II
on a ainsi
et par conséquent
e" — Ts" — 67°, 57282 -f- / . 2o4 1 7°, 662597 .
L'équation du centre du troisième satellite sera ainsi
i709",o5.sin(e"-Gj").
On a, par le Chapitre X, relativement à cette équation du centre,
yi"'=-o,i29i564.A";
l'équation du quatrième satellite, dépendante du périjove du troisième,
sera donc
— i709''',o5 Xo, 1291554. sin(6"'— ta"),
et par conséquent elle sera
-22o^73.sin(0'"-cj").
Si l'on nomme n la longitude moyenne de Jupiter, rapportée à l'équinoxe du printemps, l'expression de %v"' du n° 21 devient, en y substituant pour m" sa valeur trouvée dans le n° 27, et négligeant les termes dépendants de m et de /w', ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible.
n [B"-r) n2(0"-e"') n3{0"-Ô"') n4(r-ô"') 05(^-0") n(2 0"'-2ni
Si l'on considère ensuite que, par le n** 6, — iK" étant le coefficient du plus grand terme de l'équation du centre du quatrième satellite, on a, en considérant la plus grande équation du centre,
on aura, par le n" 22, l'inégalité
o,oi44449X^X9265",56.sin(0"'4-Gj"'-2n),
inégalité qui se réduit à
66",94.sin(Ô"'+7D'"-2n).
En désignant par V l'anomalie moyenne de Jupiter, comptée du périhélie, on a, par le n° 22, l'inégalité
-349",79.sinV.
Enfin, on a, par le n*' 24, l'inégalité
-49",5i.sin(^754i"H-3i'',9i988).
7541 secondes est le mouvement annuel et sidéral supposé au nœud du quatrième satellite; mais nous avons trouvé, dans le Chapitre X, que ce mouvement est un peu plus grand et égal à 7682", 64. Il en faut retrancher la variation annuelle de W, qui, par le n° 23, est égale à o",8259; l'inégalité précédente devient ainsi
-49%5i.sin(^768i",8i + 3i°,9i988).
En rassemblant toutes ces inégalités , on a , pour la longitude t»'" du quatrième satellite, comptée sur son orbite, de l'équinoxe du printemps terrestre,
(;"'=e'" + 9265",56.sin [6'" -m'") + 42",i4.sin2(0'"-cj"') + o",i'].sm3{9'"—rs"')
- 3i",36.sin [6" -9'")
- i^",i'2.sm-2{9"-9"')
- 2",95.sin3(0"-ô"')
- o",9o.sin4(e"-0"')
- o",33.sm5{9"-9"')
- 2W,73.sin {9"'-rs") + i2",99.sin {■29"'—2U)
+ 66",94.sin (0'"+ cj"'- aH)
- 349",79.sinV
- 49",5i.sin(^768i",8i + 3i°,9i988).
Considérons maintenant le mouvement en latitude. Ce mouvement dépend de l'inclinaison de l'équateur de Jupiter à son orbite et de la
longitude de son nœud ascendant à une époque donnée. Delambre a trouvé, par la discussion d'un très-grand nombre d'éclipsés, principalement du troisième et du quatrième satellite, que l'inclinaison de l'équateur à l'orbite de Jupiter était de 3°, 4352 en lySo, et qu'à la même époque la longitude de son nœud ascendant était 348°, 621 3. De plus, la précession moyenne annuelle des équinoxes étant i54",63, et la précession annuelle de l'équinoxe de Jupiter étant, par le n** 23, égale à 0^,8259, le mouvement annuel de ce second équinoxe, relativement au premier, sera i53",8; en sorte que la longitude du nœud ascendant de l'équateur de Jupiter sera
348°,6ai3 + /.i53",8.
Le terme {V"~ i)b s\n{v"'-\-W) de l'expression de la latitude s'" du quatrième satellite, trouvée dans le n" 10, deviendra ainsi
{i-X'").3°,4352.sin(v*-348°,62i3-/.i53",8);
en substituant pour V" sa valeur donnée dans le n° 28, on aura
- a°,98o5i.sin(f"'+5i'>,3787-/.i53",8).
Le terme r sin{{f"' -{- pt -h \), qui, par le n° 10, entre dans l'expression de s'", et qui est relatif à l'inclinaison propre de l'orbite du quatrième satellite sur son plan fixe, suppose la connaissance de /'" et de A. Delambre a trouvé
et en 1760
La valeur de/> relative à ce terme est, par le Chapitre X, 7682^,64; pour la rapporter à l'équinoxe mobile du printemps terrestre, il faut en retrancher i54",63; le terme précédent devient ainsi
-277i",6.sin(i/"H-83»,a986i + /.7528",oi).
La comparaison des éclipses du troisième satellite a donné à Delambre la valeur de /", propre à l'orbite du troisième satellite, égale à — 2283", 9, et la valeur de A, qui lui est relative, égale en 1760 à
208°, 32562. De plus, la valeur correspondante de p est, par le n° 28, 28375", 48; en en retranchant i54",63, on aura 28220", 85 pour le mouvement annuel tropique du nœud de l'orbite du troisième satellite sur son plan fixe. La partie de /' relative à ce mouvement est donc
— 3283", 9. sin (f" + ao8°, 3^562 h- f. 28220", 85).
Pour avoir la partie correspondante de s'", il faut multiplier le coefficient de ce terme par -p^ et cette fraction, par le Chapitre X, est égale à —0,1965650, ce qui donne dans /' le terme
448", 93 . sin [v'" + 208°, 32562 + t . 28220", 85 ) .
Delambre a trouvé la valeur de /', relative à l'inclinaison propre de l'orbite du second satellite sur son plan fixe, égale à — 5i52",2, et la valeur correspondante de A en 1750 égale à 3o3°, 76542. La valeur de/? relative à cette inclinaison est, par le n°28, i3387o",4. En en retranchant i54",63, on aura 1 3371 5", 77 pour le mouvement annuel tropique du nœud de l'orbite du second satellite sur son plan fixe. La partie de s' relative à ce mouvement est donc
— 5i52",2.sin((^'+ 303°, 76542 4- ?.i337i5",77).
Pour avoir la partie correspondante de /', il faut multiplier le coeffîcient de ce terme par ^5 et cette fraction, par le Chapitre X, est égale à — 0,000931164, ce qui donne dans /' le terme
4",8o.sin((^"'+ 3o3°, 76542 + ^ i337i5",77). Il nous reste à considérer l'inégalité de s"\
— 0,001447815. (L'- r) sin((^*- iH^pt - A),
donnée à la fin du n*' 23. Si l'on suppose que la valeur de p soit relative au déplacement de l'équateur et de l'orbite de Jupiter, on a, par le n° 10,
et par conséquent
Œuvres de L.— lY. 19
(i x'^j (L — L') s'm{v"' + pt -h A) est la latitude du satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter, en le supposant mû sur son plan fixe , et nous venons de voir que ce terme est égal à
2°,98o5i.sin(t^"'-f-5i°,3787-/.i53",8);
l'inégalité précédente de /' deviendra donc
2°,98o5i xo,ooi4478i5.sin(v'"'— îU — 5i°,3787 + ^i53",8),
et, par conséquent, elle sera
43",i5.sin(i^''-2U — 5i°,3787 + f.i53",8).
Parmi les autres termes renfermés dans l'expression
. -o,ooi4478i5.(L'-r)sin(f"'-2U-/)/-A),
le seul qui soit sensible est celui qui est relatif à l'inclinaison propre de l'orbite du satellite sur son plan fixe. Dans ce cas, L' est nul, puisque la position de l'orbite de Jupiter n'est point sensiblement altérée par l'action des satellites. On a, de plus, par ce qui précède,
/"'sin(t;''+p/ + A) = — 277i'%6.sin(t/"+83",a986i + ^7528",oi);
le terme précédent devient ainsi
-4",oi.sin(i'"'-'2U — 83°, 29861 — /. 7528", oi).
En rassemblant ces différents termes de la latitude /' du quatrième satellite, au-dessus de l'orbite de Jupiter, on aura
- 4",oi.s
n(i/"+ 5i°,3787 -t. 153^8 ) n(v"'+ 830,29861+/. 7528",oi) n ( u'" -h 208», 32562 + t . 28220", 85 ) n(v"'+3o3°, 76542 + ^13371 5", 77) „((;"' 2U-5i«,3787 -ht. i53",8 ) n(p"'-2U -83», 29861 -/.7528'',oi).
Dans les éclipses du satellite et dans celles de Jupiter par ce satellite, ces expressions de v'" et de /' se simplifient; car on peut y supposer 211
et 2U égaux à 26'" et à sç»'", et alors on a dans ces phénomènes
v"'=9"'-hgig8%6i.sm {0"'-rs"') + 4a",i4.sin2(ô"'-cj"') + o",'27.sin3(0"'-c/")
- 3i",36.sin [9" - 6'" )
- i^",i'2.sm'2{9"-6"']
- 2",95.sin3(ô"-0"')
- o",9o.sin4(9"-0"')
- o", 33 . sin 5 ( 9" - 9'" ) - i-xo", 73 . sin ( 9'" - ts" ]
- 349", 79. sin V
- 49",5i.sin(?.768i",8i + 3i°,9i988),
s'" = 20,97621. sin {t^"'+ 5i»,3787 —t. i53",8 ) -2767^,6 .sin (/' 4- 83°, 29861 + i. 7528",oi) + 448", 93. sin ((^'"+ 208°, 32562 + t. 28220", 85) + 4", 80. sin ((^'"+3o3», 76542 + ^.1 3371 5", 77).
Cette expression de s'" donne l'explication d'un phénomène singulier que les observations ont présenté relativement à l'inclinaison de l'orbe du quatrième satellite et au mouvement de ses nœuds. L'inclinaison sur l'orbite de Jupiter a paru à peu près constante depuis 1680 jusque vers 1760, et à peu près égale à 2^,7. Les nœuds sur cette orbite ont eu, dans cet intervalle, un mouvement direct d'environ 8 minutes par année. L'inclinaison, depuis 1760, a augmenté d'une quantité trèssensible. On aura l'inclinaison de l'orbite et la position de ses nœuds à une époque déterminée, en donnant à / la valeur qui convient à cette époque. Mettons l'expression précédente de s'" sous cette forme,
Asini'"'— Bcosv'".
On déterminera A et B en faisant successivement v'" = 100° et v"'= 200°
■p dans l'expression de /'; -r sera la tangente de la longitude du nœud
et yfS? -h B' sera l'inclinaison de l'orbite. Cela posé, si l'on fait succes-
sivement ^ = — 70, / = — 3o, ^ = 10, ce qui répond aux années 1680, 1 720 et 1 760, on aura
Inclinaison. Longitude du nœud.
Si l'on représente l'inclinaison par la formule 2°,75i5 H- N/ -h P/^, t étant ici un nombre d'années juliennes écoulées depuis 1680, on aura, en comparant cette formule aux trois inclinaisons précédentes,
N = — o°,ooio35, P = o", 0000068 1^5.
Le minimum de la formule répond à ^= 76,963, ou à Tannée 1756. La moyenne des trois inclinaisons précédentes est 2°, 7283; le mouvement moyen annuel du nœud, depuis 1680 jusqu'à 1760, est de 7', 88. Ces résultats sont entièrement conformes à ceux que les astronomes ont trouvés par les éclipses observées dans cet intervalle. Mais, depuis 1760, l'inclinaison a varié d'une quantité très-sensible. La valeur précédente de /'donne, en 1800, cette inclinaison égale à 2*^,8657, et la longitude du nœud égale à 355°, 881 7. Les observations, en confirmant ces résultats, nous forcent ainsi de renoncer à l'hypothèse d'une inclinaison constante, et il eût été difficile, sans le secours de la théorie, de connaître la loi de ses variations.
Pour avoir la durée des éclipses du quatrième satellite, nous reprendrons la formule du n° 26 :
i c"> de'" i\ s'" 1 r
Dans cette formule, T est la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds. Delambre a trouvé, par un milieu entre toutes les observations, cette demi-durée égale à 9942". Mais, depuis l'invention des lunettes achromatiques, la demi-durée lui paraît moindre de 52 secondes, par la discussion de toutes les éclipses observées depuis cette époque. Nous supposerons donc T = 9890". ê est le moyen
mouvement synodique du satellite, pendant le temps T, et l'on a ê = 236i3". La valeur de p' est, par le n° 26, égale à
On a vu précédemment que p = 0,07130082; de là on tire
dv'" La valeur de X est, par le n° 26, à très-peu près égale à -^ — i , et,
par conséquent, en ne considérant que le plus grand terme de v'", on aura
Xz=0, 0145543. C0S(e"'-5î"').
On a vu encore, dans le n° 26, que la valeur de T doit être multipliée par le facteur
H étant ici l'excentricité de Forbite de Jupiter. Ce facteur devient ainsi
I — 0,0006101 .cosV
Nommons "C, la valeur de - — ~-^ 5 on aura
Ç= 1, 35-2380. sin(i^"'+ 5i%3787 -t. i53%8 ) — 0,1 25759. sin(t'"'+ 83°,2986i+;. 7528", 01) -I- o, 020399. sin((^"' H- 208°, 32562 H- t. 28220", 85) 4-o,ooo2i8.sin(t'"'+ 3o3°, 76542 + ;.i337i5", 77).
Cela posé, si l'on néglige le carré de X, ce qui réduit la quantité sous le radical de l'expression de ^ à i H- X — ^^, si l'on néglige les produits
de X et de H par -pir"» on aura
/= - 366",832 ^ dz989o".(T - X - 0,0006101. ces V) y/i+X-Ç^.
Il est facile d'en conclure les instants de l'immersion et de l'émersion
du satellite, en observant que t, par le n° 26, exprime le temps écoulé
depuis l'instant de la conjonction du satellite projeté sur l'orbite de
Jupiter, instant que l'on détermine au moyen des Tables de Jupiter et
des expressions précédentes de v'" et de /'. La durée entière de l'éclipsé
sera
i978o".{i- X — 0,0006101. cosV) v/i + X — Ç2.
