Reprenons l'équation différentielle (i) du n
(I) o=-^^ + L+,/dR + r^.
Dans l'hypothèse elliptique , et si Ton néglige le carré de l'excentricité de l'orbite, la partie constante du rayon vecteur se réduit au demigrand axe a; nous pouvons donc supposer r= a dans l'équation précédente. Mais pour plus d'exactitude, et par une considération que nous exposerons ci-après, nous conserverons le produit de r^r par les parties constantes de la force perturbatrice; or cette force ajoute au rayon r une partie constante, que nous désignerons par la; en substituant donc a -h Sa au lieu de r dans l'équation (i) , on aura
d^.rèr fx.rdr f 3§a\ .„ dR
La partie de R dépendante de l'action du sphéroïde de Jupiter est, par le n° 1, égale à —V, et si l'on néglige le carré de v, on aura, en n'ayant égard qu'à cette partie , en prenant pour unité de masse celle de Jupiter, et pour unité de distance le demi-diamètre B de son équateur,
3r3 De là il est facile de conclure
fin /dR = R, r^ = -3R;
partant ,
SECONDE PARTIE. - LIVRE VllI.
En substituant a^ + 2rSr au lieu de r^, on aura
^/■dR-r^-P^=i^
•ar.
Si l'on ne considère que l'action du second satellite m\ et si l'on néglige les carrés et les produits de s et de s\ on a
---cosic -cj
[r2 — 2rr' cos(f'— v) -h r'^Y
Supposons que cette fonction , développée en série de cosinus d'angles multiples de ç' — v, soit égale à
m' [^A«» + A(» ) ces (p'—t/) + A(2)cos2{t^'—t^) + A(35cos3 ((;'—(;) H-. . .].
En changeant , dans cette série , r en a , r' en a\ v dans nt -h t, eiv' dans n't + z , nt et n't étant les moyens mouvements de m et de m', on
aura
/ A^Ocos [n't — nt-^z'—z)
.^„ ik 2nm' 1 +Af2)cos2(w7-nf+e'-e)
a / dR = 1 — - {
a n-n J +A(3'cos3(«';-/i;4-£'-e)
- étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale /dR. On aura ensuite
aR
da
(?A0) da
dkw
ces (n'f — n/H- ç'— g)
cos2(n'f — ^; 4- ç' — g) -, cos3(/i'f — n/ + g'— e)
da
dKW
On déterminera les valeurs de k.^^\ Af'\ A^'^', ... et de leurs différences partielles en a et a' par les formules du n° 49 du Livre IL
ORuvres de L. — IV. %
Comme nous nous proposons de conserver les parties constantes dépendantes de la force perturbatrice et qui multiplient rSr, nous devons
ajouter aux expressions précédentes de 2/dR et de r-r- les termes de
âr m'
ce genre qu'ils contiennent. Si, dans le terme — A^"^ de R, on substi-
tue a -; au lieu de r, il en résulte le terme m' 5 — ; la fonction
a ia aa
2/dR contient donc le terme m -5 — En substituant pareillement
rôr dK
a-\ au lieu de r dans la fonction r-^-, on voit qu'elle contient les
termes
,rÔr/dA(05 a^A^»^
•2.a \ aa aa^
En changeant successivement les quantités relatives au satellite m dans celles qui sont relatives aux satellites m" et m", on aura les parties correspondantes de 2/dR et de r-r--
Pour avoir les parties relatives à l'action du Soleil , nous observerons qu'en n'ayant égard qu'à cette action et en négligeant les carrés et les produits de s et de S', on a, par le n° 1,
U est la longitude du Soleil vu du centre de Jupiter; en désignant donc par M/ le moyen mouvement sidéral de cette planète , on aura , en négligeant l'excentricité de son orbite,
et alors on a
S Sr^ R = — ly — jj^ [1 -!- 3cos('2«f — iM.t -H iz — "iE)],
D' étant le demi-grand axe de l'orbe de Jupiter. On a, par le n° 16 du Livre II, en négligeant la masse de Jupiter relativement à celle du Soleil ,
on aura donc, en n'ajoutant point de constante à cette partie de l'expression de 2/dR, parce qu'elle peut être censée contenue dans la constante arbitraire k ,
ïJdR = I -i — coslint — ■2M.t + 2£ — ^E) >
r-T- = I -I- 3 cosi"! nt— ^Mf + ae — -îE,
ar 2 ^ ^ '-"
d'où l'on tire
