III
sc!i = ^Pi,kXk
a encore un déterminant égal à + 1-
Il est à peine nécessaire de dire que , dans cet énoncé , on pourrait remplacer les invariants e-^, e^, . . . , e.n par les coefficients d^, d^, . . . , an d'une forme normale équivalente à F. Et le cas p < n n'apporte non plus une modification; on aura seulement alors «4 = 0 ou 6* = 0 pour k>p.
Le nombre p que nous avons vu s'introduire dans l'étude de la forme bilinéaire
s'appelle le rang de la forme bilinéaire ou de la matrice des aj,*;.
Nous dirons quelquefois aussi que e^, e^, . . .e^ sont les invariants de cette matrice.
29. L'invariant eu a été défini d'abord par le quotient dk'dk-i; M. Smith a obtenu encore une autre expression remarquable de cet invariant.
Considérons un déterminant quelconque du degré k de la matrice. Divisons ce déterminant par le p. g. c. d. de ces propres mineurs, soit Eft enfin le p. g. c. d. de tous les quotients qu'on obtient ainsi ; alors le théorème de M. Smith consiste en ce qu'on a
Et = ek.
Pour éviter toute ambiguïté , ajoutons que , lorsqu'un des déterminants de degré k est nul , on doit adopter toujours la valeur zéro pour le quotient obtenu en divisant le déterminant par le p. g. c. d. de ses mineurs , même si ces derniers étaient tous nuls.
Il convient du reste, dans ces considérations, de regarder zéro comme le p. g. c. d. de plusieurs nombres qui sont tous nuls. C'est seulement avec cette convention que le principe du n" 6 (Chap. I) reste applicable au cas où l'on n'exclut pas la valeur zéro pour les nombres a,b,c, ...,l.
Nous allons démontrer d'abord un cas particulier du théorème de M. Smith. Supposons n^m dans la matrice
«1,1 am,i
= liAl
nous ferons voir que Em = fm = dm : dm-i- Nous pouvons supposer que dm n'est pas nul, car on aurait, dans le cas contraire, Em^=em=0, et l'on peut écrire (voir n° 9)
l|Ai| = i|B||x|iC!|,
Il B II étant une matrice du type w X »w, || C || une matrice du même type que II A II dont le plus grand diviseur est l'unité. On reconnaît aisément que les matrices || A|| et || B || ont les mêmes invariants, car la forme bilinéaire de Xj , iCg » • • • > ^» » 2/i > ^2 > • • • i 2/>" > dont la matrice est || B || complétée par n — m colonnes de zéros , est équivalente à la forme bilinéaire dont la matrice est |[ A ||. Nous savons de plus qu'on peut écrire
gj 0 0 .
BÎ| = |iul|X
. em
où |«| = Iv| = ±l, donc
XllDI
Il D I! ^ Il i> Il X !l C !l étant une matrice du type »» X w dont le plus grand diviseur est l'unité.
Si l'on considère les divers déterminants du degré m — 1 de || A !l qui renferment m — 1 colonnes données de cette matrice , on constate que le p. g. c. d. de ces déterminants ne change pas si l'on multiple la matrice par II m||~^ On en conclut que le nombre Em est le même pour les deux matrices
!A|i et
XllAi
il suffira donc de prouver l'égalité Em =:Cm dans le cas de la matrice
Cl 0 0 0 62 0
XllDII,
obtenue en multipliant par «i, Cg, . . . , e». les m lignes de || D ||.
Soient ||0i!l, Ii02lli"' '^ diverses matrices du type m y, m contenues dans ||D||; ©i, ©21 • • • leurs déterminants; !Pi le p. g. c. d. des mineurs de ||6il| qui ne renferment pas la dernière ligne; en sorte
que -^ est entier. Enfin , désignons par o), le quotient obtenu en divisant le déterminant de
x!ie.-l
par le p. g. c. d. de ses mineurs ; il s'ensuivra
Mais il est clair que le p. g. c. d. des mineurs de (1) est divisible par Cj «2 • • • «m-i = dm-i , et , d'autre part , ce p. g. c. d. est un diviseur de dm-i X îfi (car dm-xY, % est le p, g. c. d. des mineurs qui ne ren-
ferment pas la dernière ligne). Donc, œi divise Cm ©t et est divisible par "l„ ' ^=— ^- On a donc nécessairement
et, d'autre part, Cm est le p. g. c. d. des nombres emOi = ct)i^i
((«IjSl, C0,/?2, ...) = '?»»•
Le nombre Em = (a>i, «'2> • • •) ^oit donc être un multiple de N X «m et un diviseur de em , ce qui exige
N=l, Em = e„. C.Q.F.D.
A l'aide de ce cas particulier, il est facile d'arriver au théorème général.
Si , dans une matrice quelconque du type m X n, on se propose de calculer le nombre Ea, on peut commencer par choisir k colonnes verticales , puis diviser chacun des déterminants du degré k de cette matrice partielle du type m X k{m'^k) par le p. g. c. d. de ses propres mineurs. Soit A< le p. g. c. d. des quotients ainsi obtenus; alors, d'après ce que nous venons de voir, A, est le A'^"^ invariant de la matrice partielle. Par conséquent, A, ne changera pas en effectuant sur j/i, 2/2, ..., ^m une substitution de déterminant ± 1. Mais Et est évidemment le p. g. c d. des divers nombres k^, ^, ... correspondant aux divers groupes de k colonnes; donc Ek ne change pas par cette substitution de y^, y^, ...,ym- Par le même raisonnement , on voit que E* ne change pas en effectuant sur les a;i, a;2> • • • > ^h ""^ substitution de déterminant ± l. E* est donc le même pour toutes les formes équivalentes à F et , en considérant la forme réduite ou une forme normale, on constate que Efc = eu.
30. La nouvelle expression des invariants conduit à plusieurs conséquences importantes. Soient
Cj , ^2 , ...» fip
les invariants d'une matrice || a,,* Il ou || A ||. Supprimons dans H A || une
colonne ou une ligne, désignons par ||A'!| la matrice ainsi obtenue, et par
ses invariants. Il est clair que g^p et ensuite 4 est divisible par e*.
Si, au lieu de supprimer une colonne, on avait multiplié les éléments
de cette colonne par un nombre entier N, les invariants de la nouvelle
matrie ||A"|| seraient
et e'k est divisible par e*. Soient en effet P* le p. g. c. d. des déterminants du degré k de ij A!! qui ne renferment pas la colonne que l'on change, Q* le p. g. c. d. des déterminants qui renferment cette colonne, on aura
d* = (P*,Q*), d'M = Tk, rf2 = (Pfc,NQfc),
riA i = (PA i,Qft i), d'k-x = Pk-u rfA-i = (Pft-i,NQ;t-i): donc
d^ (Pt,NQfc) (Pfc,NQfc,NPfe) (Pfe,Ndft) /P^
dic de même
Puisque
dk
dk
dh
?^ nV
dk-i ^ /Pfc-i jg^\ dk-i \dt i' /
dk dk — i est entier, il en est de même de
= t^k:ek
dk . dk—i „
li est facile maintenant d'établir les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une forme bilinéaire
^=Y^hkX'ky\
soit contenue dans une forme
F = ^^ai,fca;Aî/,.
En effet , soient
yi = ^fi,kyk
les deux substitutions qui transforment F en G. On reconnaît d'abord que le rang de G ne peut pas surpasser le rang de F, car un déterminant quelconque de la matrice ||6t,fcll est une fonction linéaire et homogène des déterminants de liai,* II. Chacune des substitutions qui transforment F en G peut être remplacée par une suite de trois substitutions comme au n" 28. Les substitutions de déterminants ± 1 ne changent pas les invariants , mais une substitution telle que
a évidemment pour effet de multiplier les invariants par certains nombres entiers. Les invariants de G sont donc divisibles par les invariants correspondants de F. On reconnaît facilement que cette condition , qui est nécessaire , est aussi suffisante.
Théorème XL — Pour qu'une forme bilinéaire G soit contenue dans la forme F, il faut et il suffît que le rang de G ne surpasse pas le rang de F, et que les invariants de G soient divisibles par les invariants correspondants de F.
Ce résultat comprend aussi le cas de l'équivalence.
31. Considérons maintenant les systèmes de congruences linéaires
\ai,iXi-i-ai,zX2-\- ■ . . -\-ai,„x„ = Ui (modM) ()■■••{ (^ = l,2,...,n).
Désignons par
di ôi /-il. \
ei = - , £. = ^ 0=1, 2, ...,w)
les invariants de la matrice du système et ceux de la matrice complétée. Nous supposons que d„ ne soit pas nul.
Posons
c< = (M,Cj), y, = (M,e.),
alors on peut énoncer
Théorème XII. — Pour que le système (1) admette des solutions, il faut et il suffit qu'on ait
Si cette condition est satisfaite , le nombre des solutions est exactement = C.
En effet, d'après le théorème VIII, le système (I) admettra des solutions seulement dans le cas où les plus grands diviseurs des deux matrices
M 0 0 ... 0 ai,i ... ai,,
