Plus généralement, soit
lia;,* Il ou il A II
une matrice donnée du type w X (m + n) , dont d est le plus grand diviseur. Proposons-nous de trouver toutes les matrices
\Ci,k\
ou
du type complémentaire n X (m-{- n) telles que
On peut remarquer d'abord qu'on peut supposer d = 1 , car nous savons qu'on peut trouver une matrice || A' || du même type que II A || , dont les déterminants sont proportionnels à ceux de || A|| et dont le plus grand diviseur est = 1 (n" 9). Cette matrice j! A' || étant obtenue, il est clair que les deux conditions
sont absolument équivalentes. Nous supposerons donc d = l, et de plus qu'on ait obtenu déjà une solution particulière
cil ou
IIBII
Ayant
on en conclut encore par le théorème VI
Il E II étant une matrice du type (m -\- n) X (.m -\- n) dont le déterminant est = ± 1. Mais il est clair que cette matrice || E || doit avoir ici la forme particulière
Pl,l Pl,2
Pn,\ Pn,2
Pi, m «1,1 ei,2
Pn,m Sn.l f„,2
Cette formule (1) renferme ainsi déjà la solution la plus générale du problème , mais on peut la mettre encore sous une autre forme en remarquant que la matrice ||Eli peut se mettre sous la forme d'un produit
1 0 0 fi.i
ei.n
îl,l îl,2
Qn,l ?n,2 . . . qn,m 0 0
Ql.m 1 .
OÙ les qi,it peuvent avoir des valeurs quelconques. On obient facilement
Cii =
«1,1 en,i
X II 6i,fc + g«,iai,4-{-Ç»,2a2,k+ • • + Çi,mam,ftl
où les Bi^k doivent satisfaire à la relation | e,,A | = ± 1.
Pour obtenir la solution particulière ||B||, on prendra d'abord une matrice quelconque \\mi^k\\ ou i| M || du type nX(m-\-n), telle que le déterminant de la matrice
ne soit pas nul. Par le procédé du n" 9 on pourra , sans changer les m premières lignes, en déduire une autre matrice du même type (m -j- n) X (»J -j- M) et dont le déterminant est ± 1.
16. Nous avons vu (Chap. II , n" 21) qu'on peut toujours trouver une matrice du type n X (w + 1) dont les déterminants ont des valeurs données , non toutes nulles. On peut se proposer d'obtenir toutes les matrices qui satisfont à ces conditions , mais nous traiterons directement le problème plus général ;
Trouver toutes les matrices du type w X (♦» + «) dont les déterminants ont des valeurs données.
A cause des relations identiques entre les déterminants , les valeurs données ne peuvent pas être quelconques. Adoptons les notations du n" 3 et supposons que le déterminant A ne soit pas nul : on pourra se borner à considérer les mn-\-l déterminants A, A,,w+ft- Ces déterminants-là ne peuvent pas même être des nombres arbitraires , il faut que les autres déterminants A' qu'on en déduit par la formule (5) du n" 3 soient aussi des entiers. Mais , cela étant , nous allons voir que le problème est toujours possible et admet une infinité de solutions.
En effet , prenons d'abord arbitrairement les m premières colonnes avec la seule condition
lai,4| = A (i,k=\,2, ...,m),
alors on pourra déterminer les autres colonnes comme au n^ 3 ; il est vrai que ces autres éléments
ai,m + k = (ai,l Ai,TO + A + «1,2 ^2,»» + * + • • • +0«,m àm,m + k)' A
ne seront pas des entiers; toujours est-il vrai que la matrice ainsi formée admettra pour déterminants les valeurs données, qui sont toutes entières. En multipliant les lignes horizontales par A, on obtiendra une matrice dont les déterminants sont proportionnels aux valeurs données. On peut alors déduire de là (par le procédé du n" 9) une autre matrice dont les déterminants sont encore proportionnels aux valeurs données, mais dont le plus grand diviseur est 1, Soit
cette matrice, si d est le p. g. c. d. de tous les déterminants de la matrice cherchée , l'expression la plus générale de cette matrice sera
IICIIXIIBII, où lie II est une matrice quelconque du type m X m, dont le détermi-
nant est = ±d. En prenant en particulier pour les Ot,* (t, k= ] ,2,. les valeurs suivantes
«1,1 = 02,2= • • • ^ «m — 1,»« — 1 = 1 ) ûfjn,»» = ^>
on trouve que les déterminants de la matrice
A 0 ... 0 Ai,m + i Ai,„i + 2 . 0 A ... 0 Aii,m+1 ^Z,m+2 •
Ai,,H-|-n A 2, m 4- Il
sont proportionnels aux déterminants de la matrice cherchée ; on pourra donc en déduire la matrice || B ||.
Si l'un des déterminants donnés divise exactement tous les autres , on le prendra pour A ; dans ce cas , on peut écrire la matrice || B || sans aucun calcul.
Une autre méthode pour trouver cette matrice ||B!I est la suivante; considérons le système d'équations linéaires homogènes dont la ma-
trice est
Al, ,«4-1 A2,ot4-i
Ai,m + 2 A2,)n + 2
La matrice formée par un système fondamental de solutions de ces équations sera une matrice du type m X (w + 1); ses déterminants seront proportionnels aux valeurs données et le plus grand diviseur de cette matrice est = 1. C'est ce qui résulte immédiatement des propositions établies précédemment , si l'on se rappelle le théorème VII et sa démonstration.
17. Soit li A II = Il a,,fc|| une matrice du type m X {m -\- n) , dont le plus grand diviseur est d, ||C|[ = lici,ft|| une matrice du type complémentaire n X (wt -|- n), telle que
Ol,l • • • ai,m4-n
Cl,l Cn,l
Om,m4-»»
Cl,m4-n
Nous savons qu'il existe de telles matrices (voir n" 15), Soit ensuite || B li = || 6,,^ !| une matrice du type n X (m + w), formée par un système fondamental de solutions des équations linéaires homogènes
Cli,lXi -f- . . . -]r ai,m + nXm + n^^O
Les matrices l!B|| et ||C|| sont du même type; à un déterminant As de la première on peut faire correspondre un déterminant A c de la seconde , en supposant que deux déterminants correspondants sont formés avec M colonnes de même rang (et prises dans le même ordre) dans les deux matrices. Cela étant , on a
]^A6Ac=± 1,
la sommation s'étendant à toutes les paires de déterminants correspondants. Pour le montrer, remarquons que le plus grand diviseur de la matrice |! B || est l'unité : on peut donc former une matrice 11 D || = || di,k !l du type »i X (w + »)i telle que
dm,l
Kl
• • Cfm, »» + "
On,! • • • On,m + n
En multipliant les deux déterminants (1) et (2), il vient Ai,i ,,. Aot,i 0 ,.. 0
• A.m,m " . Um,l Vl,l
Vl,n
A,-,fc = aft,idi,i +aft,2di,2 + Vi,k =bi,iCh,i ■j-bi,2Ck,2 -{■
Vn.l
Vn
• ■ "T" et fc, m -j- n O», K» + n >
• • -p bi^m + n Ck.m + m
c'est-à-dire
loi, l
Via
Vl,n
Vn,l
Vn,n
Or, Aa et Ad étant deux déterminants correspondants des matrices Il A II et iJDil de même type, on a, d'après une propriété élémentaire des déterminants,
Afljj j
et de même
Ai,i
Vn,l
= ^ Aa Ad.
= 7 . Afc Aç.
Vl,n ... Vn,n
Mais tous les déterminants A» sont divisibles par d; on a donc nécessairement
^^aAd=±Ô, ^A6Ac = ±l,
18. A l'aide de ce résultat, nous pouvons résoudre facilement le problème suivant : Etant donnée une matrice || A il du type m X (w -f- w);, dont le plus grand diviseur est ô, trouver toutes les matrices ||D|| du même type et telles que
^AaAd=±(5,
Ao et Ad étant deux déterminants correspondants des deux matrices. En effet, déterminons deux matrices ||BÎ| et ||C|| comme dans le numéro précédent. Si nous déterminons ensuite une matrice || D || par la condition
nous savons que cette matrice fournit une solution de notre problème. Mais je dis qu'on obtient ainsi toutes les solutions du problème. Soit, en effet, ||D || une solution quelconque, et posons
On en conclut
= ±A<î = (]^A„Ad)x (^ AtAo);
or on a , puisque || D || est une solution ,
]^A„Ad=±<5,
et , d'après la proposition du n^ 17 ,
]^A6Ao = ±l; donc
Il est clair par là que le problème proposé est identique avec le suivant que nous avons déjà résolu dans le n** 15: Trouver toutes les matrices |!Dj|, telles que
On obtient ces résultats aussi en s'appuyant sur le théorème VII , car la relation (1) du n** 17 peut s'écrire
^AaA.= ±(5.
Or, d'après le théorème cité, le rapport Aa : A;, est constant et égal k ±ô; donc
5^AftAo = ±l, et , ensuite , il est évident que les relations
sont équivalentes.
19. Nous terminerons ces considérations par quelques remarques sur le plus grand commun diviseur d'une matrice.
Dans le cas d'une matrice du type 1 X n, le plus grand diviseur peut être défini aussi comme la plus petite valeur (sauf 0) que peut prendre la fonction linéaire ,
ai »! + «'2 ^2 4" ••• + *" ^" >
pour les valeurs entières de Xi,X2, ...,«„. Il existe une proposition
analogue pour une matrice |iai,fc|| du type »i X (m + «)• Considérons les m fonctions linéaires
et m systèmes de valeurs de ces fonctions
le déterminant | Ai,fc| est toujours divisible par ô, le plus grand diviseur de la matrice liaj,fc|i; mais nous savons, par l'analyse précédente, qu'on peut toujours choisir les di^k de manière que ce déterminant devient égal à ± ^.
Par conséquent , ô est aussi la plus petite valeur (sauf 0) que peut avoir le déterminant formé par m systèmes de valeurs des m fonctions linéaires Xi.
20. Soient l!o,-,ft|| ou ||A|| une matrice du type m X (m -\- n) , ||Ap|| la matrice du type m Xp formée par p colonnes de l! A||. Nous supposons^ < m. Désignons encore par dp le plus grand diviseur de II Ap || , et par D le plus grand commun diviseur de tous les déterminants de Il A il qui renferment les p colonnes de || Api|. Il est clair que D est un multiple de dp. Nous allons montrer que tous les déterminants de i| A ||
sont divisibles par -r-dp
Pour simplifier un peu la démonstration, nous supposerons que || Ap || est formée par les p premières colonnes de || A ||. Nous avons à démontrer qu'un déterminant quelconque A de || A || est divisible par
-j-- Si ce déterminant A a un certain nombre r de colonnes communes dp
avec II Ap !i, nous pouvons encore supposer que ce sont les r premières colonnes de || Ap ||. Cela étant , nous désignerons un déterminant quelconque de II A II par le symbole
LAj, Ag, . . . , /»ij,
où Aj, ^2, . . . , Am indiquent les rangs des colonnes de || A i! qui figurent dans le déterminant.
En ajoutant à la matrice une (m -f l)ff^ ligne
Oi,li Cti,2j •••> 0»,»« + n)
on obtient une matrice du type (m -{- 1) X (m -\- n) , dont tous les déterminants sont nuls. En développant un tel déterminant comme fonction linéaire des éléments de la dernière ligne, on aura, par exemple,
[2, 3, ...,p, ^j, ^2, ...,AOT-p+i]ai,i-j-...+[l»2, ■■.,p — l,Aj,^, ...,A„j p4.i]a,;p
+ [1,2,.. ,i?,^,Ag, ..., Am p+i]flj;^ -}"... -|-[1, 2, ...,^,^1,^2, ...,km-p](li,m-p+l = 0.
Les indices ^i, ^, . . . sont ici et dans la suite toujours >p.
D'après notre notation , dp est le plus grand diviseur de la matrice Il Ap II , formée par les p premières colonnes de || A ||. Il est clair, d'après cela, que ce qu'il faudra entendre par dp i, dp 2, . . . , dj, ce sont les plus grands diviseurs de matrices que nous pouvons désigner par !! Ap i II, Il Ap 2!l, . . . , Il Aj II, Dans l'identité que nous venons d'écrire, on peut prendre i = 1 , 2 , . . . , m.
Si l'on élimine alors entre p des équations ainsi obtenues les quantités qui multiplient o,, i, 0^,2, . . . , ai,p-i, il viendra il , 2, . . . , p — 1 ; Aj, ^2, . . . , X,„-p+i] Ap -j- + [l,2,...,p,>l2,A8,...,A,„p+,]A^ + ...4-[l,2,...,p,Ai,>l2,...,A,„p]A;»-''+^=0.
Ici Ap est un des déterminants de || Ap||, et il est clair que A^, A,, ..., Ap~*'+^ sont tous divisibles par dp i. Donc
[1, 2, . . . , p — 1, Aj, ^2, . . . , Xm-p l-l] ^P
est divisible par D Xdp i Mais Ap peut être un déterminant quelconque de llApll; par conséquent,
\l , 2 , . ■ . , p 1 , /j , X2> • • 1 ) ^«M — p + ij dp est aussi divisible par D X dp-i, c'est-à-dire
[1 , 2 , . . . , p 1 , A^ , /2) • • • > *»« — P + lJ
est divisible par , ^~ •
En laissant de côté maintenant la p'^™^ colonne de || A||, on a les identités
[2,3,...,p— l,Ai,A2,...,A,„p+2]a<,i + ...4-[l>2,...,p— 2,^i,A2,...,A,„p+2]ai,p i + -f-[l,2,,..,p— 1,^2,^3, ...,A,„p+2]ffi,;ij + ... + [l,2,...,2?— 1,^1,^2, ...,A„,p+i]a,-,;^^^^ =0,
En éliminant entre p — 1 de ces relations les coefficients de a,,i, ai,2, ..., a,-.p 2, il vient
[1, 2, ...,i? — 2, Aj, ^2, •••« ^-p+2]l^p-l-{-
4-[l,2,...,p-l,;2,A3,...,A„p+2]A^i + ... + [l,2,...,iJ-l,>li,A2,...,^„p+i]A;'ri''+' = 0,
où Ap i est un des déterminants de !|Ap i|| et où Ap i, Ap i,..., A'^lf'^^ sont divisibles par dp 2. On voit donc que
[l,2,...,p — 2, II, k^, ... , A„, -p+2] Ap-i
,...,, D X dp-i X dp-2 ^ . . ^ .^ , ,
est divisible par -3 , et, puisque Ap i peut être un déterminant quelconque de 1! Ap i ||, on en conclut que
[l , 2, . . . , p 2, A^, ^2, . , . , A.m—p + 2jdp -i,
doit être aussi divisible par le même nombre, c'est-à-dire
[1, 2, . . . , p — 2, ^1, ^21 • • • . ^m-p+2] est divisible par ■, ^~ . En continuant ainsi, on reconnaît que
Up
|1 , <a ,...,/■, Xj , A2 )•••> *»K — rj
est divisible par — ^ — "- , et enfin que [^i, ^2» • • • > ^»n] ^^t divisible par
dp
-^. La proposition énoncée est démontrée.
D'après la démonstration, on voit facilement que, si l'on suppose que tous les déterminants de '1 A !' ne sont pas nuls, les déterminants de ||A!I qui renferment les p colonnes de J! Ap|| ne peuvent pas être tous nuls, à moins que tous les déterminants de || Ap|| ne soient tous nuls. D et dp sont alors indéterminés tous les deux.
Corollaire I. — Lorsque dp = 1 , D est le plus grand diviseur de la matrice il A||.
Corollaire IL — Lorsque le plus grand diviseur de la matrice || A ||
est =: 1 , on a
D = dp.
