MO

et

. 0 ai,i

. Ol.n Ml • 02,n «2

sont égaux.

Mais le premier de ces nombres est évidemment égal à

(M», M"-idi,M"-2d2,...,Md„i,rf„)

= (M", M»-i «1 , M« -2 ^1 rg, . . . M «1 '2 • ■ • ''n - 1 . fi '2 . . . <?«) = (M,ei)X(M,e2)X ..X(M,f„) = C,

et le second de ces nombres est pour la même raison = F. La première partie du théorème est ainsi démontrée. Pour obtenir le nombre des solutions dans le cas C= P, il suffit de rappeler que, par une substitution de déterminant ± 1

y^.ai,kVk,

et, en remplaçant les équations (I) par des combinaisons convenables, on peut obtenir un système équivalent de la forme

e,- «,=/■; (modM).

Or le nombre des solutions de ce dernier système est évidemment

(M, ei) X (M, <'2) X . . . X (M, e„) = C.

Il est à remarquer que j'j = (M, «,) divise c,= (M, e,), car «< divise et. La condition C =: r exige donc qu'on ait

Ci= n ii=l,2, ...,n).

32. On peut donner au théorème XII une autre forme en supposant décomposé en facteurs premiers le module M.

Soient ju, Uk, ak les exposants des plus hautes puissances d'un nombre premier p, qui divisent respectivement M, dk, àk. Alors on a

(1) . . . . a„ — a„i^a„i — a«2^- . .^Oi — ao,

(2) . . . . a„ — a„i^a„i — a„2^...^ai — Oq, (3) Uk^Ok,

(4:) . ak — ttk-i^ak — «A-i,

car nous savons que les rapports

ek+i'^k, £k + i'-ek, dk'.àk, Ck'.Ek

sont des entiers.

La condition

(d„, d„, M, d„2M2 M») = ((5„, <5„-iM, Ôn-^^ M»)

devient maintenant pour chaque nombre premier p qui divise M

Supposons que, dans la série (2), le premier terme plus petit que fi soit a^ — a„i; alors la relation (5), qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les congruences admettent une solution pour le module p/* , devient

et le nombre des solutions est alors p"<T+("-°'^. C'est ce que l'on trouvera par une discussion facile en s'aidant des inégalités (1), (2), (3), (4).

D'après cela, si l'on avait ^y^an — «n-i, la condition devient an = an et le nombre des solutions est p"». Ainsi, dans ce cas, il suffisait de calculer dn et 5„.

On voit facilement que si , dans la série

ttk — oik est le premier terme égal à zéro, 2j«* + i-«* est la plus haute puissance de p pour laquelle, comme module, le système des congruences admet des solutions.

C'est seulement pour préciser les idées que nous avons supposée au n° 31 que le déterminant dn du système (I) n'était pas nul.

Et aussi , à proprement parler, ce n'est pas là une restriction , car, en ajoutant des multiples de M aux coefficients, on peut toujours faire en sorte qu'il en soit ainsi.

Mais la plus légère attention suffit pour reconnaître que le théorème XII est général et reste vrai même dans le cas où l'on aurait dp+i = 0, à condition seulement de se conformer à notre convention de prendre dans ce cas

et de même pour les invariants de la matrice complétée 33. Considérons maintenant le système

0<,i iBi + ai,2X2 4- • • • + d'i.m^n Xm+n = «i (mod M)

Désignons comme au n" 31 par

di ôi

les invariants de la matrice complétée , puis posons

Ci = (M,ej), )'i = (M,«i).

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait des solutions est alors encore

mais le nombre des solutions est C X M". En effet, on obtient un système équivalent

eiVi^fi (modM), i= 1, 2, . . . , w

et v„ + i, tn+2, . . . , Vn+m restent arbitraires,