Soit enfin le système

ai,\X\-\-ai,<iX2-\- ■ ■ ■-\-ai,nXn^Ui (modM), (i=l, 2, ....M + m),

et désignons toujours par

ei = ^ (î=l,2,...,n+l)

les invariants de la matrice complétée.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait des solutions s'obtient à l'aide du théorème VIII sous la forme

(M»+"', M»+"'-idi, M»+'"-2d2, ■•.. M"*d„)

^"^ ■ ■ ■| = (M»+'»,M"+"'"i^i, M"+'»-2<52, ...,M'»-'<J„ + i) ou , après une réduction facile ,

MX (M, fil) X (M, ft,) X . . . X (M, en)

Mais puisque (M, e*) divise (M, ek), on a nécessairement (1) £„ + i = 0 (modM).

Par conséquent M"» <î„ divise M^-Mn+i, et au lieu de (a) on peut

écrire

(M"+'", M»+'"-idi, .... M^d») = (M»+'",M"+"'-i(5i, ....M"»^»),

ce qui revient encore à

si l'on pose comme précédemment

C = (M,OX(M,^2)X ... X(M,p„),

Pour qu'il y ait des solutions, les conditions (1) et (2) sont nécessaires et suffisantes. Le nombre des conditions s'obtient sans difficulté ; il est égal à C.

36. Les méthodes développées à partir du n** 22 permettent de retrouver avec facilité la plupart des résultats obtenus dans la première Partie de ce Chapitre. Nous nous bornerons à déduire de cette façon le théorème VIII sous une forme plus générale. Considérons donc les équations non homogènes

ai,ixi -\-ai,2X2-{- . . . +a'.-,na;„-f ai,n+i = 0

sans faire aucune hypothèse sur m et n. Soient |i A !! et !| A' |! la matrice du système et la matrice complétée. Si l'on prend A; des m équations et que l'on considère tous les déterminants du degré k qu'on peut former avec leurs coefficients , ces déterminants appartiennent en partie à la matrice ||A'|!. Mais, si le système (I) admet une solution, on pourra remplacer les aj,n+i par leurs valeurs

— (ai,iXi-^ai,2X2-\-. . -\-ai,„x„), en sorte que chaque déterminant de || A' || s'exprime en fonction linéaire homogène des déterminants de |i A ||. Dans tous les k équations , le p. g. c. d. des déterminants de i| A |! est donc égal au p. g. c. d. des déterminants de || A' ||. D'où l'on conclut le p. g. c. d. de tous les déterminants du degré k est le même pour les deux matrices || A || et |(A'||. Ce sont là des conditions nécessaires pour que le système (I) admette des solutions. Mais ces conditions ne sont pas toutes indépendantes, comme cela résulte du théorème suivant:

Théorème XIII. — Pour que le système (I) admette une ou plusieurs solutions, il faut et il suffit que le rang p de |i A|! soit égal au rang de II A' Il , et que le p, g. c. d. des déterminants du degré p soit le même pour les matrices || A || et || A' ||.

Nous avons à démontrer seulement que ces conditions sont suffisantes. Or, par une substitution

Xi = 7 . a»,fcyfc,

et en remplaçant les équations (I) par des combinaisons convenables , on peut obtenir un système absolument équivalent

(«iVi4-Mi = 0. e^V2-\-U2 = Q, ..., epVp + Up = 0,

Dans cette transformation les rangs de |î A \\ et de i| A' || se conservent, de même que les p. g. c. d. des déterminants du degré k. Puisqu'on suppose que le rang de || A'|| est =p, les déterminants du degré p + 1

6^62. . .epUp+i, Pj pg . . . epMp4.2. ..., eie2. . .fpUm

doivent s'annuler ; donc

Mp + i:=Mp+2 = • ■ ■ = Mm = 0,

ce qui montre que les équations (II) ne sont pas incompatibles. De plus, les déterminants du degré p de la matrice I| A'!l transformée

e^e^-'-ep, Uie^e^.-.ep, e-^u^e^. . .ep, ..., Cj «2 • • • «p-iMp

doivent être divisibles par e^ e^... ep. Donc «i , «21 • ■ • , Wp sont divisibles par pj, ("2, • • • , ^p respectivement, en sorte que les équations (II) sont satisfaites par des valeurs entières de v^, î'g, ...,Vp- C. Q. F. D.

La plupart des résultats de ce Chapitre sont dus à M. Smith ; un seul, le théorème VIII avait été obtenu antérieurement par M. I. Heger. Le même sujet a été repris ensuite par M. Frobenius qui a introduit la forme bilinéaire. Le Mémoire de M. Frobenius contient encore d'autres applications intéressantes à la théorie algébrique des formes bilinéaires.