X -D = aY' + 6Z' + c-D

d'où l'on tire

-D)2=zR'2(i + a2 + 62).

En faisant donc

on aura

et par conséquent

L'équation

donnera ainsi, en

faisant

l'équation

Celle-ci

a:=ax+bz-{-c

deviendra

En différentiant cette dernière équation par rapport à a seul, on aura

az

d'où l'on tire

„ fr

et par conséquent

ou

équation à la surface du cône, yetz étant nuls à son sommet, on aura,

à ce point,

c'est la distance du sommet du cône au centre du Soleil. En en retranchant D, on aura la distance du sommet du cône au centre de Jupiter, égale à ,

Maintenant, pour avoir égard à l'ellipticité de Jupiter, nous supposerons que son équateur coïncide avec le plan de son orbite. L'erreur qui peut résulter de cette supposition serait nulle si Jupiter était sphérique; elle n'est donc que de l'ordre du produit de l'ellipticité de Jupiter par l'inclinaison de son équateur; elle doit, par conséquent, être insensible. Cela posé, on aura, comme précédemment.

L'équation de la surface de Jupiter sera

R' étant le demi-petit axe de Jupiter; en représentant donc par {/,' le

premier membre de cette équation, on aura, par ce qui précède,

Y' + «(X'-D) = o, (n-p)2Z'+6(X'-D)=o, X' - D = aY' -f 6Z' + c - D, d'où l'on tire

c - D = (i + p)R' i /i + «2 + ^"^ = R v/r+ a2"+ fea - D. Soient

on aura, en négligeant le carré de p,

ce qui donne, pour l'équation du plan.

En la difFérentiant par rapport à a seul, on a

Ip

I— X 2>pR2«

o =: r — az H !-=r — •

Éliminant a au moyen de ces équations, on aura l'équation de la surface de l'ombre. Mais on peut simplifier le calcul en observant que, si l'on suppose

OEuvres de L. — W . l5

lU MÉCANIQUE CÉLESTE.

__ZZ___ étant la valeur de a dans l'hypothèse sphérique, on a

fz qpy \fpz

L'équation du plan devient ainsi

f 1-^1 —i Vp^'' D >pR2 pz^

d'où l'on tire

L J> \^^/2(^2 + ,2)?£^^rM2i.

/est égal à — i/^^, xia — i» 1^ radical devant avoir le signe — , parce que x est moindre que r- On a ainsi, à très-peu près,

D étant considérablement plus grand que R; on aura donc

YiHi-lYl D \2 , , îX ,/ R \

— -T^ — -\ =: — ^ =r2H-z2H pz^[-—=^=^ — i\\

c'est l'équation de la figure de l'ombre de Jupiter. On trouvera, par la même analyse, que l'équation de la pénombre est

Considérons une section de l'ombre de Jupiter par un plan perpendiculaire à l'axe, à la distance r du centre de la planète. On aura, dans ce cas, x = D-\-r, partant

On a d'abord, en négligeant p,

substituant cette valeur, dans le terme affecté de p, on aura

XD

Cette équation est celle d'une ellipse dont l'ellipticité est , '

La quantité ^rr étant peu considérable , même relativement au quatrième satellite, on voit que cette ellipse est à peu près semblable à l'ellipse génératrice de Jupiter. Son demi-grand axe est

„.p,R.[,-lLZ.M]

OÙ l'on doit observer que (i -H p)R' est le demi-diamètre de l'équateur de Jupiter. Soit a ce demi-grand axe, et faisons

pi 1 + ^

r(i-Xl

XD nous aurons, pour l'équation de la section de l'ombre de Jupiter,

et 2a sera la plus grande largeur de cette section.

En faisant 1 négatif dans les valeurs de a et de p', l'équation précédente deviendra celle de la section de la pénombre; d'où il suit que, la plus grande largeur de la pénombre, à la distance r du centre de Jupiter, étant égale à la différence des deux valeurs de a relatives à l'ombre et à la pénombre, elle sera ^(i -+- p)R' ou -j^? R étant le demi-diamètre du Soleil.

Nommons présentement Z la hauteur d'un satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter au moment de sa conjonction, rsa distance au centre de Jupiter, et (^, l'angle décrit par le satellite sur l'orbite de la planète, depuis l'instant de la conjonction, en vertu de son mouvement synodique. Prenons ensuite pour axe des x la projection du rayon vecteur du satellite sur l'orbite de Jupiter au moment de la conjonction, ou, ce qui revient au même , le prolongement du rayon de l'orbite de Jupiter à cet instant; on aura

Jj'équation de la section de la surface de l'ombre devient ainsi

(r2 — z2)sin2f, =a2 — (i + p')222.

Nous négligerons les quantités de l'ordre z* et z^ sinV,, ce qui réduit l'équation précédente à celle-ci,

r^sin^v, —oî^— (i + p')222.

or, on a

z = Z + smvi j t-5sm2t;, -^-r- +

dv^ ^ dv\

On aura donc, à très-peu près,

r» sin2 ('j = a2 - (i -h p' )2Z2 — 2 (n- p' )2 sin t», Z -^ ,

d'où Ton tire

sin.,=. d=y/|^-+.(i + p')-J|^--(i + p')-J.

s étant supposé exprimer la tangente de la latitude du satellite audessus de l'orbite de Jupiter, au moment de sa conjonction , on a à fort peu près Z = r^, r étant à très-peu près constant; l'équation précédente devient ainsi

sin.,=:-(i + p')2l^±y/[^-4-(i + p').j[^-(r + p').]. Cette formule, prise en donnant le signe -+- au radical, exprime le sinus

de l'arc décrit par le satellite, en vertu de son mouvement synodique, depuis la conjonction jusqu'à l'émersion. Avec le signe —, elle exprime moins le sinus de ce même arc, depuis l'immersion jusqu'à la conjonction.

Soit T le temps que le satellite emploie à décrire la demi-largeur a de l'ombre, en vertu de son mouvement synodique, et t le temps qu'il met à décrire l'angle v^. Supposons

X étant une très-petite quantité, a étant la moyenne distance du satellite à Jupiter, - est le sinus de l'angle sous lequel la demi-largeur a serait vue à cette distance. Soit ê cet angle; on aura, à très-peu près,

Si l'on substitue dans cette expression, au lieu de p<, son sinus, qui en diffère très-peu, au lieu de sinr, sa valeur précédente, et ê au lieu

de -5 on aura a

Si l'on n'a égard qu'aux équations du centre des satellites, on a, comme l'on sait,

et il résulte encore du n° 4 que la même équation subsiste, en ayant égard aux principales inégalités des satellites; on aura donc, à trèspeu près,

^-T(.-X)j-(i + pr|^±y/[i + |X+(i + p')|J[i + iX-(i+p')iJj. Si l'on nomme t' la durée entière de l'éclipsé, on aura

)y/[^, + lX + (. + p')|J[i+iX-(n-p')|]

118 MÉCANIQUE CÉLESTE, d'où l'on tire

Cette équation servira à déterminer les constantes arbitraires que renferme l'expression de ^, en choisissant les observations des éclipses dans lesquelles ces constantes ont eu le plus d'influence.

La durée des éclipses étant un des points les plus importants de leur théorie, nous allons examiner particulièrement les formules précédentes. La demi-largeur a de l'ombre varie avec les distances du satellite à Jupiter et de Jupiter au Soleil. En nommant D'— SD la distance de Jupiter au Soleil, D' étant sa moyenne distance, et faisant, comme ci-dessus, r = a{i — ^X), la variation de a sera

^X est toujours fort petit par rapport à -|rr5 et cette dernière quantité est Hcos(M/ 4- E — I); ainsi la variation de a est, à fort peu près,

-a^^^Hcos(M; + E-I),

d'où il suit que, dans les formules précédentes, il faut substituer au

lieu de « la fonction

|[i--j^^Hcos(M/H-E-I)],

ê, dans cette fonction , étant relatif aux moyens mouvements et aux moyennes distances du satellite à Jupiter et de Jupiter au Soleil.

T exprimant le temps que le satellite emploie à traverser la demilargeur a de l'ombre, ce temps diminue, par la variation de a, de la quantité

T^^ ^;Hcos(M/ + E-I);

mais il augmente, parce que le mouvement synodique est à fort peu

près, dans l'instant dt,

(n - M)c?^ Ti 4- X - ^^j^ H cos(M< 4- E - I) 1 , ce qui donne, pour l'accroissement de T dû à cette cause,

En négligeant donc X, comme nous l'avons fait ci-dessus, on trouvera que, en vertu des deux causes précédentes réunies, T se change dans

T| i + (-^ïT- — .— ^]Hcos(M^ + E

mais ces deux causes n'ont d'effet sensible que sur les éclipses du quatrième satellite.

Dans ces éclipses, vers les limites de ces phénomènes, les quantités de l'ordre *% que nous avons négligées sous le radical de l'expression précédente de t, peuvent devenir sensibles. Mais la seule qui ait quelque

influence est le carré de (i +p')^f77— ' qu'il aurait fallu ajouter à la quantité comprise sous ce radical. On en tiendra compte en augmentant, sous ce radical, ainsi que dans les expressions de t et de *, X de la quantité g^^.C).

Nous avons confondu l'arc v^ avec son sinus; mais on a, à très-peu près,

la valeur précédente de t' doit donc être multipliée par i + ^sinV,. Relativement au premier satellite, p, est d'environ io°, ce qui rend sensible le produit de t' par ^sinV,. Mais cette erreur est corrigée en grande partie par la supposition que nous avons faite de - = ê, car on

( * ) Bowditch corrige ce passage comme il suit : On en tiendra compte en augmentant X de la quantité g ^ sous le radical de l'expression de t', et en diminuant X de la même quantité sous le radical de l'expression de s.

a - = sin 6. Nous aurions dû, par conséquent, supposer - = ê — i sin' 6, ce qui revient à peu près à multiplier la valeur de t' par i — ^sin^ê, parce que le terme — ^ ' ' ^^ ^ — -, compris sous le radical de l'expression de /', étant une petite fraction dans la théorie du premier satellite, on peut négliger son produit par {sin'^ê. La valeur t' déterminée par la formule précédente doit donc être multipliée par i -h^sin^ç', — ^sin^ê ou par I — :i^cos2(', + 7^cos2ê. L'arc v^ différant peu de ê relativement au premier satellite, le produit de t' par -j^(cos2Ç', — cos2ê) est insensible.

La valeur de T, déterminée par un très- grand nombre d'éclipsés, donnerait la distance moyenne du satellite au centre de Jupiter, en parties du diamètre de l'équateur de cette planète, si le satellite disparaissait à l'instant où son centre entre dans l'ombre de Jupiter. En

effet, - étant ici le sinus de l'angle sous lequel la demi -largeur de

l'ombre est vue du centre de Jupiter, dans les moyennes distances de la planète au Soleil et du satellite à Jupiter, nous nommerons q cet angle, et nous aurons, par ce qui précède,

La valeur observée de T donnera celle de l'angle q, qui n'est que l'arc correspondant décrit par le satellite en vertu de son moyen mouvement synodique; on aura donc les quatre équations suivantes :

(n-p)R'/a" i-la!

(i-l-p)R'/a"' \-\ot

oT \a' l D

(n-p)R'/a"' ï-la"'\

smq, r j^sin^', sin q",

d" Chacune de ces quatre équations donne une valeur de , .^,? c'està-dire la valeur de d" en parties du rayon (i + p)R' de l'équateur de

d" Jupiter; car il y a très -peu d'incertitude sur le rapport de ^,» donné

a!" par les observations de Pound citées par Newton, et les rapports — »

— 5 —jT sont bien déterminés par le n° 20. Les différences de ces valeurs

de oC" feront connaître les erreiirs de la supposition que les satellites s'éclipsent au moment de l'entrée de leurs centres dans l'ombre. En effet, la pénombre, la grandeur et le plus ou le moins de clarté des disques, la réfraction que les rayons solaires peuvent éprouver dans l'atmosphère de Jupiter sont autant de causes d'erreur qu'il est trèsdifficile d'apprécier.

Œuvres de L. — IV.