Livre II, on a
, xdz — zdx „ ydz — zdy
ce qui donne
'--= — dt — ' "= = dt
., xdSz-\-èxdz — zdèx — $zdx
ÔC' =: ^^ ,
. „^ydèz -+- èfdz — z dày — èzdy
Si l'on substitue, pour %x, Sj et Sz, respectivement ^m' x -{- m' x' , {m'y + m'y, {m'z -t- m'z', on aura
. , « , , ,xdz' + x'dz — zdx' — z'dx èc' = I me -+■ m' — -r >
* ,, •> f „ , yd^' -^ y'dz — zdy' — z'dy
ôc" =ilm'c" + m' ^ —-- -, ^ ^ •
** dt
dz Observons maintenant que z, -r-t c' et c" sont ou nuls ou de l'ordre des
forces perturbatrices; en négligeant donc le carré de ces forces, on aura
, xdz' — z'dx
ôc' = m'
dt
„ , ydz' — z'dy
de =■ m ■ j )
at
équations d'où l'on tirera, par le n° 3, les variations des inclinaisons de
l'orbite et du nœud, dues à la partie de R indépendante de R', dans la partie de l'orbite que l'on considère.
8. On aura les variations des éléments de l'orbite, relatives à la partie R' de R, par les formules des n°^ 3 et 4, en changeant R en R'
dans les expressions de dh, dl, d--, de , de", et en les intégrant par des
quadratures. Dans la portion supérieure de l'orbite, R' étant fort petit, les valeurs de ces intégrales seront aussi très-petites; mais dans cette portion, où il est avantageux de partager ainsi R en deux parties, on peut déterminer, sans quadratures et par des séries convergentes, les variations des éléments de l'orbite correspondantes à R'. Reprenons pour cela l'expression de R' du n** 2. En la développant en série, on aura
, m'r"^ „ , f^^'-t-rr'+zz'— •5-r'2)2 [xx' -[-yy -hzz' —^r'A^
R = — — Ini ^ — : %m — ...;
or on a
^ = rcosc, j=rsint', z = o,
I + e ces V — m
on a ensuite x\ y', z' en fonction de sinus et de cosinus de v' et de ses multiples. En substituant R' au lieu de R dans les expressions différentielles des éléments de l'orbite, en développant ces expressions et en observant que, par le n° 16 du Livre II,
r^dv = dt s/a[i — e'-^),
r'^dv'=dt'^a'{i-e'-^),
la partie de chacune de ces expressions différentielles correspondante à R' sera exprimée par une suite de termes de la forme
Hc?/cos(zV-H/'v' + A),
i et i' étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et H et A étant
des constantes. L'intégrale de ce terme est
TT ï
const. -f- — sin(H'H- z'c' + A) — H-/c?t'COs(/f + /V + A).
Si l'on substitue dans ce dernier terme, pour dv, sa valeur
r'^dv' sja[\ — e'^\
il devient
H- "^ ^ ' I -— CCS if 4-lV -I- A).
Ce terme est beaucoup plus petit que l'intégrale
ILfdv'cos[iv-h /Vh- A)
lorsque — est une petite fraction; il est encore diminué par le fac-
teur -X^===r; car a(i — e) est la distance périhélie de la comète, et
cette distance est beaucoup plus petite que a\ relativement aux trois planètes supérieures. L'intégrale
VLfdv' cos ( iv + i'v' + h)
est donc à fort peu près égale à const. -h — sin(iV-i-/V + A). Pour
avoir une valeur encore plus approchée de cette intégrale , il faut retrancher de sa première valeur l'intégrale
H y , ' \ — ;r— cos(/v + iV' + A .
En substituant, au lieu de -r> sa valeur
a'^jî — e'^)^[i -{- e cosjv — T3)y a^[i — e'^)'^[i -f-e'cos(f' — cj')J=^'
et observant que e' est très-petit, on développera cette intégrale dans une suite de termes de la forme
Wfdv' sin{sv-hs'v' ■+■ \),
et l'on intégrera chacun de ces termes par la méthode que nous venons d'exposer. On aura ainsi d'une manière fort convergente la valeur de
il fdv' sin ( iV + i V + A ) ,
et, par conséquent, on aura par des formules analytiques les variations des éléments dans la partie supérieure de l'orbite.
9. On pourra donc, par les formules précédentes, calculer les perturbations que la comète de 1759 a éprouvées dans ses révolutions successives et prédire son prochain retour; on procédera de la manière suivante. On commencera par discuter de nouveau, et avec le plus grand soin, les observations de cette comète dans ses deux apparitions de 1682 et de 1759, et l'on déterminera les éléments de l'orbite à ces deux époques, en la supposant une ellipse dont le grand axe répond à la durée de la révolution de 1682 à 1759. En partant ensuite des éléments de 1682, on déterminera, parce qui précède, les altérations des éléments et de l'anomalie moyenne dans les trois premiers quarts de l'anomalie excentrique, ou depuis u = o jusqu'à u = Sog**. Pour le dernier quart, il est préférable de remonter de l'époque de 1759 à l'extrémité de ce quart, ce qui revient à fixer l'origine de l'angle u au périhélie de 17^9 et à remonter vers 1682, en faisant u négatif et en partant des éléments et de l'époque observés en 1759. Dans le premier et le dernier quart de l'ellipse, la comète est plus près des planètes perturbatrices, et surtout de Jupiter, la plus considérable de toutes, que dans le second et le troisième quart; il importe donc d'avoir alors, le plus exactement qu'il est possible, sa position et sa distance à ces planètes, dont les attractions peuvent changer d'un grand nombre de degrés leurs élongations à la comète. Pour plus d'exactitude encore, on pourra calculer de nouveau les altérations des éléments et de l'anomalie moyenne depuis 1682, en employant le grand axe correspondant à cette époque et que l'approximation précédente aura fait connaître. On pourra ensuite, à 25 degrés d'anomalie excentrique, employer les éléments de la nouvelle ellipse qui correspond à cette anomalie et calcuhîr
par son moyen les altérations qu'elle éprouve depuis 25 jusqu'à 5o degrés d'anomalie. On rectifiera de nouveau l'ellipse à cette époque, et l'on calculera dans cette ellipse ainsi rectifiée les perturbations depuis 5o jusqu'à loo degrés. On rectifiera de la même manière l'ellipse fondamentale à loo et à 200 degrés, et l'on déterminera les perturbations jusqu'à 3oo degrés d'anomalie excentrique. En partant ensuite des éléments et de l'époque de 1759, et rectifiant l'ellipse à — 25'*, — 5o° et — 100°, on aura les altérations dans le dernier quart de l'anomalie excentrique. On aura donc ainsi, par une seconde approximation et avec beaucoup d'exactitude, les perturbations de la comète depuis 1682 jusqu'en 1759. On fera les mêmes opérations depuis 1759 jusqu'au prochain périhélie; mais, comme l'instant du passage à ce dernier point est inconnu, lorsqu'on sera parvenu à 3oo degrés on rectifiera l'ellipse de 25 en 25 degrés jusqu'à 4oO' Ces calculs, faits avec soin, doivent donner, à quelques jours près, l'instant du passage de la comète à son prochain périhélie; la seule incertitude qui puisse exister est relative à la masse de la planète Uranus, et l'observation de ce passage sera l'un des moyens les plus propres à la déterminer.
