DES EXCENTRICITES ET DES INCLINAISONS DES ORBES DES SATELLITES

28. Après avoir déterminé l'aplatissement de Jupiter et les masses de ses satellites , nous allons évaluer en nombres les inégalités séculaires des éléments de leurs orbes. Les excentricités et les mouvements des apsides dépendent de la résolution des équations en g du n° 22. Si l'on y substitue, pour (x, m, m' , m" et m'", leurs valeurs précédentes, elles deviennent

L V'^3ooi3oo"j J L V"^3ooi3oo"j J

L V"^3ooi3oo"j J L V"^3ooi3oo'7 J

+ ri.8o5",3+ ^o8o4-,4o 1/,..^.33/,.5./r, L i'"^3ooi3oo'7 J

•=[*'-ri33-]-[*-(;f!i£).]''

L \ 3ooi3oo"/ J L \ 3ooi3oo / J

+ r^ - ^8478",7 - ^9o^^^^^o 1 /,.+ ,^o4.^^o,y^.^ L V"^3ooi3oo'V J

(4) o=i7",5o6.A+io9",67./i' + a665",86.A"+(g--8i79",i2)/i'".

Ces équations donnent une équation finale en g d'un degré fort élevé. A chacune des valeurs de g répond un système des constantes h, h' , h" et h", dans lequel trois de ces constantes sont données au moyen de la quatrième, qui reste arbitraire. Ainsi, la nature du problème ne demandant que quatre arbitraires, l'équation en g n'a que quatre racines utiles. La grande influence de l'aplatissement de Jupiter sur les mouvements des apsides des satellites rend les valeurs de g peu différentes de celles qui auraient lieu par l'effet seul de cet aplatissement : on aura ainsi une première approximation de ces valeurs en égalant à zéro les termes des équations précédentes dans lesquels se trouve l'inconnue g. Cette considération facilite extrêmement la détermination des valeurs de g, que l'on peut obtenir par une approximation prompte, de la manière suivante.

On observera d'abord que la première valeur de g, dans l'ordre des grandeurs, est peu différente de 620000"; on supposera donc

^==620000" dans les équations (2), (3) et (4), et, après les avoir di^

h' h" h'" visées par h, on en tirera les valeurs de y-j y-? -r-- On substituera

ensuite ces valeurs dans l'équation (i), et l'on mettra, pour^, 620000"

dans le diviseur (i 4- tt — ^ — jA • On aura ainsi une valeur de g plus

exacte que la valeur supposée. On fera de cette nouvelle valeur le même usage que de la première, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on trouve deux valeurs consécutives de g qui soient à très-peu près les mêmes. Un petit nombre d'essais suffira pour cet objet, et alors on

sera certain que les équations (i), (2), (3) et (4) seront satisfaites, ce

II' h" II'" que l'on vérifiera d'ailleurs en y substituant, pour^, -^5 -j-, -r-? leurs

valeurs. On trouve ainsi

g =606989", 9, h' = o,oi85a38.A, h" = — o, 0034337 . h , A'" = — 0,00001 735. A.

Les valeurs de h', h", h", relatives à cette valeur de g, étant plus petites

Œuvres de L. — IV. 1 7

que A, on peut considérer h comme l'excentricité propre du premier satellite, dont l'apside a un mouvement annuel et sidéral de 606989'', 9. La seconde valeur de g est donnée par approximation en égalant à zéro le terme de l'équation (2) qui contient g : cette valeur est à peu près de 180000". On supposera donc ^= 180000" dans les équations (i), (3) et (4), et, en les divisant par A', on en tirera les valeurs des

h h" II'" fractions 7-7» tt' -rr- On substituera ensuite ces valeurs dans Téquali' Il h ^

tion (2) divisée par h', et l'on y fera g= 180000" dans le diviseur ( I + ^ — %, — tA ' On aura ainsi une valeur plus approchée de ^, dont on fera le même usage que de la première. En continuant ainsi, on

trouve

Les valeurs de A, A", A" étant ici plus petites que A', on peut considérer A' comme l'excentricité propre du second satellite, dont l'apside a un mouvement annuel et sidéral de l'jSi^ii",'].

La troisième valeur de g est donnée par approximation en égalant à zéro le terme qui contient g dans l'équation (3). Cette valeur est à peu près de 3oooo". On supposera donc g = 3oooo" dans les équations (i), (2) et (4)» et, en les divisant par A", on en tirera les valeurs de

Il h' h'"

p5 T^ et p» que l'on substituera dans l'équation (3) divisée par A",

et l'on y fera g= 3oooo" dans le diviseur ( i -h ^ — ^ — ^j • On aura

ainsi une valeur de g plus approchée et dont on fera le même usage que de la première. En continuant ainsi, on trouve

g =29009", 8, h = 0,0-2381 II .h", h' = o , 2 1 529-20 . A", A'"= — 0,1291564. A".

Ces valeurs de A, A', h" étant plus petites que A", on peut considérer h"

comme l'excentricité propre au troisième satellite, dont l'apside a un mouvement annuel et sidéral de 29009'% 8.

Enfin, la quatrième valeur de ^ est celle que les observations donnent pour le mouvement annuel et sidéral de l'apside du quatrième satellite, et l'on a vu précédemment que, dans ce cas,

h =z O , 00'i06'2'2 . fl'" (<), /l' =: 0,01 73350. /r,

Les valeurs de A, h', h" étant ici plus petites que h'", on peut considérer h" comme l'excentricité propre au quatrième satellite, dont l'apside a un mouvement annuel et sidéral de 7959", io5.

On voit par là que chaque satellite a une excentricité qui lui est propre. Cette circonstance , qui n'a pas lieu dans la théorie des planètes, est due à l'aplatissement de Jupiter, dont l'effet sur les périjoves des satellites est très-considérable. Il ne s'agit plus maintenant que de connaître les excentricités propres à chaque satellite et les positions de leurs apsides à une époque donnée. Nous dirons, en exposant la théorie de chaque satellite, ce que les observations ont appris sur cet objet.

Considérons présentement les inclinaisons et les mouvements des nœuds des orbes des satellites. Ces éléments dépendent des équations en 1 et en /, données dans le n** 23. Rappelons ici ces équations. Les équations en 1 deviennent, en y substituant pour p., m, m', m" et m" leurs valeurs précédentes,

o = - io3",27 + 57i:i69",64.X- 9-253",8o.X'- /^6o6",3i.r- 827", ^S.r, o=-'2of,'26- 547i",i-2.A+ i33377",33.X'- i73i5",94.r- 769",65.r, o = -4i7%63- 566", 16.^- 3599", 79.?.' -4- 284-^8", 73. X"- 25 11", 25. r, o=— 974",i9— 62", 92. A- 25o",28.X'— 3928", 28.^+81 79", ii.r.

(1) D'après Bowditch le coefficient de //"dans la valeur de h est 0,0020522 au lieu de 0,002 0622. Le savant commentateur indique encore comme inexacts quelques autres nombres de ce Chapitre, mais en faisant remarquer que ces petites erreurs n'ont pas d'influence sensible sur le calcul des positions des satellites de Jupiter.

En résolvant ces équations , on trouve

X = 0,0005^879, ?i' = o,oo585888, X"= 0,02708801 , r=o,i3cï358o4.

Ces valeurs de >., X', X" et V déterminent la partie de la latitude des satellites qui dépend de l'inclinaison de l'équateur de Jupiter à son orbite. Il résulte du n° 10 que, 200° — W étant la longitude du nœud ascendant de cet équateur sur l'orbite de la planète, et 6' exprimant l'inclinaison mutuelle de ces deux plans, on a, en faisant, pour abréger, 200° — ^'=1, pour ces parties de la latitude des satellites sur

l'orbite de Jupiter,

(i-X )9'sin{t; -I),

(i-X')ô'sin((''-I), {i-r]6'sm[v"-l), {i-r')6'sm{v"'-l].

L'inclinaison 9' de l'équateur de Jupiter à son orbite et la longitude I de son nœud ascendant sur cette orbite doivent être déterminées par les observations. Delambre a trouvé, pour l'époque de 1760,

Ces valeurs de 0' et de I ne sont pas rigoureusement constantes; on a vu, dans le n° 23, que la valeur de 6' croît chaque année de o",o7o35 et que la valeur de I diminue annuellement de o",8259, relativement à un équinoxe fixe. Ces quantités sont si petites, que l'on peut se dispenser d'y avoir égard dans tout Tintervalle de temps que comprennent les observations des satellites; mais il sera facile de les faire entrer dans le calcul, si on le juge à propos.

Les équations en / du n** 23 deviennent, en y substituant pour [j., m,

rrî , m" et m!" leurs valeurs précédentes,

(6) o = 547i",i2./+(/>-i33377",33)/'+i73i5",94.r+769",65.r, ( 7 ) o = 566", 1 6 . / + 3599", 79 ./' + (/> - 28478", 73 ) Z" + 25 1 1 ", iS . l'\ (8) 0= 62",9'2./+ 25o", 28./' 4- 3928", 28. /"+(/? -8179", II)/'".

Ces quatre équations donnent une équation en p du quatrième degré. Pour en obtenir les racines, on fera usage de la méthode d'approximation que nous venons d'employer pour déterminer les valeurs de g. On aura ainsi une première valeur de p relative à l'orbe du premier satellite, en égalant à zéro le coefficient de / dans l'équation (5), ce qui donne p = 57 1269", 64. En supposant donc à p cette valeur dans les

/' /" /'" équations (6), (7) et (8), on en tirera les valeurs de -^» j) y On

substituera ces valeurs dans l'équation (5) divisée par /, et l'on aura une nouvelle valeur de p plus approchée. On fera de cette nouvelle valeur le même usage que de la première , et l'on continuera ainsi jusqu'à ce que l'on arrive à deux valeurs consécutives de p extrêmement peu différentes. On trouve ainsi, après un petit nombre d'essais,

Les valeurs de /', /" et /'" étant ici moindres que /, on peut considérer cette quantité comme exprimant l'inclinaison propre de l'orbe du premier satellite sur un plan qui, passant constamment par les nœuds de l'équateur de Jupiter, entre cet équateur et l'orbite de la planète, est incliné de l'angle \%' à ce même équateur. Si l'on substitue pour X et 6' leurs valeurs précédentes, on trouve cette inclinaison de 19", 88. La valeur précédente de p exprime alors le mouvement annuel et rétrograde des nœuds de l'orbe sur ce plan, mouvement qui, par conséquent, est de 57 1389", 32.

La seconde valeur de p est relative à l'orbe du second satellite. Elle est donnée par les observations, et l'on a vu, dans le numéro précédent, que l'on a, dans ce cas,

La troisième valeur de/> est relative à l'orbe du troisième satellite; on en aura une première valeur approchée en égalant à zéro le coefficient de /" dans l'équation (7), ce qui donne /? = 28478", 73. En substituant cette valeur dans les équations (5), (6) et (8), on en tirera les valeurs de

^» p et p-- Ces valeurs, substituées dans l'équation (7) divisée par /",

donneront une seconde valeur dep dont on fera le même usage que de la première. En continuant ainsi, on trouve

Les valeurs de /, /', /" étant ici moindres que /", cette quantité peut être considérée comme exprimant l'inclinaison propre de l'orbe du troisième satellite sur un plan qui, passant constamment par les nœuds de l'équateur de Jupiter, entre l'équateur et l'orbite de la planète, est incliné de VÔ' à cet équateur. En substituant pour Y et 6' leurs valeurs précédentes, on trouve cette inclinaison de 93o",52. Le mouvement annuel et rétrograde des nœuds de l'orbe du troisième satellite sur ce plan est de 28375% 48.

Enfin , la quatrième valeur de p est relative à l'orbe du quatrième satellite. On en aura une première valeur approchée en égalant à zéro le coefficient de /'"dans l'équation (8), ce qui donne/) = 81 79", 11. En substituant cette valeur dans les équations (5), (6) et (7), on en tirera

les valeurs de p» p> ^r ^^s valeurs, substituées dans l'équation (8)

divisée par /'", donneront une seconde valeur de p dont on fera le même usage que de la première. En continuant ainsi, on trouve

Les valeurs de /, /', /" sont ici moindres que /'"; cette quantité peut donc être considérée comme exprimant l'inclinaison propre de l'orbe du quatrième satellite sur un plan qui , passant constamment par les nœuds de l'équateur de Jupiter, entre l'équateur et l'orbite de la planète, est incliné à cet équateur de l'angle V"6'. En substituant pour V" et 6' leurs valeurs précédentes, on trouve cette inclinaison de 4546", 74. Le mouvement annuel et rétrograde des nœuds de l'orbe du quatrième satellite sur ce plan est de 7682", 64.

On voit par là que l'orbe de chaque satellite a une inclinaison qui lui est propre , circonstance qui est due à l'aplatissement de Jupiter, dont l'influence sur les mouvements des nœuds des orbes des satellites est très-considérable. Il reste maintenant à connaître les inclinaisons propres à chaque orbe et les positions des nœuds. Nous verrons bientôt ce que les observations ont appris sur cet objet.