DE LA DUREE DES ECLIPSES DES SATELLITES

26. Nous n'observons point immédiatement le mouvement des satellites de Jupiter autour de cette planète. Leur élongation à Jupiter, vue de la Terre, est si petite, que les plus légères erreurs dans les observations en produisent de plusieurs degrés dans leurs mouvements jovicentriques. Mais leurs éclipses offrent un moyen incomparablement plus exact pour déterminer ces mouvements, et nous devons à l'observation de ces phénomènes la connaissance de leurs inégalités. Jupiter projette derrière lui, relativement au Soleil, une ombre dans laquelle les satellites se plongent près de leurs conjonctions. L'inclinaison des orbites des trois premiers satellites à l'orbite de Jupiter et leurs distances à la planète sont telles, que ces corps s'éclipsent à chaque révolution; mais le quatrième cesse souvent de s'éclipser, et cela, joint à la durée de sa révolution, rend ses éclipses plus rares que celles des autres satellites.

Un satellite disparaît à nos yeux avant qu'il soit entièrement plongé dans l'ombre de Jupiter. Sa lumière, affaiblie par la pénombre et parce que son disque s'enfonce de plus en plus dans l'ombre de la planète, devient insensible avant qu'il soit totalement éclipsé; son bord, au moment où nous cessons de le voir, est donc encore à une petite distance de l'ombre de Jupiter, et, si l'on conçoit à cette distance une surface semblable à celle de l'ombre, l'immersion du satellite dans l'intérieur de cette surface et sa sortie seront pour nous le commencement et la fin de son éclipse.

Cette ombre fictive n'est pas la même pour tous les satellites. Elle dépend de leur distance apparente à Jupiter, dont l'éclat affaiblit leur lumière; elle dépend de l'aptitude plus ou moins grande de leurs surfaces à réfléchir la lumière; elle dépend encore de la pénombre, et probablement de la réfraction et de l'extinction des rayons solaires dans l'atmosphère de Jupiter. La plus grande durée des éclipses d'un satellite ne peut donc pas nous faire connaître avec précision celle des autres satellites; mais la comparaison de ces durées doit nous éclairer sur l'influence des causes que nous venons d'indiquer. Les variations des distances de Jupiter au Soleil et à la Terre, en changeant l'intensité de la lumière que nous recevons des satellites, influent sur la durée de leurs éclipses; l'élévation de Jupiter sur l'horizon, la pureté de l'atmosphère terrestre, enfin la force des instruments dont se sert l'observateur, influent pareillement sur cette durée. Toutes ces causes répandent de l'incertitude sur les observations des éclipses des satellites, et principalement sur celles du troisième et du quatrième. Heureusement, on peut observer assez fréquemment l'immersion et l'émersion de ces deux satellites, dans les mêmes éclipses, ce qui donne l'instant de leur conjonction d'une manière assez précise et indépendante de la plupart des causes dont nous venons de parler.

Déterminons d'abord la figure de l'ombre de Jupiter. Si cette planète et le Soleil étaient sphériques, l'ombre de Jupiter serait un cône tangent à la surface de ces deux corps. Mais Jupiter est sensiblement elliptique; la figure de son ombre doit donc différer sensiblement de celle du cône.

Considérons généralement l'ombre d'un corps opaque éclairé par un corps lumineux, quelles que soient les figures de ces corps. Si par un point quelconque de la surface de l'ombre on mène un plan tangent à cette surface, il sera tangent à la fois aux surfaces des deux corps. Il est visible que les trois points de contingence seront sur une même droite qui coïncidera par conséquent avec la surface de l'ombre; cette surface est donc formée par les intersections d'une suite de plans tangents aux surfaces des deux corps opaque et lumineux. Soit

X =:ay-h bz -h c

l'équation générale de ces plans, a, b, c étant des quantités variables d'un plan à l'autre. Nous pouvons appliquer ici les considérations du n° 63 du Livre II, relativement aux orbes planétaires considérés comme des ellipses variables. Si l'on fait varier infiniment peu les coordonnées X, y, z, elles pourront encore être censées appartenir au même plan; ainsi l'on peut différentier l'équation

x^zay+bz + Cy

en regardant a, Z», c comme constants, ce qui donne

dx=:ady-\-hdz.

En la différentiant ensuite en faisant tout varier, et retranchant la première différentielle de la seconde, on aura

o =zyda -\- z db -\- de,

en sorte que, si l'on considère b etc comme fonctions de a, on aura

db de

"^ da da

Soit maintenant [x = o l'équation à la surface du corps lumineux. Nommons X, Y, Z les trois coordonnées de cette surface au point où elle est touchée par le plan. Pour qu'il soit tangent à cette surface, il faut non-seulement que ces coordonnées puissent appartenir à l'équation de cette surface, mais qu'elles puissent encore appartenir à sa différentielle.

Substituant pour d\ sa valeur adY + bdZ, on aura

Cette dernière équation doit évidemment avoir lieu, quels que soient

dX et c?Z; on a donc

En combinant ces équations avec celles-ci,

jJ^ étant fonction de X, Y, Z, on aura, en éliminant X, Y, Z, une équation finale en a, b, c.

Soit ensuite ]jJ =o l'équation à la surface du corps opaque, et nommons X', Y', Z' les coordonnées correspondantes aux points où elle est touchée par le plan. ^' étant considéré comme fonction de ces coordonnées, cette équation fournira de la même manière les quatre suivantes :

dii' , du!

d'où l'on tirera une seconde équation en a, è, c. Au moyen de cette équation et de la première, on aura /^ et c en fonction de a. Substituant ces fonctions dans les deux équations

x=zay-\-bz + c,

db de '' da da

on aura deux équations entre Xy y, z^X,a\ éliminant a, on aura, entre Xy y, s, une équation finale, qui sera celle de la surface de l'ombre. Telle est donc la solution générale du problème de la détermination de l'ombre du corps opaque, solution qui donne également l'équation à la surface de la pénombre ; car il est clair que cette surface est formée, comme celle de l'ombre, par les intersections successives des plans qui

touchent les surfaces du corps lumineux et du corps opaque, avec la seule différence que, dans le cas de l'ombre, on doit considérer les intersections des plans qui touchent ces surfaces du même côté, au lieu que, dans le cas de la pénombre, il faut considérer les intersections des plans qui touchent ces surfaces des côtés opposés. Appliquons cette solution à l'ombre de Jupiter.

Supposons d'abord Jupiter et le Soleil sphériques. Soit R le demidiamètre du Soleil, R' celui de Jupiter. Soit D la distance des centres de ces deux corps, et fixons au centre du Soleil l'origine des coordonnées. L'équation de la surface du Soleil sera

en sorte qu'ici (Jt. = X^ -f- Y^ -i- Z^ — R'^ ; on aura donc , par ce qui précède, les quatre équations

Y-i-aX = o,

X = aY + 6Z-hc.

Les trois premières équations donnent

Les trois dernières donnent

d'où l'on tire

L'équation de la surface de Jupiter est

en sorte qu'ici fx' ;=:. (X' - D)^ + Y'^ + Z' - R'=^ ; on aura donc, par ce

SECONDE PARTIE. - LIVRE VIII. Hi

qui précède, les quatre équations