n) ~y\nn(p{n
nous trouvons que <p{n) peut s'exprimer par une fraction continue convergente d'une loi très simple
Pour w = l, ?'(l) = — = 1.27324...
Réduites.
Corrections.
2. Le résultat que nous venons d'énoncer, se déduit sans difficulté de cette formule
En effet pour a=^\,
lr(a; + i)/ - ' "^-s^::^ + 0- , 3 .5
d'où l'on conclut l'expression donnée pour <p{n). On a encore
r(a: — io4-i)r(a; + ja + j) ^ r(a;-ia-ff)r(a;+èaH-î)
«* +-8^ + ..., d'où pour a = 0,
\r{x-fî;j 4.r + ô
3. Nous indiquerons maintenant la déduction de ces formules (I) et (II) Dans notre article Sur quelques intégrales définies et leur développement en fractions continues (ce Journal, t. 24, 1890), nous avons obtenu la formule suivante
/ sinh^-' ucosh"" u. (;-="'</«
iP— 1) r8inh/î-2t<co8hi-« u . e-'» du ^ + ^4:i*-iil^iLD(a-|-2)(^4-2)
En remplaçant ici
n par 1 — a ,
fi par \-{- a,
X par 4:c, on verra facilement par la substitution e ^" = v que les intégrales s'ex* priment par la fonction r et l'on obtiendra après quelques réductions faciles la formule (I).
La formule (II) s'obtient d'une manière analogue, en remplaçant
o par l — rt ,
fi par J +a,
X par 4;r,
et substituant e^^" = ('. Les calculs n'offrant point de difficulté nous croyons inutile d'insister. La fonction F s'introduit toujours par la formule connue
(Paris, C.R. Acad. Sci,, ii8, 1894, 1315— 1317)
Sur une application des fractions continues.
(Note, présentée par M. Picard.)
Soit
*' («) = Co + Cl 5! + Cg «^ + . . . ,
une série à coefficients réels. Admettons que tous les déterminants
Ca
• Cn - 1
Cn- 1 Cn
, Bn =
Ch
soient positifs. On peut conclure de là :
1". Que tous les coefficients c» sont positifs; 2^. Que le rapport
Cn + l C,,
va toujours en croissant avec n.
Deux cas peuvent se présenter, ou bien ce rapport croît avec n audelà de toute limite, ou bien ce rapport tend vers une limite finie. Admettons encore que ce soit le second cas qui arrive et que
Cn
La fonction F (z) est alors définie par la série d'abord pour les valeurs
