CHAPITRE m
DES INÉGALITÉS T)U MOUVEMENT DES SATELLITES, DÉPENDANTES DES EXCENTRICITÉS DES ORBITES.
6. Considérons présentement les parties du rayon vecteur et de la longitude des satellites qui dépendent des excentricités des orbites. Ces excentricités sont fort petites; en faisant donc, dans l'équation (A) du n° 2, r^ égal k a^ + 2r'()r, on pourra supposer que 2rSr représente, non-seulement les perturbations de r"^ dues aux forces perturbatrices , mais encore la partie de r^ relative au mouvement elliptique. Alors l'équation différentielle (i) du n° 2, dans laquelle se transforme l'équation (A) lorsque l'on néglige le carré de §r, donne par son intégration, non-seulement les perturbations du rayon vecteur, mais encore sa partie elliptique , qui résulte alors des arbitraires introduites par les intégrations. Dans ce cas, l'expression de S(^, donnée par l'équation (2) du n° 2, renferme la partie elliptique de ç', et cette partie est visiblement
égale à i n "> ^^ négligeant le carré de l'excentricité de l'orbite, et
en ne considérant que la partie elliptique de rtr.
Les termes de l'équation différentielle (i) du n" 2, dans lesquels rhest multiplié par des constantes , et ceux qui dépendent des sinus et cosinus de «i 4- £ méritent une attention particulière , en ce qu'ils déterminent les variations séculaires de l'excentricité de l'orbite et de son périjove. Nous avons déterminé, dans le n° 3, les termes dans lesquels rtr est multiplié par des constantes. Pour déterminer les autres, considérons le terme m'A^'^cos((^' — v) de l'expression de R. En y substi-
tuant a' -1 — au lieu de r', et n't-{-t'-\ ,., ,,' au lieu de ç^, il
en résulte la fonction
m' — z s-y- ces n7 — n/ + e' — e) ,^\,^ ^ A^'^sm /?. 7 — ni -h e — e).
a' da ^ ' a^ndt ^ '
a'e' étant l'excentricité de l'orbite de m', et tj' étant la longitude de son
r'èr' périjove, la partie elliptique de — jj- est, par le n*^ 22 du Livre II,
— e'cos{n't -f- e' — cî'). En la substituant dans la fonction précédente , il en résulte un terme dépendant du cosinus de l'angle nt -i- 1 — zs', et il est facile de s'assurer qu'il est le seul de ce genre qui résulte du développement de la partie de R dépendante de l'action de m'. Les deux satellites m" et m" fournissent dans R des termes analogues; mais il est aisé de voir, par l'expression de R du n** 1, que l'action du Soleil n'en produit point, du moins en négligeant les termes divisés par D'*. Maintenant , si l'on n'a égard qu'aux termes dépendants de nt, on a /dR = R ; partant , en n'ayant égard qu'à ces termes , on a
— ia -^—, — \-aa ^ — T-y ) ces n / — w/4-e — e
a 2 y ^a dada J ^ '
a^ndt \ da ) ^ '
L'équation différentielle (i) du n° 2 deviendra donc, en n'ayant égard qu'aux termes dans lesquels r'hr est multiplié par des constantes, et à ceux qui dépendent des sinus et cosinus de nt\ en observant, de plus,
que n'^ = — à fort peu près ,
d-i.ràr ^.,r3r v) " ^ ^^ dada)
a^dt^ «2 ^\ o.m'n'^d.r'^r' f .,., „^A(')
a'^n'dt
(2aA('5 4-a2--r — jsin(»'j
La manière la plus simple d'intégrer cette équation différentielle est d'y supposer
ror , , . . ^v r or
— =Acos(/i/M-e — gt — V), — r^ — A'cos(n'/ + e' — gt — F),
g étant un coefficient très- petit de l'ordre des forces perturbatrices dont il dépend. En substituant ces valeurs dans l'équation différentielle précédente , et en ne conservant que les termes dépendants de cos(nt -]" z — gt — Y), la comparaison de ces termes donnera , en négligeant le carré de g ,
o := A(N2 -i- -zng-- «2) +y ^^ aY
,aA(') , ,a2A(') , ,,,, „<)An)
oa aaaa
da
En substituant pour N^ sa valeur donnée par le n° 3 , on aura
I V /aY 4/1, o^AO) ,(?A(') I , ,a2A(')
da
da'
dada'
A^'^ étant une fonction homogène en a et a' de la dimension — i, on a, par la nature de ces fonctions ,
da da
l'équation précédente devient ainsi
Ln a^ 4 '^ "^ jLd
dA(^ da
-.""''da^-)]
-\m7jYaA(0 a
En faisant, comme dans le n° 55 du Livre II,
m'n ( „ (^Afo) I „ ^2^(0)
da
1 da^
o, I = — aAO — «2 __ «3
' 2 \ da -2 da^
en désignant ensuite par (o, 2), |o, 2| ; (o, 3), |o, 3| , ce que devien-
nent (0,1) et o, I , lorsque l'on y change successivement ce qui est relatif à m' dans ce qui est relatif à m" et m'"; enfin, en désignant
par (o) la fonction ^—-—^n, et par | o | la fonction y — , on aura
Si Ton considère pareillement les perturbations des mouvements de m', m" et m'", il est visible qu'il en résultera une nouvelle équation semblable à la précédente , et qui s'en déduit en y changeant les quantités relatives à m successivement dans celles qui sont relatives à m', m" et m'", et réciproquement. En écrivant donc dans les fonctions
(o), f o I , (o, i), |o, 1 1 , ..., au lieu de o, le numéro du satellite
troublé et les quantités qui lui sont relatives, et au lieu de i, le numéro du satellite perturbateur et les quantités qui lui sont relatives, on formera les équations suivantes :
(/') o=h' rg-(o-r^-(i,o)-(i,-^)-(i,3)i+[Tr3iyi+fT:T|yi--+n73i/^",
(!'") o = A"[g-(3)-rT1-(3,o)-(3,i)-(3,a)] + r37^A+r3rri^' + f3r^^^
On doit observer ici que l'on a , par le n° 55 du Livre II ,
et que la même équation subsiste en y changeant les parenthèses rondes en parenthèses carrées. Ces équations ont lieu entre les mêmes fonctions relatives à deux satellites quelconques, ce qui donne un moyen simple de dériver ces fonctions les unes des autres.
Les quatre équations précédentes entre h, h', h" et h"' sont analogues aux équations (B) du n" 56 du Livre II, et se résolvent de la même manière. Elles donnent une équation finale en g du quatrième degré. Soient g, g,, g^, gz ses quatre racines ; en faisant
on aura, au moyen des équations précédentes, €', €", ê'" en fonctions
de gy et h sera une constante arbitraire. Soient €', , ê", ^'[ les valeurs de ê', ê", ê'" relatives à la racine gi , et A< une seconde arbitraire ; soient êg, êg, €'2 ces mêmes valeurs relatives à la racine g^, et ^^ une troisième arbitraire ; soient enfin ê'^ , ^\ , êg les mêmes valeurs relatives à la racine g^ , et h^ une quatrième arbitraire ; on aura , par la nature des équations différentielles linéaires,
— ^=A cos[nt-^z — gt — r )-\-hiCOs[nt + z — git—Vi) H- ^2 cos(n? + z — git — Ti) -\- hi cos [nt -h e — §-3^ — la),
r'ôr'
—7^ =ê' A cos(n' ; + e' — g-; — T ) H-ê'^/i, cos[n' ; + e' — g-i? — T.)
+ ê'2A2COs(»' ^ + e' — g-2^ — Ta) + ê'3/^3COs(/^' ^ + e' — g-3^— Fs), = ê"A cos(n'' t-i-e" -gt - T ) + 6'; A< cos{/i" i + e" - §•< ^ - T^
+ ê'; A2 ces (w"/ + e" — g-2 < — Ta) + 63 hs ces {/i" ^ + e" — §-3 f — Ta ;
= ê"'A ces (n'"^ + £'"-§•/ -r )H-6';A,cos(n"7 + e'"-g-,^-rO + €'2^2 ces ( n'" t + e'" - g2 ^ - Ta ) + ê'3 /ta ces ( n'" t + e'"- g^t -T^),
r, r, , To et Tg étant quatre arbitraires. Ces expressions sont complètes, puisqu'elles renferment huit arbitraires, c'est-à-dire deux fois autant d'arbitraires qu'il y a d'équations différentielles du second ordre en rSr, r'^r\r"^r"etr"'lr"'.
Ces arbitraires remplacent les éléments du mouvement elliptique des satellites. Si l'on considère leurs orbites comme autant d'ellipses dont les excentricités et les positions des apsides sont variables, en nommant ae l'excentricité du premier satellite , et cy la longitude de son périjove comptée de l'axe où l'on fixe l'origine des angles, on aura
— r- = — e ces [nt -h e
ce qui donne, en comparant cette expression à la précédente,
ecoscj= — hcos{gt -h T) — h, cos(g-( t -hTt) —. . . , e sin GT = — A sin [gt -hT) ~ ht sin (g-, ; + Ti ) — . . . ,
d'où l'on tire facilement e et zs. On auï>a de la même manière e', u\ ...
OEuvres de L. — IV. 4
26 xMÉCANIQUE CÉLESTE.
L'analyse du n° 68 du Livre II conduirait aux mêmes valeurs; mais l'analyse précédente est un peu plus simple.
La partie elliptique de v est 2esin{nt -i- 1 — vs) par le n° 22 du Livre II ; en la désignant par Sç', on aura
5c = 7.6 cos m sin [nt -h e) -
ce qui donne
ôv= — ih sin ( n/ + e — gt —T] — ihi sin{/if -\- z — git ~1l2
On aura de la même manière
sesincjCQsf/i/
ihi s,m[nt -{- E — g^ t — V i ihz smint -^ z — gzt — Tz
èv'
iv":
aê' A s'm{n' t -he' — gt —T ) — '2^^h^ sin 2 62 Ao sin ( w' / H- e' — g-2 i — r2 ) — a S'a A3 sin
•2ê" A sin(n"/ + t"- gt -T ) — 26" A, sin 2 6*2 A2 sin ( n" / + e" — g-2 ^ — Ta ) — 2 6*3 A3 sin
2ê"'A sin(n"'/-+-e"'— gt -T )-26^'A, sin 2ê^A2sin{n"'/H-e"'-§-2/-r2)-26'3A3Sin
[n' t -he' —g^t — T^) [n't -^e' —gst — Ta),
{n"t -he" — git — Ti) {n"t+e"-g,t-T3),
{n"'t-\-e"'-gtt-Ti) {n"'t + £"'-g,t-T3).
Tout se réduit donc à former et à résoudre les équations précédentes (i), [i'), [i"), (i'"). Mais nous verrons dans la suite qu'elles sont incomplètes, et que les rapports qui existent entre les moyens mouvements des trois premiers satellites leur ajoutent de nouveaux termes très-sensibles, quoique dépendants des carrés et des produits des forces perturbatrices.
7. Les termes de la double intégrale — ffndtàR de l'expression de
^v du n° 2, qui dépendent de l'angle nt — 2n't-{- 1 — 2e', acquièrent par les intégrations le diviseur {n — 2n'Y, et, n étant fort peu différent de 2n', ce diviseur est très-petit et peut donner une valeur sensible à ces termes, quoique multipliés par les petites excentricités des orbites; nous allons donc les déterminer.
Considérons le terme m'A^*^cos{v' — i>) de l'expression de R. En y
substituant a H -7— au lieu de r , nt-^t-ï ,; , ,^ ' au lieu de v ,
a a^ndt
a au lieu de r, et n^ + e au lieu de v, on voit que ce terme contient la fonction suivante
,r'àr' ,dA(<) , ,, , , ^ o.m'J(r'ôr') ,,,, . , , , "
m' ——- a' -^-r~ cos [n' t — nt -h z' ~ e) ,,\ ,^ 'A(*^smin't — iit-{-£'—t).
«2 da ^ ' a^ndt ^ '
r' àr'
— rj- contient, par le numéro précédent, le terme A'cos(/i'^+£'— ^/— r);
en le substituant au lieu de — rj- dans la fonction précédente , et négligeant les quantités de l'ordre m' g, cette fonction produit la suivante
m'h' / „aA(')
cos int — in' t -^- s — le' +ff/ + r
On a, par le n° 4,
aa le terme précédent devient ainsi
— cos[nt — 2n7 -h s ~ le -\- gt -+- T).
Considérons encore le terme m'A^^^ cos{2v' — 2v) de l'expression
de R. En y substituant a 4- — au lieu de r, w^ h- e + ^ ^ ^^^ au lieu
de t', n't-h s' au lieu de v', et a' au lieu de r', on voit que ce terme contient la fonction suivante
, rSr dAW , , , ^
fn — a —5 — ces [in t — int -F- it — ae)
dirdr] + 4m'— ^-— 7^A(2)sin(2w7— ^n/H-ae'— -ze).
Substituons, dans cette fonction, Acos(n^ -f- s — ^/ — r) au lieu de ouverons qu'elle produit la suivante
/ <?Af2) , \
(«2 — h ^aA(^ncos{nt — in't -h e — ie' -h gt + T).
m'h / „ <?Af2) ia
L'expression de F du n° 4 donne, en y faisant n — in' ,
aa
Le terme précédent devient ainsi
cosfn^— 2/ï7 + e— îe' + W 4- r).
En le réunissant au terme dépendant du même cosinus, et que nous venons de déterminer, on aura dans R le terme
^ fpA + ^ GA' ) cosfn/ - 2n7 + e — 2e' H- g-f + r), ■xa\ a J ^ o /
et il est facile de voir que l'action de m' sur m n'en produit point d'autres de ce genre.
Maintenant, si l'on observe que (x peut être supposé égal à l'unité
dans la fonction — ffndtdK de l'expression de ^v, cette fonction don-
nera dans St», en vertu du terme précédent de R , l'inégalité
, ~^^'^' (fa -h'^Gh') sm{nt - in' t + t - -xt.' -h gt + T).
n' étant à fort peu près égal à 2n", il est clair que l'action de m" sur m' produit dans V une inégalité analogue à la précédente , et par conséquent égale à
> ^"^y' ,j¥'h'^-„G'h")sm{n't-in''t+t'-'2t''+gt-^T). n — in' -h g)^\ a" j ^ o /
L'action de m sur m' produit encore dans V une inégalité du même genre , et que l'on peut facilement déterminer par le n° 65 du Livre II; car on a, par ce numéro, en n'ayant égard qu'aux termes dont il s'agit,
ce qui donne, pour cette partie de V,
3 mn"^ \ja
-=(F/i + ^GA')sin(n? — an'^H-e — iz' -^ gt -h T). sja'\ o, J
'i[n — in! -\- gY
On peut réunir ce terme au précédent , en observant que nt — nn't-hz — ii' :=z ri t — in" t + z' — iz" -\- ^oo",
et que, n étant à fort peu près égal à 2n', et ( — j étant égal à ( — j 5
on a , à très-peu près ,
n" \la ,„ a'
La réunion de ces termes donne ainsi
ôc'= 7- ; r-< iS\n[nt—in't-\-z — it'-\-gt-{-V).
Enfin l'action de m' sur m" produit dans le mouvement de m" une inégalité analogue à celle que l'action de m sur m' produit dans le mouvement de m', et qui par conséquent est égale à
3m'Ai"2 / ,,„ a
(G'A"+ ~F' /A sm{nt — m' t -^ e — ie' + gt -h T]
Les inégalités précédentes sont relatives à la racine g. Il est visible que chacune des trois autres racines g^ , g.^ et ^3 donnera , dans les mouvements des trois premiers satellites, des inégalités semblables. Ce sont les seules sensibles parmi celles qui dépendent à la fois de l'action des satellites et des excentricités des orbites.
8. L'action du Soleil peut aussi produire dans les mouvements des satellites des inégalités sensibles, quoique dépendantes des excentricités des orbites. La valeur de R relative à cette action contient , par
3Sr2 le n° 1, le terme — -7-jp-cos(2Ç'— 2U). En y substituant, pour r^,
a^[i-h2hcos{nt-{-z — gt — T)]; pourr, nt-\- 1— 2hs'in{nt-\- z — gt — T); D' pour D, et M^ pour ^^ on aura dans R le terme
- 9^""^^^ cos(nf - 2M< + e - 2E H- g< 4- r).
La valeur de R relative à l'action du Soleil contient encore le terme
— 1^- En y substituant, pour D, D'[i — Hcos(Mï + E — I)], H étant
le rapport de l'excentricité au demi-grand axe de l'orbite de Jupiter, et I étant la longitude de son périhélie , on obtient le terme
^a2Hcos(M/ + E-I).
Si l'on néglige le terme j^ de l'expression de R, qu'il est inutile de
considérer, on a
dR
ar
Cela posé, l'équation difFérentielle (i) du n° 2 devient, en ne considérant que les termes dépendants des cosinus des angles nt- 1 M/+e— i E-f-^^+r et M^ + E — I , et en observant que ^ et M sont très-petits relativement à /i,
— 9M2Acos{n/-2Mf + e — 2E + g-/ + r)— |M2Hcos(M< + E— I).
* On a vu, dans le n° 3, que l'expression de — ^ contient le terme
-ç.Q%{int — i^t -+- 2e — 2E); le produit
3Na ^'^ /i cos{nf -t- e - ^/ - r)
contient ainsi le terme \WhzÇ)%{nt — 2M/ -h e — 2E -+- ^^ -f- r), N'' étant à très-peu près égal à /i^; l'équation différentielle précédente
devient donc
+ N2 -— — ^M^ h cos [nt — -iUt -h e — -îE -h gt + T]
a^df^ a2
^M2Hcos{Mf + E-I),
d'où l'on tire , en négligeant ^ et M eu égard à /i, excepté dans le facteur 2M — ^4-N — /i,à cause de sa petitesse ,
3M2H .-,, ^- H — cosM^ + E — I.
L'expression de Iv du n° 2 donnera à très-peu près, en y substituant -^ au lieu de a',
in[iM. -^ ^ ~ n — g) ^ *
-^^HsinfMfH-E-I).
La première de ces inégalités répond à Yévection dans la théorie de
la Lune; mais elle n'est pas unique, et il est clair que chacune des trois
racines ^, , g^, gs fournit une inégalité semblable. Cette inégalité se
confond, dans les éclipses, comme l'évection, avec l'équation du centre,
et la diminue. En effet, dans ces phénomènes, la longitude du Soleil,
vu du centre de Jupiter, est moindre que celle du satellite de 200°, en
sorte que l'on a
1 Mt + 2 E H- 400° = -2 nf H- 2 e ;
l'inégalité précédente devient ainsi
— r-^ ^7 ; smlnt -he — gt —T).
^«(aM -h N — n — g-) ^ .
L'équation correspondante du centre est, par le n° 6,
— ■îhsin[nt-irî — gt—T);
ainsi la valeur de h déterminée par les éclipses est plus petite que ta
véritable, dans le rapport de i — , , .. — ^^ r à l'unité.
La seconde inégalité correspond à l'équation annuelle du mouvement de la Lune : sa période étant fort grande, on verra ci -après qu'elle est sensiblement modifiée par les termes dépendants du carré de la force perturbatrice.
En changeant ce qui est relatif à m successivement dans ce qui est relatif à m', m" et m"', on aura les inégalités correspondantes des autres satellites.
