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et il en est de même de l'intégrale (18) dans le cas particulier c=a-\-b. Nous allons indiquer les résultats qu'on obtient ainsi , mais pour abréger, nous omettons la déduction qui, du reste, n'offre pas de difficultés. Considérons d'abord l'intégrale

.■«sinh|f26-l)M^,„„^ / smh u

elle est égale à

Le développement en série suivant les puissances descendantes de X est

~x "^ rr> "^ «6 -r a;T -r • • • •

On a introduit ici les polynômes de BernouUi

DltVELOPPEMENT EN FRACTIONS CONTINUES. 387

Le développement en fraction continue est

(20) . i^{x + b)-iy>{x+l-b) = ^-^ \ J^ \...^

En second lieu l'intégrale

/•* 2 sinh (bu) sinh (l—b)u , .1 Sinh M ^ ""'

est égfale à

Le développement en série est

?ii*) fsJb) <P5(6)

x^ xf :(fi • ■ ■ '

et le développement en fraction continue

(21) \b(i—b) Pi jïi P2 ?2 Pa %

x+ 1+ ^-+ 1+ x'-{- 1+ .-cq:---'

Hin-\-b)[n-\-i-b) ^" 2(2n-\- 1) ■

Si, dans la formule (20) on divise par b ~ ^ et qu'on pose ensuite 6= J, il viendra, en écrivant

■4(2« — 1)(2m + 1)' le développement en série est

oîl Bi = J , Bj = ^, . . . sont les nombres de Bernoulli.

On peut déduire de la formule (21) d'une façon analogue le résultat

(23) . .^(<?^ÔT-4-^-^^-^=^-T-\-hi-~Â--j:---'

^ ' ^ {x-\-nf x-\-x-^x-\-x-\-x-{-

nin -\- 1 )^

«"— ^n + ii '

le développement en série étant

8 El __ 5B2 7 Bj 9B4