= did2...dicXd"'-''-\

pour lesquels le système (III) admet des solutions. Il est clair que d^d^. . .dk est ici le plus grand diviseur de la matrice des k premières des équations (III).

13. Ces propositions ont lieu encore dans le cas n = 0, lorsque le nombre des équations est égal au nombre des inconnues , et nous allons en faire une application dans un cas de cette nature.

Prenons un système de m^ nombres entiers

Hk {i,k=l,2,...,m),

dont le déterminant

à = \ai,k\ est positif > 0.

Si l'on considère les équations

Oai,l oa«,2 Otti^m

le déterminant est A^-^ et, d'après ce qu'on vient de voir, il y a ^(m-i)« systèmes de résidus m, par rapport au module A^-^ pour lesquels

le système (A) admet une solution entière. Mais la solution de ce système est donnée par les formules

i = 1 , 2 , . . . , wî.

On voit donc que si le système a une solution entière pour un système de valeurs de m^, «3, ..., «m, il en aura encore une en remplaçant M,par Vi = M, (mod A). Soit k le nombre des systèmes de résidus des m, par rapport au module A , pour lesquels les équations (A) admettent une solution, un tel système en engendrera évidemment a'"(">-2) par rapport au module A"» - 1 ; donc

Il est clair, du reste , que ce nombre k est simplement le nombre des solutions des congruences

ai,iMi 4-«2,<«2 + • • -|-«»i,<w»i^O (mod A), et , d'après un théorème que nous rencontrerons plus loin , on peut conclure de là aussi cette valeur A; = A. Ce résultat peut s'énoncer ainsi :

Théorème IX. — ^ Il y a exactement A systèmes de nombres entiers Xi, X2, . . . , Xm qui satisfont aux inégalités

^^ ÔA , ÔA , , ÔA . ^

— da,-,i ^ ' oa,-,2 àai,m

Dans les cas m = 2,m = 3, ce théorème admet une interprétation géométrique très simple. Considérons dans l'espace trois axes rectangulaires OX, OY , OZ et le réseau de tous les points dont les trois coordonnées X, y, s sont des nombres entiers. Soient

A (»! , 2/1 , «i), B (a;2, 2/2, Sg), C {x^, y^, s^) trois points du réseau ; nous supposerons que

Xi 2/1 2i

soit différent de zéro et positif. Alors A est le volume d'un parallèle-

pipède dont trois arêtes sont 0 A , 0 B , 0 C. Soient Oj , Aj , Bj , C^ les sommets du parallélépipède opposés à 0, A, B, C. L'équation de la face 0 B C est

àx^ ^2/i à^i

et l'équation de la face opposée 0, B^ C^ passant par le sommet Oj est

Les trois inégalités

dx2 02/2 022

daJa àî/g à^g

expriment donc que le point X, Y, Z est à l'intérieur du parallélépipède ou sur l'une des faces passant par 0, mais non sur une des faces passant par Oj. Le théorème IX exprime donc qu'il y a exactement A points du réseau qui satisfont à ces conditions. Une légère attention suffit pour reconnaître que, dans ce dénombrement, il ne faut compter qu'un des huit sommets de parallélépipède : c'est le sommet 0. Quant aux points sur les arêtes (mais qui ne sont pas des sommets) , il ne faut compter que les points qui sont sur les trois arêtes passant par 0. Enfin, pour les points sur les faces (mais non sur une arête) , il ne faut compter que ceux qui sont sur les trois faces passant par 0 , mais non ceux qui sont sur les trois autres faces.

Il est clair qu'on obtiendrait le même nombre A, en comptant tous les points sur les faces, arêtes, sommets, si l'on adopte cette règle de compter un sommet pour ^ , un point sur une arête pour l , un point sur une face pour ^.

Il serait extrêmement facile de démontrer directement ce résultat en prolongeant les arêtes OA, OB, OC jusqu'en A', B', C, de telle manière que

OA' = ft.OA, OB' = A:.OB, OC' = k.OC,

k étant un entier, et en considérant alors le parallélépipède avec les arêtes OA', OB', OC. Le rapport des volumes des deux parallélépipèdes est k^, et l'on reconnaît aussi que le rapport des nombres des points du réseau à l'intérieur des deux parallélépipèdes (comptés d'après la règle indiquée) est aussi exactement A^. Or , d'après la définition même du volume , le rapport du volume et du nombre des points à l'intérieur du parallélépipède 0 A'B'C doit tendre vers 1 pour A: = oo . Mais puisque ce rapport ne varie pas , il est toujours = 1.

On peut se placer à un point de vue un peu différent. Considérons dans l'espace le réseau des points dont les coordonnées sont des multiples de -TT, A étant un nombre entier. Le volume d'une certaine

partie de l'espèce peut être défini alors (d'après Lejeune-Dirichlet) comme la limite du rapport

M: Ar»

pour A; = 00 , M étant le nombre des points du réseau qui appartiennent à la partie de l'espace que l'on considère. Adoptant cette définition de volume , on peut conclure directement du théorème IX que le volume du parallélépipède OABC est exprimé par le déterminant A.

On comprendra maintenant, que M. Smyth a pu déduire de ces considérations une démonstration arithmétique de la formule de transformation des intégrales multiples.

Solutions de quelques problèmes sur les matrices.