Étant donnée une matrice

Cj, ttg, ..., a„ + i ou II A II

du type 1 X (w + 1), dont d est le plus grand diviseur, nous avons vu (Chap. II , 22) qu'on peut trouver toujours une matrice

^.11 ou |1B„ »,= i,2,...,n+l

du type w(n+ 1), telle que le déterminant

Proposons-nous maintenant de trouver la solution la plus générale de ce problème. Il est clair, en divisant tous les éléments de || A || par d, qu'on peut supposer d =: 1. Cela étant , si l'on a

Il C II étant une solution quelconque, nous savons, par le théorème VI, qu'il existe toujours une matrice || E || du type {n -{• l) X {n -\- 1) (et une seule) , telle que

où II E II = ± 1. Mais il est clair que la matrice || E || doit avoir ici la forme particulière

Pi Cl,l Cl, 2 ••• Ci,n P2 «2,1 «2,2 ••• e2,n

Pn en,i e„,2

PiiP^t • • -iPn étant arbitraires et ki,fc | =: ± 1. Avec cette expression de II E II, la formule (1) renferme donc toutes les solutions du problème et chaque solution une seule fois. On peut mettre cette solution sous une autre forme en remarquant que la matrice || E || peut se mettre sous la forme

0 ci,i

ei,n

?i» ?2» • • • > ?n étant des nombres qui peuvent avoir des valeurs arbitraires. En substituant cette expression dans la formule (1), on obtient sans difficulté la matrice la plus générale ||G|| qui satisfait au problème, sous la forme

\\C\\ = \\ei,k\\X\\bi,k + qiaH\\, Il B II := Il bi,ic II étant une solution particulière.