DES SATELLITES DE SATURNE
35. La théorie des satellites de Saturne est très-imparfaite, parce que nous manquons d'observations suffisantes pour en déterminer les éléments. L'impossibilité où l'on a été jusqu'ici d'observer leurs éclipses et la difficulté de mesurer leurs élongations à Saturne n'ont permis de connaître encore avec quelque précision que les durées de leurs révolutions et leurs distances moyennes. Il reste même sur ce dernier point une incertitude qui rend un peu douteuse la valeur qui en résulte pour la masse de cette planète. Ignorant donc l'ellipticité des orbites de tous ces corps, il est impossible de donner la théorie des perturbations qu'ils éprouvent; mais la position constante de ces orbites dans le plan de l'anneau, à l'exception de la dernière, qui s'en écarte sensiblement, est un phénomène digne de l'attention des géomètres et des astronomes. Il est analogue à celui dont nous avons donné l'explication dans le dernier Chapitre du Livre V, et qui consiste dans la permanence des anneaux de Saturne dans un même plan. Nous avons déjà observé, dans l'endroit cité, que ces deux phénomènes dépendent d'une même cause, savoir de l'aplatissement de Saturne, dont l'action maintient les anneaux et les satellites dans le plan de son équateur. Mais nous allons ici développer la raison pour laquelle l'orbite du dernier satellite s'écarte de ce plan d'une quantité très-sensible.
Reprenons l'équation (3) du n° 2,
Si l'on néglige l'ellipticité de l'orbite, on sl h^ = a et r = a. De plus, si l'on prend pour plan fixe celui de l'orbite primitive du satellite, s est de l'ordre des forces perturbatrices; en négligeant donc le carré de ces
forces, on pourra négliger les produits de * et de -r- par ces forces.
L'équation précédente devient ainsi
o= J-— -\- s -\- a -r—' dv^ as
Supposons que cette équation se rapporte au dernier satellite de Saturne, et déterminons la valeur de R qui lui est relative. On a par le n° 1 , en vertu de l'action seule du Soleil,
Prenons pour axe des x la ligne menée du centre de Saturne au nœud ascendant de l'orbite primitive du satellite sur l'orbite de Saturne. SoitX l'inclinaison mutuelle de ces deux orbites. En nommant X' et Y' les coordonnées du Soleil, rapportées à l'orbite de Saturne, on aura
Y = Y'cosX, Z = — Y'sinX;
mais on a
X'^DcosU,
Y'r^DsinU, X =^acosv, jr=z a sinv, z = as;
on aura donc, en ne conservant dans a-y- que les termes multipliés par
le sinus et le cosinus de f, les seuls dont dépend le mouvement séculaire de l'orbite,
dR 3Sa3 ....
a-5- = — îvr sinAcos/smf.
as aD*
Pour déterminer la partie de a-r- qui dépend de la non-sphéricité de Saturne, nous observerons que, par le n"* 1, la partie de R qui lui est
relative est égale à
M étant la masse de Saturne et B son rayon moyen : nous prendrons l'un et l'autre pour unité. Si l'on nomme y l'inclinaison de l'orbite primitive sur le plan de l'anneau et W la distance de son nœud descendant sur ce plan à son nœud ascendant sur l'orbite de Saturne, le premier de ces nœuds étant supposé plus avancé que le second suivant l'ordre des signes, v — W sera la distance du satellite au nœud descendant de son orbite avec l'anneau, et l'on trouve facilement que, si l'on néglige le carré de s, on aura
\^ = sin^y sin2(t^— W) — 25 siny cosy sinl^- — W),
ce qui donne
«-^— = ^^ ,,^' smy cosvsinU'— W).
os a^
Il nous reste à considérer l'action des anneaux et des six premiers satellites. Si l'on considère un satellite intérieur dont le rayon soit r' et dont m' soit la masse, son orbite étant supposée dans le plan de l'anneau ou de l'équateur de Saturne, on aura, par le n*^ 1, relativement à ce satellite,
m'[xx' -^yy -^ zz') m^
"■'' \[x'-xY + [f-ïY + (^' - A^'i
Prenons ici pour axe des x l'intersection du plan de l'orbite primitive avec celui de l'équateur de Saturne, ou de l'anneau; nous aurons
X = rcos{v — W), j = r sin{i'— W), z = rs, x'-- r'cosv', y=z r'cosy sint^', z' = r' siny sint^',
ç' étant la distance angulaire du satellite m' au nœud descendant de
du.
l'orbite primitive sur le plan de l'anneau. Si dans a -^ on change r et r'
en a et a', si l'on rejette les termes qui ne dépendent point du sinus ou du cosinus de v et ceux qui sont multipliés par s, on aura
^R m'a^a' sinysinv'
[«2 j- a'2 — laa' cos{i> — W) cosi''— 2«a'cosy sin(f — W) sint^']^
Supposons a' peu considérable par rapport à a, comme cela a lieu relativement aux satellites intérieurs et aux divers points des anneaux; on
a'* aura, en négligeant les termes de l'ordre — »
a -5- = 5 smy cosy sin((' — W).
En considérant donc les anneaux comme la réunion d'une infinité de satellites, on aura, en vertu de leur action et de celle des satellites intérieurs à l'orbite du dernier satellite,
a -r- = — Bsiny cosy sin{f — ^),
B étant ici un coefficient constant dépendant de la masse et de la constitution des anneaux et des satellites intérieurs. Soit
l'équation différentielle en s deviendra
0= -r-j H-4-4-ciKsinXcosXsinv — aK'sinycosy sin(p — ^f),
d'où l'on tire, en intégrant et négligeant les constantes arbitraires, comme on le peut ici,
s = Kv sinXcosXcosf — KV siny cosy cos(f — W).
Concevons maintenant, par le centre de Saturne, un plan passant
par les nœuds de son équateur avec son orbite, entre ces deux derniers plans. Soit ô l'angle qu'il forme avec le plan de cet équateur. Nommons, de plus, Z3 l'inclinaison de l'orbite du satellite à ce nouveau plan, et T l'arc de cette orbite compris entre le nœud ascendant de la même orbite sur ce plan et son nœud ascendant sur l'orbite de Saturne, le premier de ces nœuds étant supposé moins avancé que le second, suivant l'ordre des signes. Enfin, soit n la distance du premier de ces nœuds au nœud ascendant de l'équateur de Saturne avec son orbite, supposé plus avancé que le premier en longitude. Cela posé, si l'on fait varier w de Scî, n étant supposé constant, il en résultera pour s une valeur égale à 8t5sin((' + r). Si, cy étant supposé constant, on fait varier n de SlI, il en résultera pour s une valeur égale à §nsincycos(ç^ -hF); on aura donc, en faisant tout varier à la fois,
5 1= ôsj sin ( V + r) + on sincT ces ( t^ + r).
En égalant cette valeur à la précédente, on aura
\ (i) ôcjsin(v + r)H-ôn sincTCOs(c^H-r) = K(^sin^cos^cosp — KVsiny cosy cos((^— "'F);
si l'on ne porte l'approximation que jusqu'à la première puissance de v,
on a
. dxD ^„ du
dTn=^ V -j- •> oII = t- -T- ; av av
en substituant, dans le second membre de l'équation (i), cos(^' — T-i-r) au lieu de cosç^ et cos((^ — r — W + r) au lieu de q,os[v — W), et développant par rapport aux sinus et cosinus de v-\-T, la comparaison de leurs coefficients avec ceux du premier membre donnera les deux équations
-T- =KsinXcosX sinT — K'sinycosy sin(¥-t- T] -T- sinGî== KsinXcosAcosr — K'siny cosy cos(M^ + F)
Si l'on nomme A l'inclinaison de l'équateur de Saturne à son orbite,
OEuvres de L.— l\ 23
les formules trigonométriques donnent
sin l sin r = sin ( A — 0 ) sinll,
sin^cosr= sincTCOs(A — 6) + cosGJsin(A — 9) cosll, cosX — coscrcos(A — 9) — smGJsin(A — 9) cosII, siny sin(^ + r) = sinôsinU, sinycos(YH- T) = — sin nr ces 9 + coscrsinô cosII, cosy= CCS GJ ces 9 + sin CT sin 0 ces II.
En faisant donc
Ksin(A — 0)cos(A — 9) = K'sm9cos9,
ce qui donne pour déterminer 6 l'équation ^
- Ksin^A tang 19 = ^, — ^^ T >
° K+KcosîA
on aura
-^ =: — ^[K sin2(A-0) + K'sin2 5] sin© sin ail,
//fi
-^= [Kcos2(A-0) + K'cos2 0]cosGT
— [K sin2{A — 0) + K' sin2 0]coscjcos2n. Soit donc
ç = {(K + K' - v/K2 + 2KK'cos2A + K'^),
p = ^(K + K'+ v^K2 + 2KK'cos2A + K'*) - ^;
on aura
-j- = — ^smrîTsmîII,
dv d'où l'on tire
dW
-j- = p Costa — gcoscjeosïll,
dvs ces CI ^c^HsincilI
sincj ~~ p — ^cosîll
En intégrant et regardant /> et y comme constants, on aura
sinro= •)
\lp — gcos^n
Jetant une constante arbitraire; l'expression précédente de -j- donnera
donc
du
dv =
\J[p — q cos-2n) [p — b^ — q cosiU]
équation différentielle dont l'intégration dépend de la rectification des sections coniques. On peut la mettre sous une forme plus simple, en
faisant
tangn^y/^^langn';
elle devient alors
dW
dv^
i/»2 fl2 * / I ^L^ ^-^ cos^n'
Cette équation donne, en intégrant, l'expression de II' en v. On aura ensuite, par le n*^ 22 du Livre II,
n = n'-êsin'2n'+ -sin4n'- -^sin6n' + . ., ê étant déterminé par l'équation
36. Pour appliquer des nombres à ces formules, il faut connaître les
valeurs de K et de K'. Celle de K est facile à déterminer, car l'attrac-
S tion ^ du Soleil sur Saturne est égale à la force centrifuge due au
mouvement de Saturne dans son orbite, et cette force est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon; en nommant donc T' la durée de la révolution sidérale de Saturne et x la demi-circonférence dont le rayon
est l'unité, la force centrifuge sera ^'^tj-; en l'égalant à |^> on aura
S /jt:'^
Si l'on nomme T la durée de la révolution du dernier satellite, on aura pareillement
on aura donc
ai— T2 '
3 Sa» 3 Ta
Les observations donnent
T= 79^,3ci96,
d'où l'on tire
La valeur de K' est égale à - — ^ + f B. Dans cette expression, le rayon
moyen du sphéroïde de Saturne est pris pour unité. L'aplatissement p de cette planète est inconnu, ainsi que la quantité B, qui dépend des masses des anneaux et des six premiers satellites; il est donc impossible de déterminer exactement la valeur de K'. Mais on peut déterminer d'une manière approchée la partie de cette valeur qui dépend de l'aplatissement de Saturne. Pour cela, nommons/ la durée de la rotation de Saturne; on aura
Les observations donnent
/ = oJ,4*28, « = 59,154,
d'où l'on tire
Supposons que l'aplatissement de la Terre soit à la valeur de «p qui lui correspond comme l'aplatissement de Saturne est à la valeur correspondante, de <p : on a vu, dans le n° 43 du Livre III, que cette proportion a
lieu à peu près pour Jupiter, comparé à la Terre. <p est égal à —^ pour la Terre; en supposant donc l'aplatissement de cette planète j^g, conformément aux expériences du pendule, on aura
ainsi, en n'ayant égard qu'à la partie de K' dépendante de cette quantité, on aura
