T'2 K-K335Ïi^=°''f^'903.K
On ne doit pas supposer à K' une plus petite valeur, car elle est augmentée par l'action des satellites intérieurs et de l'anneau.
A étant, par les observations, égal à 33°, 3333, cette valeur de K' donne
Les observations faites par Bernard à Marseille, en 1787, donnent
d'où j'ai conclu
et par conséquent
^ = 7i»,354, tu = i6°,g6i ,
On a ensuite à fort peu près, par les formules précédentes,
n^C + .v//>^-^^-6V-[€ + ^^^,J'^,^^,^jsin2[C + Pv//>^-^^-6v],
ce qui donne, en réduisant en nombres et déterminant la constante arbitraire G de manière que n soit égal à 37°, 789 en 1787,
n = 38°,72i + i.944",8o5 — 9937",7.sin2(38'',72i + i.944",8o5), i étant le nombre des années juliennes écoulées depuis 1787.
Ces résultats sont subordonnés à l'exactitude des observations citées, et surtout au rapport précédent de K' à K. Ce dernier élément dépend de tant d'éléments divers et si difficiles à connaître, qu'il est presque impossible de le déterminer a /?n'ori. On pourra le connaître « /?o5/mon", lorsque l'observation aura donné exactement le mouvement annuel de l'orbite du satellite sur l'orbite de Saturne. En effet, l'analyse précédente donne, en supposant que le plan fixe auquel nous avons rapporté l'orbite du satellite est l'orbite même de Saturne, ce qui change ct en X et rend T nul,
-T- = — K'siny cosy sin¥,
-T- = K cosX — K — \ ^ ' cosM^.
av sinA
En y substituant les valeurs précédentes de y, W et >., on trouve
i4o",o3'-jT- pour la diminution annuelle de >. en 1787, ce qui donne
— 59", 074 pour cette diminution, en adoptant le rapport précédent de K' à K. On trouve ensuite, pour le mouvement annuel du nœud sur
Torbite,
ce qui donne —618% 81 pour ce mouvement, dans la même hypothèse. Jusqu'ici les observations sont trop incertaines pour conclure de leur
comparaison avec la formule précédente le rapport -jt-^ elles suffisent
uniquement à faire voir que le nœud de l'orbite sur l'orbite de la planète est effectivement rétrograde.
Le rapport ^ est, comme on l'a vu, réciproque à la puissance cinquième du demi-axe de l'orbite du satellite ou de sa distance moyenne à Saturne, du moins en tant qu'il dépend de l'action de cette planète. Ainsi, pour le sixième ou avant-dernier satellite, il faut multiplier la
valeur précédente de ^ par (,^'' V) pour avoir la valeur de -^ qui
SECONDE PARTIE. - LIVRE VllI. 183
lui est relative. On aura ainsi
ce qui donne
L'inclinaison du plan fixe que nous avons considéré à l'équateur de Saturne est donc insensible pour nous, et, comme le satellite se meut à très-peu près sur ce plan si l'arbitraire b est nulle ou très-petite, on voit que l'action de Saturne peut maintenir à fort peu près dans un même plan l'orbite de l'avant-dernier satellite, et à plus forte raison celles des satellites plus intérieurs et des anneaux de Saturne, ce qui est conforme à ce que nous avons démontré dans le dernier Chapitre du Livre V.
Cependant, si la masse du dernier satellite était — de celle de Saturne, le plan fixe sur lequel se meut l'orbite de l'avant-dernier satellite serait assez incliné au plan des anneaux pour que le satellite s'écartât de ce dernier plan d'une quantité sensible. Pour le faire voir, nous observerons que le plan fixe sur lequel nous concevons l'orbite du satellite en mouvement peut se déterminer en considérant le satellite mû sur ce plan et retenu sur lui par la destruction mutuelle des forces qui tendent à l'en écarter. Reprenons, en effet, l'expression de s, trouvée précédemment,
5 = Kt'sinXcosXcost^ — KVsiny cosy 003(4^ — ¥).
Le plan fixe sur lequel se meut l'orbite du dernier satellite étant incliné de l'angle 6 à l'équateur de Saturne, si l'on conçoit l'orbite du satellite couchée sur ce plan, on aura
partant
s = t'COSi^[Ksin(A — ô) ces (A — d) — K'sinScosô];
s sera donc nul, et le satellite restera sur le plan fixe si l'on a
Ksin(A — 0)cos(A — 5) = K'sinÔcos0;
c'est l'équation par laquelle nous avons déterminé précédemment l'inclinaison 6 du plan fixe à l'équateur.
Considérons maintenant l'avant-dernier satellite, et supposons que a, V, s, G, K et K' se rapportent à lui, et que m' et 6' se rapportent au dernier satellite. Soit 6' l'inclinaison à l'équateur du plan fixe du dernier satellite, et concevons que les deux satellites se meuvent sur leurs plans fixes. Il est aisé de voir, par ce qui précède, que l'action du dernier satellite introduit dans l'expression de s le terme
*^^ ^ 5 V sin(ô'— 9) cos{9' — 9] cost';
ainsi l'on a
Ksin(A-0)cos(A-e)-K'sinôcos04-^ ^sm[9' -9)cos[9'-9)Y
Le plan fixe relatif à l'avant-dernier satellite sera donc déterminé par l'équation
o = Ksin(A-0)cos(A-9)-K'sin0cos0 4-^ — ""^ ^'^ ^ sin [9'- 9) ces [9'- 9],
d'où l'on tire
K smaA H — g sin^i
tang2 0 =
K'+Kcos2A + — gcos-iô'
Les observations donnent
en faisant donc, comme précédemment,
0'=24»,oo83, !|^ = 88,754,
et observant que
en supposant m' =::^, on trouve
Cette inclinaison est trop considérable pour avoir échappé aux observations, qui n'ont fait reconnaître aucune déviation sensible de l'avantdernier satellite du plan de l'anneau. On ne peut donc pas supposer à m' une plus grande valeur; il y a même lieu de croire que la véritable valeur est plus petite encore, ce qui paraîtra bien vraisemblable si l'on considère que la masse du plus gros satellite de Jupiter n'est pas Timô de celle de la planète et que le dernier satellite de Saturne est très-difficile à apercevoir.
37. Les plans fixes auxquels nous rapportons les orbites des deux derniers satellites de Saturne sont analogues à ceux auxquels nous avons rapporté les orbites de la Lune et des satellites de Jupiter, dans le Chapitre II du Livre VII et dans le n° 9 de ce Livre. Ces plans passent constamment par les nœuds de l'équateur et de l'orbite de Saturne, entre ces deux derniers plans; les orbites des satellites se meuvent sur eux, en y conservant une inclinaison à peu près constante, et leurs nœuds ont un mouvement rétrograde presque uniforme. Mais ces plans ne sont pas rigoureusement fixes; leur position varie par les mouvements de l'équateur et de l'orbite de Saturne. Déterminons ces mouvements et leur influence sur les mouvements des orbites des satellites.
Soit 6, l'inclinaison de l'équateur de Saturne à un plan fixe très-peu incliné à l'orbite de cette planète. Soit W^ la distance de son nœud descendant sur ce plan à un axe fixe pris sur ce même plan et plus avancé que ce nœud suivant l'ordre des signes. Soient encore, comme dans le n° 4 du Livre V, A, B, C les moments d'inertie du sphéroïde de Saturne par rapport à ses axes principaux, et nt le mouvement angulaire de
OEuyres de L. — IV. 1^
rotation de ce sphéroïde; on aura, par le numéro cité,
dd, dt
dt
sinô,
îC-A-B
~ 2nC
P et P' sont déterminés par les équations
P =:^[(Y2-Z2)sin0, cos0,+YZ(cos2Ô, -sin^ô,)],
P =^ (XYsinô, -t-XZcose,).
Dans ces équations, Lest la masse de l'astre attirant; r est sa distance au centre de Saturne; X, Y, Z sont ses trois coordonnées, les deux premières étant dans le plan fixe, et l'axe des X, où l'on fixe l'origine de l'angle W,, étant dirigé vers le nœud descendant de l'équateur de Saturne.
Nommons présentement 1 l'inclinaison de l'orbite de L au plan fixe, et A la longitude de son nœud ascendant, comptée du nœud descendant de l'équateur de Saturne. Soient X', Y', Z' les coordonnées de L, rapportées à Taxe mené du centre de Saturne au premier de ces nœuds, et à deux autres axes perpendiculaires à celui-ci, l'un dans le plan fixe et l'autre perpendiculaire à ce plan. En nommant v la distance angulaire de l'astre L à son nœud ascendant, on aura
X'=: rcost', Y' = rcosXsinv, Z' = r sinAsini'.
On aura ensuite
partant.
X = X'cosA-Y'sinA, Y = X'sinA + Y'cosA, Z =Z';
X= r CCS A ces i' — rcosl sinAsini', Y = r sin A ces v -h r cosX ces A sin v, Z = r sin> sinv.
En négligeant donc les termes périodiques dépendants de l'angle v, on
aura
Y2 — Z2= — (cosn-sinncos2A).
XY= — sin2> sinA cosA,
XZ = sin^cosX sinA,
YZ = -^ sinXcosX ces A;
on aura ainsi
ddt A + B — 2C 3L
dt ~ 4nC r3
s'm9i sin^XsinA cosA — cos^i sinXcosXsinA),
dWi . 2C — A — B 3Lrsin9,cos9,(cos2>— sinncos^A) "|
dt '~~ 4^*^ r3 L + (cos^^i — sin^Ôi) sinXcosXcosAj
Il résulte d'abord de ces expressions que les satellites dont les orbites sont situées dans le plan de l'équateur de Saturne n'ont aucune influence sur les valeurs de -— et de -jf-'-, car on a, relativement à ces
corps, X = ô^ et A = 200", ce qui rend nulles ces valeurs. Les anneaux pouvant être considérés comme la réunion d'une infinité de satellites et étant situés dans le plan de l'équateur, ils ne peuvent influer sur ses mouvements; l'équateur de Saturne ne peut donc être sensiblement déplacé que par l'action du dernier satellite et du Soleil. Relativement à ce satellite, on avait en 1787, en prenant pour plan fixe celui de l'orbe de Saturne à cette époque,
On a ensuite
mt étant ici le moyen mouvement du satellite et L étant sa masse, celle
de Saturne étant prise pour unité. La valeur de p est inconnue; nous supposerons, conformément au n° 23, qu'elle est à sa valeur correspondante pour la Terre comme le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur de Saturne est à ce même rapport sur la Terre. Nous supposerons ensuite que l'on a pour la Terre
aC — A — B o,oo5iQ3a3 ., . „^^
7\ — ^ rof o' 31 + 61=2, 566,
et comme on a, par ce qui précède,
9 = 0,16597, et que pour la Terre 9 = ^, on aura pour Saturne
rr: o,oo582383 X 289 X 0,16597.
On trouve ainsi, pour la variation annuelle —~- de W,.
On a vu précédemment que L est au-dessous de ^; —j^ est donc au
plus de 32 secondes, et il y a tout lieu de croire qu'il est fort au-dessous et qu'il n'excède pas 2 ou 3 secondes.
La valeur de —r--, due à l'action du Soleil, est à très-peu près égale
à o", 878, et, par conséquent, elle est insensible.
Il suit de là que le déplacement de l'équateur de Saturne sur l'orbite de cette planète est beaucoup plus lent que celui de l'orbite du dernier satellite, et il est facile de s'assurer, par les formules des Livres II et VII, que le déplacement de l'orbite de Saturne, rapporté à son équateur, est pareillement beaucoup moindre que celui de l'orbite de ce satellite. Cela posé, reprenons l'équation du n** 35,
</gtcosgi qdlX'&vCiiW.
sincj ~ p — q Q.Q's.iW.
Cette équation donne, en négligeant le carré de ^,
sinnj = 6( I 4- -^ ces -2 II —
n- ^ fcos-iUdi)
b étant une constante arbitraire. Ainsi, en n'ayant point égard aux quantités périodiques dépendantes de l'angle 211, l'inclinaison xs de l'orbite du satellite sur le plan intermédiaire entre l'orbite et l'équateur de Saturne reste toujours la même malgré les variations de ce plan, ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé pour la Lune dans le Livre VII, n° 3. L'équateur de Saturne entraine dans son mouvement le plan intermédiaire et l'orbite du satellite, qui conserve toujours sur ce plan la même inclinaison moyenne, avec un mouvement rétrograde presque uniforme, mais cependant un peu variable, à raison des variations de l'inclinaison respective de l'équateur et de l'orbite de Saturne.
