Soit en dernier lieu

(31) . f(a,ft,y) = j sinhî'-i Mcosh"-» ^-;MF(a,/î, j', — sinh2tt)e-*"dM,

les paramètres «, fl, y étant arbitraires.

Une intégration par parties donne d'abord

X j sinh»' M cosh'^ u F («, ft, y) e"'" du = / sinh»'-' m cosh'^-i wLt;- •^» dw,

L = (cosh- M 4- g sinh^ m) V (n, fi, y) — 2 -^ sinh''^ m cosh'-^ m F (a -f 1 , /? + 1 , y 4 I )•

Mais on a

[y—l-\-(a-\-fi— 1) Sinh" ?«] F (a, /?, J',) = (}' — 1) I-M" - 1, /^ - 1. !' — i) +

+ "f- 8inh2 M C08h2 m F (a + 1, /i + 1, y + 1). Or en introduisant les valeurs

on a

p cosh^ M + g sinh^ m = 7— l + (a-f/i — 1) sinh' m,

donc

L = (}' — l)F(a — 1,^— l,j' — 1)— "^8inh^MC08h2»F(a + l,/;+l, ;'4-l),

d'où l'on conclut

(32) . xr{a,^,y)={y-i)na-l,p-l,y-l)-'^f(a-\-l,f)-\-l,y + l), et si l'on pose

en sorte qu'on obtient le développement en fraction continue

Le rapport

fJPjJ^)

est donc indépendant de y. Pour obtenir alors la valeur de ce rapport sous une forme plus simple on pourra poser 7 =r/i, ce qui donne

F (a, fi, Y, — sinh" u) = cosh - •^" m ,

et l'on trouve

/ sinhP -^u cosh-" ue-^" du (34) /(«i/^- /) 0

(y — l)f{a—],ft—l,Y — l) (^i)psinh/'-2Mcoshi-''Me-^«dM

"o Si l'on substitue cette valeur dans la formule (33) on obtient un résultat qui se déduit aussi de la formule (10) en prenant a = 0, ?« = — «, rt=zf} — 1.

Note sur quelques fractions continues.

(Q. J. Math., London, 25, 1891, J. 198—200.)

1. M. Hermite obtient dans son Cours de la Sorbonne (4'*"» Edition , p. 116) ce résultat élégant

(0<e<i) En posant