Je vais considérer d'abord l'intégrale
(l) . . . . / (cosM + «sinu)'"sin"Me-*"dM = /"(>w, n),
rw et n étant des entiers ^0.
En développant
(cos M + ûs sin m)"* sin" m,
suivant les sinus et cosinus des multiples de m , il faut distinguer deux cas , selon que m-\-n est pair ou impair.
Dans le premier cas on obtient une expression de la forme
a + a' cos 2 M + a" cos 4 M + ... -|- a^^^ COS {m-]-n)u /8' sin 2 M + /î" sin 4 M + . . . + p^^^ sin (m + w) u ,
et dans le second cas une expression de la forme
a cos M + «' cos 3 M + . . . + «^^^ cos {m-\-n)u, + /S sin M + /î' sin 3m + . . . + /SW sin (m + n) u.
Ayant ensuite
y*cospue-»=»dM = ^^-2. y""sin2JMC-*"dM = ^-^^. 0 0
on reconnaît que f{m,n) est une fonction rationnelle en x, dont le
dénominateur est du degré m-\-n-\-i , et le numérateur d'un degré inférieur km-\-n-\- 1. Ce dénominateur est pour m-\-n pair = a; (a^ + 22) (a?2 )- 42) . . . |a:2 j (^ | „)2j ^
et pour m -\-n impair
On voit par là que f(m, n) est développable en série convergente suivant les puissances descendantes de x, tant que x est suffisamment grand (x>»n + n). Or pour obtenir directement ce développement, il suffit d'écrire
{coau-\-asinuy"ain"u = u"-\-a^u'' + ^ -f «2W''+2 + - ■ • , d'où l'on conclut
f(^ «^, 9 q «il (w+l)ai ■ («+l)(n + 2)aa j
Par conséquent le numérateur de f{m, n) est du degré m et le coefficient de 35" est 1 . 2 . . . n. En écrivant
(2) où
i B = a; (a^ + 2^) (^^ + *^) • • • 1^^ + (w* + ^f\ lorsque m -\- n pair,
B = {31? -\- 1^) (a;^ + 3^) • • • J^^ + (*>* + w)^5 lorsque m -\-n impair,
le numérateur A est par conséquent un polynôme du degré m en x, le coefficient de a;*" étant l'unité.
Voici maintenant ce qui paraît être la manière la plus simple de définir ce polynôme A.
A est le dénominateur de la fraction continue
1 (m—]){n + 2)ia^+ 1) (tm — 2) (n + 3) (a2 + 1)
Ainsi pour
2. Pour établir ce résultat, je remarque d'abord que l'intégration par parties donne
(cos M + a sin «)"• sin»Me-*~ dM = (cos m + a sin m)" sin" u +
-f — Te- =«« [n (cos M 4- « sin m)" sin" - 1 m cos m + -f- m (cos M + a sin m)*"-^ sin" u (a cos u — sin u)']du. La quantité entre [ ] qui multiplie e-*" sous le signe j dans le second membre peut s'écrire
(cos « 4- a sin m)"*-i sin" -i u \n (cos u-{-asin uf + 4- a (m — w) sin u (cos m + o sin «) — »» («^ + 1) sin^ i*\ > en sorte qu'on obtient
\xf{m, n) = a(m — n)f(m, n)-\-nf{m-{- 1, «— 1) —
lorsque M > 0 , et pour n = 0 ,
(5) . . . xf(m,0) = amf{m,0)-\-l — m(a^ + l)fim—l,l).
On voit que la relation (4) reste encore vraie pour n = 0, si l'on adopte cette convention de remplacer alors
nf(.m-{-l,n — 1) par l'unité ; c'est ce que nous ferons désormais. On a ainsi
(6) lx + a(n — m)]f(m,n) = nf(m+l,n — l) — m{a^+l)f(m — l,n-{-l), et cette relation reste vraie même pour n = 0 ou m = 0.
Posons
1 in /"(w — l,n+l)
la relation (6) pourra s'écrire
d'où l'on conclut pour w = 0 la valeur explicite de (p{0, n) et dans le cas général :
La valeur de g? (m , n) est donc de cette forme
P(»n,n) = .'c'»+ .., Q(»n, w)=a;"' + i + ..., étant des polynômes des degrés m et m -\- l respectivement Lorsque w = 0 , la formule (7) donne directement la valeur de l'intégrale
/ {coa u -\- a sinu)"' e-^^ du
sous la forme d'une fraction continue. Mais il est facile maintenant d'obtenir l'expression générale de fim, n). En effet ayant
f{m, n) = nq>{m, n)f{,m-{- 1, «— 1), on en déduit
f(m,n) = 1.2.3...n.<p(m,n)(p(m-\-i,n—l)...(p(m-\-n—l,l)f(m-\-n,0), = 1.2 n.(p{m,n)(pim-\-l,n — l)...q>{m + n—l, i)(p{m-\-n,0),
ou encore / (m , «) = 1 . 2 . . . n . ^^^'"^ X f(^ + l.n-l) V(m + n,0)
Mais si l'on écrit les fractions continues, on reconnaît immédiatement que
Q (m , n) = P (w 4- 1 , M — 1), en sorte que l'expression précédente se réduit ^
Q{OT + n,0) Q(OT + n,0)
C'est là le résultat que nous avons annoncé; il est à peine nécessaire de dire que Q (m + n , 0) = B.
3. On obtient des résultats analogues en considérant l'intégrale
(coshM + asinhM)*" sinh"Me-''"dM = F(m, n),
et il suffira d'indiquer ici les résultats auxquels on est conduit ,
F(m,n) 1 OT(n-f l)(a^— 1)
1 nFf) (10)
mF (»n +1 , « — 1) a; + (M — m) a + a; + (n — w + 2) a -f (m — 1) (w + 2) (a2 — 1) 1 (M 4- w) (g^ — 1)
» + (w — »n4-4)a+ V a; + (« + »«) a et si l'on représente cette fraction continue par
on a
la valeur
de Q (m + n , 0) étant
(m + nfi
selon que m -j- w est pair ou impair.
Il est à remarquer toutefois que la condition que wi et n sont des entiers, n'est point nécessaire ici, car si l'on suppose a ^ — 1, cosh u-{-a sinh m, ne s'annule jamais et m peut même être négatif. Ainsi si l'on prend n = 0 et qu'on remplace m par —m, la formule (10) donnera
, rco e-'"*du __ 1 »w(l — a^)
\ J (cosh M + a sinh m)"" x-\-m.a -\- a; -f (w + 2) « -f (14) . ./ 0
Il serait facile de démontrer que cette fraction continue est convergente si l'on suppose
mais ici nous laisserons de côté systématiquement les questions de convergence , sur lesquelles nous reviendrons dans une autre occasion.
Dans la suite nous aurons besoin d'un cas particulier de la formule (14), posons a = 0 , m := 2 ,
on bien
ce qui peut s écrire encore
(15) .f tgh«--d^* = ^+V^^4^
4. Nous chercherons maintenant le développement en fraction continue de l'intégrale
" sinh (a m) sinh (6 m)
Il est clair d'abord qu'on a sinh (au) sinh (bu)
sinh (eu)
= ab
sinh (c u)
'du.
et l'on reconnaît facilement que a* est un polynôme homogène du degré k en o^, b^, &. On en déduit
ai a2 a3 ,
et l'on pourra par conséquent développer I en fraction continue de la manière suivante
ah
Ml
IH
C'est ce développement que nous voulons obtenir.
Voici une première observation dont nous aurons besoin. Lorsque a
... , . sinh (au) ,
est un multiple exact de c, a-=^nc, on sait que —^77 — \ est un polynôme du degré n — 1 en cosh c , ou encore
-— — — - = a cosh (» — 1) eu -\- a' cosh (n — 3) eu + a" cosh (n — 5) eu -)- . . . ,
Pn
et il est très facile de conclure qu'en ce cas I est de la forme ^r-,
P„ étant un polynôme du degré n — 1 , Qn un polynôme du degré n en x^. Ainsi dans ce cas on doit avoir fi„ = 0 et la fraction continue est finie. Il est clair qu'il en est de même lorsque b = nc.
D'après la formule (16) il s'agit de réduire en fraction continue la série
^""o^ X" ^ a^ a^ "•"■•■■ Pour cela on calculera d'abord
et d'après ce que nous avons dit des aj, il est clair qu'aussi Pk sera un polynôme homogène du degré k en a^, b^, â. Mais nous venons de voir que pour (x- = c^ ou b^ = c^, /Sg, /?3> /*4. • • • s'annulent. Donc /?,, fia, Pi, •■■ sont tous divisibles par (c^ — a^) (t^ — b^) et d'ailleurs p^ ne peut s'en distinguer que par un facteur constant.
En posant donc
\:Q = x' + P,-p^^, on aura
yk étant homogène et du degré k en a?, b^, cl On en déduit l:S, = a;^ + ^-^ + |^-^ + ....
dk étant encore du degré k en aP; b^, cK Or d'après ce que nous avons dit ^2. ^3' ^4) •••) doivent s'annuler pour «2 — 45^ ou è^ — 452. Ces coefficients sont donc tous divisibles par (4 c^ — a^) (4 c^ — 6^) et ^2 ne peut en différer que par un facteur constant. En posant donc
l:Si = ic2 + (5i-<Î2S2, on aura
Ek étant encore homogène et du degré k en a\ b\ <?.
II est clair que l'on peut continuer ce raisonnement , pour arriver à ce résultat que dans la fraction continue (17) on a nécessairement (si l'on fait encore attention à la symétrie par rapport à a et 6) ,
A„ = p„ c^ -f- qn (a^ + ô'-^) , /x „ = fn (n^ (? — a') (n^ c^ — b'^) ,
Pn, Çnt fn étant des quantités purement numériques. Pour les obtenir je pose d'abord c = 0, ce qui donne
/•* sinh(a«)8inh(6M)
/ Il
e-^«dM =
"^ oif+ îo (^+ P) — x^'-fq^ (a2 + 62) — x^ + q^ (a^ + b^) — "'
mais l'intégrale définie est égale à
^pco8h(^4-j)j^--J^,,^^^^^/-co8h(a-6)u^l^,,^^^^
et en développant les cosh suivant les puissances de u on trouve sans difficulté que la valeur de l'intégrale est
j (^^ — a^ — f>^-\-^ab\ ^^''^W-a^-b^-2abl'
Or le développement en fraction continue de ce logarithme se déduit par un simple changement de lettres de celui bien connu de
Mm
et l'on obtient ainsi
ab^ |a262 {%aH^
par conséquent
în = — 1 , Tn
4n2— 1 Pour obtenir p„ posons « = 6=1, c = 2, il viendra
J ■ af-^4po~2 — a;2-f4pi — 2 — ar-j-épg — 2 —
et la comparaison avec la formule (16) donne
4jo„ — 2 = 2(2»»+ 1)'^ donc p„ = 2n2 + 2n+ 1. II 25
Ainsi nous avons
( '^ sinh (g u) sinh (b u) .^^ ab A«i ^2
^^^> ■ I ^ sinh (CM) i'-i + Ao - x2 + Al - ^ + Àa - ' ' " '
A ce résultat j'ajouterai le suivant qu'on obtient d'une manière analogue :
(19) . . . Ch ?!î^! .- « du = ^r -V -V A • • ■ -
J sinh (6 M) x-\- x-\- x-\- x-\-
Pour a= 1 , î» ^ 2, on obtient un résultat qu'on déduit aussi comme cas particulier de notre formule (14).
