TRÈS-PRÈS DES PLANÈTES

10. Considérons maintenant le cas où la comète approche très-près (le la planète perturbatrice. Si cette planète est Jupiter, la comète peut en éprouver une action beaucoup plus grande que de la part du Soleil, et cette action peut entièrement changer les éléments de son orbite. (]e cas singulier, qui paraît avoir eu lieu relativement à la première comète observée en J770, mérite une attention particulière.

On a, par le Chapitre précédent, les six équations suivantes :

d'^x , , X m'x' tn'ix' — x)

ir'—r P

""^ df^ +(i + m'

. x' mx 1 ^ + 73""

/ my

, z' ^ mz lr'3 ■ ,.3

)Osons

X — x'=zXi, X-

-/-rn

'^:^zr.

Œuvres de L. — IV.

les six équations précédentes donneront les trois suivantes :

/ d-Xi (m -h m' ï\ ,( \

,^^ f d^Ty (m + m! i\ , , .

d^Zi { m -¥■ m' I

dt^ \ P ry \r^ r'3

Dans ces équations, a?, , j,,s, sont les coordonnées de la comète, rapportées au centre de gravité de la planète, et /est la distance mutuelle de ces corps. Si l'on suppose /assez petit pour que ^ nj^ l'emporte considérablement sur les termes dépendants de l'action du Soleil, on pourra, du moins dans une première approximation, négliger ces derniers termes, et alors les trois équations précédentes donneront le mouvement elliptique de m autour de m'. La différence des actions du Soleil sur la comète et la planète est une force perturbatrice de ce

m' mouvement; elle est, relativement à l'action ^ de la planète sur la

comète, de l'ordre -4-^- Tant que cette dernière quantité sera peu considérable, on pourra, sans erreur sensible, supposer elliptique le mouvement relatif de la comète autour de la planète. Lorsqu'au contraire

m' cette quantité sera fort grande, on pourra négliger ^ relativement

à — et considérer le mouvement de la comète autour du Soleil comme

elliptique. Ce n'est donc qu'entre ces deux états qu'il peut y avoir de l'incertitude; mais, vu la rapidité du mouvement de la comète, l'intervalle de temps qui sépare ces deux états est si petit, que l'on peut, sans erreur sensible, y considérer à volonté le mouvement de la comète ou comme elliptique autour de la planète ou comme elliptique autour du Soleil. Cependant, pour fixer avec quelque précision la limite en deçà de laquelle on peut considérer le mouvement de la comète comme elliptique autour de la planète et au delà de laquelle on peut l'envisager comme elliptique autour du Soleil, concevons la comète

située entre la planète et le Soleil. L'action du Soleil sur la comète sera — -, celle de la planète sur la comète sera r-r-zr^]~2'-> ^^ ^^^* ^^^"^ que, au delà de la limite que nous supposons à la sphère d'activité de la planète, — l'emporte beaucoup sur , , ,,• La différence des actions

du Soleil sur la comète et la planète est — — ^5 ou à très-peu près ~ ^ -, en deçà de la limite, cette quantité doit être fort petite rela-

tivement à ,—,— n^ • On satisfera à ces deux conditions si l'on suppose

>2 moyen proportionnel entre — et 2 — ^j ce qui donne, pour le rayon r' — r de la sphère d'activité de la planète,

lm'2

rv/^m'^.

I/erreur sera d'autant moindre que la masse de la planète sera plus petite. On peut même beaucoup augmenter le rayon de cette sphère sans qu'il en résulte d'erreur sensible. En effet, si l'on reprend la première des équations (Q),

d^Xt [m -^ m')xi x x' o

on voit que le terme — 7^ n'ajoute à la valeur de x^ que la double

intégrale ^û?/^ ( ^ ~ ^)' ^^' cette double intégrale est très-petite lors-

qu'elle ne s'étend qu'à une valeur de t peu considérable; car la fonc-

tion -7^ ^ est fort petite, x' et r' différant très-peu de x et de r. On

peut donc, dans le calcul des perturbations d'une comète qui approche très-près d'une planète, supposer à la planète une sphère d'activité dans laquelle le mouvement relatif de la comète n'est soumis qu'à l'attraction de la planète et au delà de laquelle le mouvement absolu de la comète autour du Soleil n'est soumis qu'à l'action du Soleil.

11. Développons cette hypothèse, et déterminons les nouveaux éléments de l'orbite de la comète au sortir de la sphère d'attraction de la planète. Pour cela, commençons par déterminer les éléments de l'orbite relative de la comète autour de la planète dans cette sphère d'attraction. On a, par le n'* 18 du Livre II, les six équations suivantes:

Xi dr\ — Yi dxi , Xidz\ — Z\dxK , Y\dz\ — Zi dr* ''^'~~~di ' ^'^ di ~' ^'^ dt '

, m'Xi X\ [dx^, -+- dz^ ) Xx dxi dy'\ z^dzi dyx

yi, __ ^ + __ ,

. m'x\ Xf («y? -+■ dz^) X* ^X* ^"^< z,dz,dx,

* ~ 7~"^ dF^ df^ dF^ '

m' 2 m' dx^ -\- dy^f + dz^

Cx,c^yc\,h^,l^,a^ étant des constantes arbitraires. Si l'on nomme 0 la longitude du nœud ascendant de l'orbite relative, comptée de l'axe des a?,, et 9 l'inclinaison de cette orbite sur le plan des x^ et des/,, on aura, par le n° 19 du Livre II,

tango = -f, iangcp= ^— ' *- y

c^, c',, c\ étant donnés par ce qui précède, en fonction des valeurs de

^i»7«» ^«» -j-h -^' -iT à l'entrée de la comète dans la sphère d'activité

de la planète, valeurs qui sont supposées connues; on connaîtra donc ainsi les valeurs de 6 et de 9.

Si l'on nomme ensuite I la longitude de la projection du périhélie, on aura, par le même numéro.

langI=-^5

a, étant le demi-grand axe, il sera donné par ce qui précède. On a ensuite, par le numéro cité.

ce qui donne l'excentricité <?,. Ainsi Ton aura tous les éléments de l'orbite relative de la comète.

Rapportons maintenant les coordonnées a?, et j, à la ligne des nœuds. Soient x^, y\, z\ ces nouvelles coordonnées; nous aurons

^', = ^, cos 9 -+- ji sin 9, y'\ = j, COS0 — Xi sin 9,

Rapportons ensuite les coordonnées a)\ et y\ au plan même de l'orbite relative. Soient cc\ et y, les nouvelles coordonnées; nous aurons

/ Il

/, =/;cos9,

Z\^=f\ sin o .

Enfin, rapportons les coordonnées x\ et y, au grand axe, et supposons que CT soit la longitude du périhélie comptée de la ligne des nœuds; nous aurons, en nommant x"[ etj" les nouvelles coordonnées,

x"[=^ x'\ cosGT +y, sincj, jT =^t" cosgj — x\ sin 57.

Ces diverses équations donnent

r7cos9 — Xi (cos5îCOSÔcos9 — sincûJ sin 9) 4- y-i (cosc3 sin9 COS9 + sincr cos9),

f"[ CCS cp = j( ( ces (57 ces 9 — sio 57 sin Q ces cp ) — Xi (cosc7 sin9 4- sin57 cosô coscp).

On aura donc ainsi les valeurs de x"[ et /'" relatives à l'entrée de la comète dans la sphère d'activité de la planète. On aura pareillement,

. . dx" dy'"

en diiFérentiant ces équations, les valeurs de —r~ et de -j^ relatives à

cette entrée.

Les équations précédentes donnent encore

1Xt== ^7(coscTCOS0 — sinro sinQcosç) — yi{s'mw cosô -+- cosGî sinô coscp), ^^f \ ^* ~ j^{coscTCOS0cos9 — sinnj sin0)

i + :r7{sincT cosôcosa -f- cosGTsinô),

\ 2, = y" coscjsincp + ^7sinGJsin(jp.

Si l'on désigne par x^y y^^ x\, ... les valeurs de a?,, j,, x\, ... à l'entrée de la comète dans la sphère d'activité de la planète, et si l'on désigne par les mêmes lettres surmontées de deux traits les mêmes quantités à sa sortie, on aura évidemment

dt~~ dt ^ dt ~ dt '

Au moyen de ces équations, on aura d'abord les valeurs de x"[, y[,

dx'" dyi /> .• j 1 j dx^ dyt dz, , ,, . ,

—ry-j ~ en fonction des valeurs de a?,, j,, z^, —,-■, -^y, -r- a 1 entrée

dans la sphère d'activité, et l'on en conclura, par les équations (S) et

leurs différentielles, les valeurs de x^, y^, z^, -^> -^, ~ à la sortie,

en fonction de leurs valeurs à l'entrée. En ajoutant ensuite à ces

valeurs les valeurs de x\ y, z', -^i —-^ -j- correspondantes à la

sortie, on aura les valeurs correspondantes de x, y, z, ~i -J-y -j-» et

par conséquent on aura, au moyen des formules des n"* 18 et 19 du Livre II, les nouveaux éléments de l'orbite de la comète. Pour avoir les valeurs de x' ,y', z' et de leurs différentielles au sortir de la sphère d'activité, il faut connaître le temps que la comète emploie à traverser cette sphère, et cela est facile par les formules du mouvement elliptique, exposées dans le Chapitre III du Livre II.

12. Dans le cas où les variations %x, ^y^ tz sont très-petites, comme cela a eu lieu par rapport au mouvement de la comète de 1770 troublé

par la Terre, il sera beaucoup plus simple de calculer les altérations des éléments de l'orbite par les formules du Chapitre précédent. Considérons la plus importante de ces variations, celle du moyen mouvement de la comète. On a, par ce qui précède,

/ o 7T> o ,x'dx + Y'dr+z'dz , ix'— x]dx -\- {r'—r)dY+[z'— z)dz

Dans l'intervalle de temps pendant lequel l'action de la Terre est sensible, on peut considérer les mouvements de la planète et de la comète comme rectilignes. Soit donc

%.^ - " .ît: = A+a^, j=:BH-ê^, 2=C+y/,

on aura, en rî^ayant égard qu'au terme divisé par/% le seul qui puisse être sensible à cause de la petitesse de/,

, 3anm'(F+H0^^ dn--=^— ^ —3)

équation dans laquelle on doit observer que l'on a

On aura ainsi

'an I -

MH-'2N/-4-L?2)2

L'intégrale doit être prise pour tout le temps durant lequel l'action de la planète sur la comète est sensible. Avant et après, la distance yjW-h 2Nt -\-Lt'^ de la comète à la planète est considérable et rend

insensibles les éléments de l'intégrale précédente, en sorte qu'elle peut être prise depuis / = — oc jusqu'à / = qo , ce qui donne

6m'nafFL^-HN]

on = 7=.— •

(N2-ML)v/L

Si l'on nomme/' la plus courte distance de la comète à la planète, on

aura