Revenons maintenant à la forme bilinéaire
En opérant sur les a;*, yi des substitutions de déterminants ± 1, on obtiendra une forme équivalente
F'= ^^oUa;*y<-
Nous allons montrer que , parmi ces formes équivalentes , il y en a toujours une , parfaitement déterminée , qui affecte la forme très simple
fi aà 2/i + ^2 a;2 j/2 + • • • + fp ^p Vp < et que nous appellerons la forme réduite. Ici e^, e^, ■ ■ • , ep sont des entiers positifs, ek-i divise e*, et p est tout au plus égal au plus petit des nombres m et n. Ensuite on reconnaîtra facilement que la condition nécessaire et suffisante pour l'équivalence de deux formes bilinéaires consiste en ce qu'elles admettent la même forme réduite. On peut donc considérer les nombres e^, €2, . . . , ep comme un système complet d'invariants de la forme bilinéaire F.
Considérons la matrice
liai,* Il ou II A II,
formée par les coefficients de F. Nous désignerons par d^ le plus grand commun diviseur (pris positivement) des coefficients ai,k, par d^ le plus grand commun diviseur des déterminants du second degré tels que
Ot,fc ai,i
Cir,k UrJ
de même, par d^ le p. g. c. d. des déterminants du troisième degré, etc. Si tous les déterminants du degré p ne sont pas nuls , mais si tous les déterminants du degré p-{-l sont nuls, on aura ainsi la suite des p nombres
Oj , «2 t • • • I ^P>
et nous supposerons alors dp+k = 0. Il est clair que dk-i divise d* et nous posons
Ces nombres e sont des entiers , nous les appellerons déjà les invariants de F; nous verrons plus loin que ek—i divise e*; p est tout au plus égal au plus petit des nombres m et n.
Soit maintenant
llaUll ou II A' Il
la matrice formée par les coefficients de la forme F' équivalente à la forme F, et djj, le p. g. c. d. des déterminants de degré A; de cette matrice. Il est clair que tout déterminant de degré k de la matrice || A'|| est une fonction linéaire et homogène de divers déterminants de degré A; de la matrice || A!l. Donc d'^ est nécessairement divisible par d* et tous les déterminants de degré p -\- 1 de || A'II sont nuls. Mais, pour la même raison , dk doit être divisible par d'^ ; donc
d'k = dk,
et tous les déterminants du degré p de || A' || ne peuvent pas être nuls. On voit par là que les deux formes bilinéaires équivalentes F et F' ont les mêmes invariants e^, €2, . . . , ep.
L'égalité des invariants est donc une condition nécessaire pour
l'équivalence de deux formes; qu'elle est aussi une condition suffisante, cela résulte ensuite immédiatement de la proposition que nous avons énoncée déjà , d'après laquelle la forme F est équivalente à la forme réduite
<?1 ^i î/l + ''2 ^ ^2 + • • ■ + «P ^P VV
En effet, d'après cela deux formes, dont les invariants sont égaux, sont équivalentes à une même forme réduite , et , par conséquent , aussi équivalentes l'une à l'autre.
26. Nous avons à montrer maintenant comment on peut opérer cette réduction de F à la forme réduite. Considérons la matrice
«l,ni «2, m • • • I
0»i, 1 dm, 2 «)«, 3
Par une substitution sur les Xh, on peut d'abord réduire la première
ligne à
^1 étant le p. g. c. d, de ai,i, 01,2, . . . , ai,„. (Il va sans dire que nous n'employons que des substitutions de déterminants = ± 1.)
Si après cela ô^ divise tous les autres coefficients de la première colonne , on pourra , en remplaçant y^ par une expression de la forme
î/l + C2 2/2 + • • • + Cm y m ,
sans changer 2/21 2/3» ■■ •» y m > obtenir une matrice transformée de la forme
0 6m, 2 bm,S • • • bm, n-
Mais si Sy ne divisait pas les coefficients de la première colonne , on pourrait diminuer ce coefficient ô^ , et le remplacer par ôg , le p. g. c. d. des coefficients de la première colonne , en opérant une substitution sur les y, et annuler en même temps les autres coefficients de la première colonne. Si ô^ divise maintenant tous les coefficients de la pre-
mière ligne, on obtiendra encore une matrice de la forme (A), en remplaçant Xi par une expression
Xi -p C2 X2 "T . . . -p Cn Xn ,
sans changer X2, x^, ... , Xn. Au contraire , si Ô2 ne divise pas ces coefficients, on pourra le diminuer encore par une substitution sur les x. Il est clair qu'après un nombre fini d'opérations on obtiendra toujours une forme équivalente, dont la matrice affecte la forme particulière (A); mais on peut simplifier encore et obtenir une matrice (A), dans laquelle ^1 divise exactement tous les coefficients bt^k-
En effet, supposons que ô^ ne divise pas exactement un des coefficients bi,k. Il suffira de remplacer Xk par Xk-\-x^ pour voir paraître ce coefficient &,•,& dans la première colonne avec d-^. En reprenant alors les opérations de tout à l'heure, on obtiendra un Tableau du type (A), mais dans lequel le coefficient ô^ a une valeur moindre. On voit donc qu'on peut diminuer ce coefficient tant qu'il ne divise pas tous les bi,k, et , après un nombre fini de transformations , on tombera nécessairement sur une forme équivalente à F du type suivant
• Xn
ym
bm,i
Om, n
et dans laquelle le coefficient e^ divise tous les autres coefficients 6,,^. Et il est clair immédiatement que e^ est le p. g. c. d. des coefficients a,,fc. Si maintenant les bi,k ne sont pas tous nuls, on pourra continuer la même réduction en opérant seulement sur les variables x^, x^, ..., Xn, yztVs) ■ • ■ > y m- On obtiendra ainsi une forme équivalente
rcg .
Cm, 3 •
Cm, n
OÙ 63 est un multiple de c^ et divise tous les c,-,
En continuant ainsi , on obtiendra finalement la forme réduite
^1 »1 2/1 + <'2 ^ ?/2 + • • • «P «P yP-
Puisque ek-i divise ek, il est immédiatement clair que le p. g. c. d. des déterminants de degré k de la matrice correspondante à cette forme réduite est
6162- . .ek^dk,
d'où l'on voit que les e* ont bien les valeurs indiquées précédemment.
27. Dans la pratique , et s'il s'agit seulement de calculer les invariants, on pourra remplacer souvent avec avantage le procédé que nous venons d'indiquer par le suivant. Après avoir obtenu une forme équivalente
Xs .
. Xn
. bs.n
ym
bm,3 ■
. bm,n
dans laquelle ô^ ne divise pas nécessairement les bi,k, on continuera la même transformation sur les indéterminées x^, x^, . . . , Xn, y2, Vst ■ • > Vm- De cette façon , on finira par obtenir une forme équivalente
^1 ^1 !/i + ^2 «2 ^2 + • • • + ^P a;p 2/p , dans laquelle d^, d^, . . . , Sp sont des nombres positifs, et qu'on pourrait appeler une forme normale. Il est clair que le p. g. c. d. des déterminants de degré k de la matrice correspondante , qui doit être égal à dk, est ici simplement le p. g. c. d. des divers produits kk k des nombres
d'où l'on conclut , d'après les explications du Chap. I (n°^ 8 — 10) , que les invariants e^, $2, . . . , ep sont simplement les nombres réduits de ô^, 62, . . . , dp. Ayant ainsi obtenu une forme normale, on en conclut donc sans difficulté les invariants. On voit aussi que cette forme normale n'est pas unique comme la forme réduite, mais il existe toujours un nombre fini de formes normales équivalentes à une forme donnée F.
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 3d8^
On peut montrer facilement , d'une façon directe , que la forme normale est équivalente à la forme réduite. Considérons pour cela une forme
F = diXi 2/1 + ^2^1/2.
et posons
On peut maintenant transformer directement F en F' par les substitutions
Xi = ax!x-\-fioif2, yi = a'yi + P'y'2, X2 = yx[-{-ôa^, y2 = Y'y'i+ ô'y'2,
(1) aô-fiy=l,
(2) a'd'-fi'Y'=l,
En effet , les conditions du problème sont
(3) ô,aa' + Ô2Yy' = d,
(*) ô,afi'-[.Ô2Yd' = 0.
(5) ô,^a'-[.d2Ôy' = 0,
(6) ô^pfi'-\-Ô2dd' = m.
Pour y satisfaire , on prendra , pour a', y', deux nombres premiers entre eux , soumis à cette seule restriction que
Cela peut se faire évidemment d'une infinité de manières ; le plus simple c'est de prendre a' = y' = 1.
On cherchera ensuite deux nombres a et y qui satisfont à la relation (3), puis on prendra
en sorte que la relation (5) se trouve vérifiée et en même temps la relation (1), car
Par suite de ces valeurs de /S et ^, la relation (6) revient à
c'est-à-dire elle rentre dans la formule (2), car ô^ 62 = m d. Il suffit donc, pour achever la solution , de déterminer /?' et d' par les relations (2) et (4) qui donnent
Il est clair maintenant que , par une application répétée de la transformation que nous venons d'indiquer, on pourra transformer une forme normale
^1 ^1 2/1 + ''2 «2 ^2 + • • • + ^p ^p yp
dans la forme réduite
^i^Vi'T' ^■^'iV^'T • • • \ ^p-'^p Vp-
28. On peut énoncer le résultat principal que nous venons d'obtenir sous une forme un peu différente ; mais , pour simplifier, nous supposerons w = M et le déterminant |a,,t| différent de zéro, en sorte que
La forme bilinéaire
F = ^^ ai,k iCt î/i = Xi t/i + Xg j/2 + • • • + X" 2/n, 1 1
Xi =:ai, 1X1 -\-ai^'2.0O>.-\- . . . -\-ainXn
est réductible à la forme réduite
Y' = eiofi y i-\- €2 cck y z-\- ■•• -\- e» x'n y'n par les substitutions
Xi=^ei,k x'k , y. = ^ A, k y'k.
Supposons qu'on ait
c'i = ^Pi,kXk, y'i=^qi,kyk.
Si l'on substitue ces valeurs des yj dans F', le coefficient de yi est nécessairement égal à X,: donc
X, = Cl qi,ix'i + €2 q%iai-\- . . . + e»ç»,,tc'n ou bien
si l'on pose
(II) . . . . t\ ^=eiod\, h^^e^afi, . . . , ^„ = en a/n-
On voit donc que toute substitution
X, = a,-, 1 a;i + ai,2 a^ + • • • + a»,n aîn (z = l,2,...,n)
peut être remplacée par trois substitutions successives , la première (I), de déterminant ± 1 introduisant les variables <i, <2> • • • > ^n, la seconde affectant la forme particulière (II), tandis que la troisième
