CHAPITRE IX

DÉTERMINATION DES MASSES DES SATELLITES ET DE L APLATISSEMENT DE JUPITER.

27. Les formules du Chapitre VI renferment un grand nombre de constantes indéterminées, dont la connaissance est indispensable pour établir la théorie de chaque satellite. Les principales sont les masses des quatre satellites et l'aplatissement de Jupiter : nous allons d'abord nous en occuper. Pour en fixer la valeur, il faut cinq données de l'observation. Nous prendrons pour première donnée l'inégalité principale du premier satellite , inégalité dont le plus grand terme , d'après les recherches de Delambre, est égal à 228% 471 en temps, c'est-à-dire qu'il avance ou retarde les éclipses du satellite de cette quantité , dans son maximum. Pour le convertir en arc de cercle, il faut le multiplier par la circonférence entière ou par 4oo°, et le diviser par la durée de la révolution synodique du premier satellite , durée qui est égale à 1^,769861. On aura ainsi pour ce terme

Le plus grand terme de cette inégalité est, par le n° 21 ,

En égalant ces deux quantités, on trouve

Nous prendrons pour seconde donnée l'inégalité principale du second satellite, dont le plus grand terme, d'après les recherches de Delambre,

est égal à io59%i8 en temps. Pour le réduire en arc de cercle, il faut le multiplier par 4oo°» et le diviser par la durée de la révolution synodique du second satellite, durée qui est égale à 3J,554o65; on aura ainsi, pour ce terme,

1°, igosoôS. t

Par le n° 21, le plus grand terme de cette inégalité est

En égalant ces deux quantités , on aura

La troisième donnée dont nous ferons usage est le mouvement annuel et sidéral du périjove du quatrième satellite, mouvement qui, d'après les recherches de Delamhre, est égal à 7909", io5. Nous supposerons donc, dans la dernière des équations en g du n° 22, g= 7959", io5. Elle devient alors, en la divisant par K\

0 = 6984", 915 -2946", 95. ^-363", 10. m- io77",i5.m'-4438",87.m"

+ ioi",o3.mp+47i",99.m'p + 3oi2",37./n" ^•

Pour réduire cette équation à ne renfermer que les indéterminées [a,

m et m", il faut en éliminer les fractions r>/75 -p,-) jj,- La comparaison

d'un grand nombre d'éclipsés du troisième satellite avec la théorie m'a fait voir que l'expression de son mouvement renferme deux équations du centre très-distinctes, dont une se rapporte au périjove du quatrième satellite. Delamhre a fixé cette équation à 756'', 6o5, et il a trouvé l'équation du centre du quatrième satellite égale à 9265^,56, ce qui

donne

C'est la quatrième donnée que nous tirerons des observations, pour

déterminer les masses. L'équation précédente devient ainsi

h" tuant, pour^, m' et jj,i leurs valeurs précédentes, et en les divisant

Les trois premières équations en g du n° 22 deviennent, en y substi ant, par k'\

o = (56497", 7. »i -+- 2253o6",4-w2 — i95ooi",4-'wm") jj,

(4) { /775i",8i5 — io9oo3",2.^ — 436o8",i.m — 4i432",o.m"— i8o4",i8.m'"\ A'

"^\ - 8 1807", 5. m2+ 139953". mm" -59856", i.m"2 JF

H- i834", 5o . m" -+■ 790", 56 . m'" — 2089", 63 . mm" + 1 829", 06 . m"2,

Enfin, la cinquième donnée dont nous ferons usage est le mouvement annuel et sidéral du nœud de l'orbite du second satellite sur le plan fixe. Ce mouvement est rétrograde et égal à 1 33870", 4> d'après les dernières recherches de Delambre : c'est la valeur de p. En la substituant dans la seconde des équations du n° 23, en /?, /, /', . . . , et divisant cette équation par /', on aura

o = 1 33663", 10 — 1 09003", 20 . ja — 3 1 573", 7 1 . m ( I — -p) -i9566",65.m"(i- jj^) - i8o4",i8.m"'f i - D •

La première , la troisième et la quatrième des mêmes équations deviennent, en les divisant par /' et substituant pour/? et m' leurs valeurs

précédentes,

o = 9253", 79 + (i'245i3",3 - 553878", 76. fjt - 5io5",o5.m" - ']6f,ii.m"') j,

-h5io5"yo5.m" Y -h 767", 12. m'" -^5

( o = 36oo", 26 + 3-267", 32. m ^ +(i29852",5i-2i264",89.p. — 3267''',32.m-5886",85./ji'")^ H-5886",85.w"'j^,

o = 25o",28 4- 363", lo.mj, + 4438", 87 . m" ^ ' 4- { 1 32645", 93 - 2946", 95 . ;:x - 363", I o . m — 4438", 87 . m" ) ^ •

Pour tirer de ces équations les valeurs des neuf inconnues (x, m, m",

h h' l l" ï" ^"y TU,") jii,-> 77' F' y on observera que, les cinq dernières étant peu

considérables, on peut d'abord les supposer nulles dans les équations (2), (5) et (6). En éliminant ensuite m de ces trois équations, au moyen de sa valeur en m" donnée par l'équation (i), on aura trois équations entre p., 772" et m'", au moyen desquelles on déterminera ces trois inconnues, et par conséquent m au moyen de l'équation (i).

On substituera ces premières valeurs approchées de pi, m, m", m"

dans les équations (3) et (4), et l'on en conclura les valeurs de y^ et

h' de -pr,' On substituera encore ces mêmes valeurs approchées dans les

/ l" V" équations (7), (8) et (9), et l'on en conclura les valeurs de 77» -^5 y;

Il h' l l" l'" on substituera ensuite ces valeurs de ^5 j^,-, y, y^ y dans les équations (2), (5) et (6), qui ne renfermeront plus alors que les quatre inconnues [j., m, m", m'". On en éliminera m au moyen de l'équation (i), et, en résolvant ensuite ces équations, on aura des valeurs de [x, m", m'", et par conséquent aussi de m, plus approchées que les premières. On fera de ces secondes valeurs approchées le même usage que des premières. On continuera ainsi jusqu'à ce que les deux valeurs approchées consécutives de chaque inconnue soient extrêmement peu diffé-

rentes, ce qui aura lieu après un petit nombre d'opérations. On a trouvé ainsi

La quantité y. détermine l'aplatissement de Jupiter. Pour cela, nous observerons que l'on a, par le n° 22,

En substituant pour (x sa valeur précédente, on aura

Pour déterminer ç, nommons t la durée de la rotation de Jupiter et T celle de la révolution sidérale du quatrième satellite; on aura, à trèspeu près.

On a , par le n° 20 ,

suivant Cassini , On aura ainsi ce qui donne

/ = oJ,4i3889.

Le demi-diamètre de l'équateur de Jupiter étant pris pour l'unité, le demi-axe du pôle sera i — p, et par conséquent égal à 0,9286992. Le

rapport de l'axe du pôle à celui de l'équateur a été mesuré en différents temps. Le milieu entre les diverses mesures est 0,929, ce qui ne diffère du résultat précédent que d'une quantité insensible. Mais, si l'on considère la grande influence de la valeur de (x sur les mouvements des nœuds et des apsides des orbes des satellites, on voit que le rapport des axes de Jupiter est donné par les observations des éclipses avec plus d'exactitude que par les mesures les plus précises. L'accord de ces mesures avec le résultat de la théorie nous montre d'une manière sensible que la pesanteur vers Jupiter se compose des attractions de chacune de ses molécules, puisque la variation dans la force attractive de Jupiter, qui résulte de l'aplatissement observé de cette planète , représente exactement les mouvements des nœuds et des apsides des orbes des satellites.

Rassemblons maintenant les résultats que nous venons de trouver. Si l'on divise les valeurs de m, m', ni' et ni" par loooo, on aura, par le n° 21, les rapports des masses des satellites à celle de Jupiter, et ces rapports seront :

Premier satellite. ...'... 0,0000173281

Second satellite OjOooo^S-iSSS

Troisième satellite 0,0000884972

Quatrième satellite o , 0000426691

Le rapport des deux axes de Jupiter sera 0,9286992.

Si l'on adopte les valeurs des masses de Jupiter et de la Terre, que nous avons données dans le n"^ 21 du Livre VI, on trouve que la masse du troisième satellite est 0,027337, celle de la Terre étant prise pour unité. Nous avons trouvé, dans le n° 44 du même Livre, la masse de la

Lune égale à gô-^» ou 0,014599; ainsi la masse du troisième satellite

de Jupiter est presque double de celle de la Lune, à laquelle la masse du quatrième est presque égale. *