dR == M^rSr ^^ ces -î/i^ — •2M^+ 2e — ^E
r-^ = - ^^^ - MVÔr- |M2a2 cosiint - iUt-\-it- ^E).
Gela posé, si l'on rassemble tous ces termes dans l'équation différentielle (i), et qu'on la divise par a^; si, de plus, on observe que l'on
a 71^ = — ^^ — 5 ou à très-peu près w^ — — 5 m étant une très-petite fraction au-dessous d'un dix-millième , la masse de Jupiter étant prise pour unité; enfin, si, pour abréger, on suppose
la caractéristiqueN servant à exprimer la somme des termes semblables
à ceux qui la suivent et qui dépendent de l'action des satellites perturbateurs, on aura
— 3M2— —- ^^^-f cos(27i^ — 2M? + 2e — 2E) 2n — 2M ^ '
i , ^AO 2w ,,,A , , , .
«2 1 ^«A('M ces {-nlt — nt-v- e' — s
\ ôa n — n j ^ '
V , „ ' -r- «^ — ^ 1 raA(2) C0S2 n'^ — n^ + e'— e) I
->m'n2v \ âa n — n' ) ^ ' \.
\- «2 __ i ^«A(3) )cos3(/i7 — nt-hz' ~ t]
\ oa n — n / ^ '
Si l'on intègre cette équation, sans ajouter à l'intégrale des constantes arbitraires, qui peuvent être censées contenues dans les éléments du mouvement elliptique , et si l'on néglige , dans les termes dépendants de l'action du Soleil, M et N — ti vis-à-vis de n, dont ils ne sont que des fractions insensibles , on aura
— - = — cïxU/f + — ■r-é-'- 5- + 7 — « —s — cosio-nt — iM.t -\- Il — 1^]
a'^ N^ \ àa^ n^ ^ 1 aa ) n^ ^ '
in^ [ ,^A(') -271 ,,,,\ , , , ,
fl2 { ()A(2) -2/1 \
fn ^ ^[n—nY — ?<^\ da n — n } ^ '
r—, ^T- — ^ U2^ , -ak.W\cos^{n't — nt — z' — z)
9(71 — ny — iN^y aa n—n ) ^ '
La partie constante de cette expression est ce que nous avons désigné -dess de n^,
ci-dessus par — ; on aura donc, en observant que W diffère très-peu
da
a ia^ n^ ^ "2. aa
Si l'on substitue les valeurs précédentes de 2/dR, ^-^ et -^ dans l'expression de '^v, donnée par la formule (2) du n" 2, on aura, en observant que — ^ = n^, que (a = i à très-peu près, que M est trèspetit relativement à n , et que N diffère très-peu de /t , .
àv = nt(3k-h ^ ./^ — 7 ^ + > nt'a"^ -r— 1 + "q- -t sin ssnf — aMf -f- 2e — 2E \ a-* ^ n.^ Lj da / 8 n-* ^ . '
\n — n' [n — n'Y — ^^\ da n — n' /J ^ I
-y- 7'> i\n — n 4('* — '*)— N2\ da n — n /J ^
6\ji — n' 9{«--»')2— N2\ da « — n' /J ^
Le terme dépendant de sm(2 nt — 2M/ -l- 2£ — 2E) répond à l'équation connue, dans la théorie de la Lune, sous le nom de variation;
mais il est moins sensible dans la théorie des satellites de Jupiter,
]yf2 parce que le rapport — y est beaucoup plus petit.
nt étant supposé exprimer le moyen mouvement de m, son coefficient doit être nul dans l'expression précédente de ^ç», ce qui donne
'6a'^ 11 n^ 3^ da
En substituant cette valeur de k dans celle de — > on aura
a '6a'^ 6 n^ ^ jLà àa
d'où l'on tire
On aura les valeurs de —rr--> ^V; — ^—5 V; — ,^7— 5 V, en changeant,
dans les expressions précédentes de — ^ et de Sç», les quantités relatives
au premier satellite successivement dans les quantités semblables relatives au second, au troisième et au quatrième, et réciproquement.
4. Les rapports qu'ont entre eux les moyens mouvements des trois premiers satellites donnent des valeurs considérables à quelques-uns des termes des expressions précédentes; ces termes méritent une attention particulière , en ce qu'ils sont la source des principales inégalités observées dans les mouvements des trois premiers satellites. Le moyen mouvement du premier satellite est à fort peu près double de celui du second, qui lui-même est à très -peu près double de celui du troi-
sième. Il suit de là que le terme de l'expression de —y qui dépend de
l'angle ^n't— nnt + 2t' — 2e doit devenir fort grand par son diviseur
[^(n! — nf — W ou (2/1 — 2/1' + N)(272 — 2/i' — N); car, N et ^n' étant fort peu différents de /i, le diviseur 2n — itï! — N est très-petit,
et donne au terme dont il s'agit une valeur considérable. On voit en même temps la nécessité de déterminer N avec précision , comme nous l'avons fait, parce que sa différence d'avec /^, due aux forces perturbatrices, quoique très -petite, devient sensible dans la fonction 2/1 ~ 2w' — N, surtout à raison du terme — n ^ — ^^-^? que N renferme ; et c'est la raison pour laquelle nous avons conservé les termes dépendants de la force perturbatrice dans lesquels rtr est multiplié par des constantes , ces termes influant sur la valeur de N. Dans les autres diviseurs qui ne sont point très-petits , on pourra supposer, sans erreur sensible, N = n; en faisant donc
oa n — n
on aura, en n'ayant égard qu'au terme dépendant du cosinus de in't — 2nt + "21 — 2£, et observant que l'on peut, dans la fonction 2 /i — 2 n' -f- N, supposer 2 n' et N égaux à n , rbr m'n¥
a=» a(aw — 2/1' — N
ces [int — -2 n't + 1 e — as'"
L'expression de ^v donne, en n'ayant égard qu'aux termes qui ont 2/1 — 2 /i' — N pour diviseur,
^ m'nF . , , ,,
oc = -— ; — ïî sm ("înt — -in t -\- i£ ~ -ie .
in — "in —ri ^ '
Cette partie de '^v est l'inégalité la plus sensible du mouvement du premier satellite; elle est la seule que les observations aient fait reconnaître.
Si, dans la théorie du second satellite, on désigne par N' la quantité qui correspond à N dans la théorie du premier, et si l'on nomme A'"
celle qui correspond à A^'^ dans les perturbations du premier par le
r' àr' second satellite, il résulte de ce qui précède que l'expression de — ^
renfermera le terme
« — n )* — JN =* \ da n—n ' ^ '
Le diviseur [n - n'f — N'" est égal à {n - n'-hK)(n — n' — N'). N' étant fort peu différent de n', et n étant à très-peu près égal à 2n', le diviseur n ~ n' —W est très-petit , ce qui donne au terme précédent une valeur considérable. Soit
^A'" on'
aa n — n '
en faisant /i = 2 jtî' et N' = «' dans la fonction n — n! -1- N', on aura
r' èr' mn'G
lin — w'^ N
rT Q.os[nt — n t M- e — e''
On aura ensuite, en n'ayant égard qu'aux termes qui ont n — n'— N' pour diviseur,
^ , mn G . , , ,
oc = — ^7 sin w^ — n7 H- s — s
Il — n — ïS ^
On doit observer ici que
ce qui donne
„ "in' — n «'2 -xn a ,„ <)A^" "in' ,., .
G = ;, j -7 — a 2 ^ 4 rt'AO;
n — n a^ n — n a aa n — n
or on a —- = —-— = —- —; on aura ainsi a^ a^ a n ^ a
aa n ^ a n — n
n — 2«' étant nul à fort peu près, cette équation donne
aa
Mais, pour plus d'exactitude, nous ferons usage, dans le calcul numérique de G, de son expression rigoureuse.
r' èr' Les valeurs précédentes de — ty~ ^t de V ne sont relatives qu'à l'action du premier satellite. L'action du troisième produit encore dans
ces quantités des termes sensibles. En effet , le mouvement du second satellite étant à très-peu près double de celui du troisième, il doit en résulter, dans ces expressions , des termes analogues à ceux que l'action du second satellite produit dans les valeurs de —^ et de Sf . Nommons A'^''\ A'^'\ A'^^^ . . . , relativement au second et au troisième satellite, ce que nous avons désigné par A^"\ A^'\ A^^\ . . . , relativement au premier et au second. Supposons ensuite
oa n — n
nous aurons, par l'action du troisième satellite,
— r^- = —, — } T, — xfM ces an f — 2/2"/ + 2e — -26 ,
a 2 2(aw'— 2n"— N) ^ '
En réunissant ces valeurs aux précédentes , on aura les termes les plus
r' àr' sensibles de — rs- et de tv'.
Un rapport très-remarquable , qui existe entre les moyens mouvements des trois premiers satellites, permet de réunir en un seul les deux termes de chacune de ces expressions, dus aux actions du premier et du troisième satellite. Nous avons observé que le moyen mouvement du premier satellite est à peu près double de celui du second, qui lui-même est double à peu près du moyen mouvement du troisième satellite; en sorte que l'on a, d'une manière fort approchée,
d'où l'on tire
n — 3/i' -hin" = o.
Mais cette dernière équation est beaucoup plus approchée que les deux égalités d'où nous l'avons déduite. Elle l'est à un tel point que , depuis la découverte des satellites de Jupiter, les observations n'ont fait reconnaître aucune valeur sensible à son premier membre; nous pouvons
donc le supposer nul , au moins dans l'espace d'un siècle. Nous verrons dans la suite que l'action mutuelle des satellites rend la quantité 71 — 3n' + 2/i" rigoureusement égale à zéro, ce qui donne
in —in =^n — n
Les observations donnent encore à très -peu près, depuis la découverte des satellites , la longitude moyenne du premier, moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième , égale à la demicirconférence ou à 200°, en sorte que , dans l'intervalle d'un siècle au moins , on peut supposer
nt — ^n't H- in"t-{- e — 3g'H- ii" -=. 200°,
et par conséquent
in] t — in"t H- îe' — •2e"= nf — n! t -\- z — e' — 200°.
Nous verrons dans la suite que ces égalités sont rigoureuses.
Les termes de —7^ et de V, qui dépendent de l'action du troisième satellite , deviennent ainsi
r'hr' m"n'Y ,
—nr = -7 } 1ÏÎ7T ces [nt — n t -h e — £ ),
ov = — ■ -, ^-r smlnt — n t -h £ — e ) :
on a donc, par les actions réunies du premier et du troisième satellite,
a^ i[n — Al — N ) ^ ' ^ '
ôv' = -, — — (mG - m"¥ ) sinf/if - n't + e - e').
L'action du second satellite produit , dans la théorie du troisième , des termes analogues à ceux que l'action du premier produit dans la théorie du second ; en faisant donc
Œuvres de L. — IV, 3
on aura
r"àr" m'n"G'
^ cos(»7 — n"t + e' — e").
a(;"= , "^'""r^' „ sinlnt - «"^-4- £'- e").
Les valeurs de — tt^ et de V peuvent recevoir encore quelques termes
sensibles de l'action du quatrième satellite ; mais son moyen mouvement étant sensiblement plus petit que la moitié de celui du troisième satellite , ces termes doivent être peu considérables. Nous y aurons cependant égard dans la suite.
On peut observer ici que, n différant très-peu de 2n\ et n' différant
très-peu de 2/i", — diffère très-peu de — • En effet,
Cette dernière quantité est à très-peu égale à (- ) i ^ ^ — '
Pareillement on a
a' /i\'/ 1 n' — "înf'X ( ^\ ( o. n — in
a" \i} \ 3 li I \2/ V 3 n
ainsi 4 et ^ sont très-peu différents de (-) ; or, A^"', A^'', . . . étant
de la dimension — i en « et a', F et G sont de dimension nulle, ou
fonctions de — ; F' et G' sont des fonctions semblables de -t^; on a donc,
à fort peu près, F' = F et G'= G. Mais, pour plus d'exactitude, nous aurons égard aux différences de ces quantités.
5. Considérons la loi des inégalités précédentes dans les éclipses de satellites. Pour cela, nous donnerons aux valeurs précédentes de '^v.
V et V les formes suivantes :
dv = [ i )s\n[int—-2n't-^,~'ie — 'i^'], §v' = — {ii]sm{ nt — n't -\- e — s' ), èv"=-[iii)sm{n't - n"t + e' - e" )-,
les coefficients (i), (i i) et (i 1 1) étant positifs , comme on le verra dans la suite. Au lieu de rapporter les angles nt -i- t, n't + t' et n' t -^ ^ a une ligne fixe, nous pouvons les rapporter à un axe mobile, parce que la position de cet axe disparaît dans les angles 2nt - 2n't + 2e - 2e ^f__n't + ^- e', n' t - n"t + e' - e". Concevons que cet axe soit le rayon vecteur de Jupiter supposé mù uniformément autour du Soleil. Dans ce cas, les angles nt, n't, n"t exprimeront les moyens mouvements synodiques des trois premiers satellites. Concevons, de plus, que les angles e et ^' soient nuls, c'est-à-dire qu'à l'origine du temps t les deux premiers satellites aient été en conjonction. L'équation
nf - 3 n'/ + -2 /i"^ + £ - 3 e' + -2 e" = -loo",
qui a lieu encore relativement aux mouvements synodiques, donne e"= ioo«; les expressions de Iv, V et V deviendront ainsi
ôv; = ( I ) ?,vt\[int'-rtn't],
Ôi;' = — { II ) sin( ni — n't ), àv"= (iii)cos( n't — n"t).
Dans les éclipses du premier satellite, au moment de sa conjonction moyenne, nt est nul, ou multiple de 4oo». Soit ^n - 2«' = n + ■., ou n 2n' = w; on aura alors
ôt; := (i) sinM/.
Dans les éclipses du second satellite, au moment de sa conjonction moyenne, n'< est nul, ou multiple de 4oo«; on a donc alors
ô(/' = — (ii)sin&)^ Enfin, dans les éclipses du troisième satellite, à l'instant de sa con-
jonction moyenne , ri't -h e" est nul , ou multiple de 4oo°; on aura donc alors, en vertu des équations n— 2n' = n' — 2/1" et e" = 100",
0/' = (m) sinw^
On voit ainsi que les valeurs précédentes de §f, %v' et V, dans les éclipses, dépendent du même angle œ/. La période de ces valeurs est par conséquent la même, et égale à la durée de la révolution synodique
du premier satellite, multipliée par — — — r; nt et ii!t étant ici les
moyens mouvements synodiques des deux premiers satellites. En substituant pour n et n! leurs valeurs, on trouve cette période égale à 437^,659. Tous ces résultats sont entièrement conformes aux observations, qui ont fait reconnaître les inégalités précédentes avant qu'elles eussent été indiquées par la théorie.
