CHAPITRE II
DES REFRACTIONS TERRESTRES.
11. La réfraction terrestre n'est en elle-même que la partie de la réfraction astronomique comprise entre l'origine de la courbe du rayon de lumière et le point où cette courbe rencontre l'objet terrestre. Cette partie étant toujours peu considérable relativement à la réfraction entière, cela donne lieu à des simplifications que nous allons exposer.
Lorsque l'élévation de l'objet est très-petite par rapport à sa distance, au lieu de donner l'expression de la réfraction en fonction de cette élévation, il est beaucoup plus exact et plus simple de l'avoir en fonction de l'angle formé par les rayons terrestres menés du centre de la Terre à l'observateur et à l'objet, angle que nous avons désigné par f dans le n** 1. 11 résulte de ce numéro et du n° 3 que l'on a
dv =
adr . ^ I 4K, ,
îK </p , —T -j-rdv
L'élévation de l'objet étant supposée fort petite, on a, à très-peu près,
i étant un coefficient constant qui dépend de la diminution de la chaleur des couches de l'atmosphère à mesure qu'elles sont plus élevées. Cette valeur de p donne, à fort peu près,
S6 est la somme des réfractions terrestres à l'objet et à l'observateur, et cette somme est le double de la réfraction à l'un ou à l'autre de ces points, parce que la réfraction y est à très-peu près la même; la réfraction terrestre, pour des objets peu élevés, est donc, à fort peu près,
K , , ia
Dans le cas d'une température uniforme dans l'atmosphère, i=\; on aurait donc alors, à la température de la glace fondante et à 0^,76 de hauteur du baromètre, la réfraction terrestre égale à
Si l'on adopte la loi dont nous avons fait usage dans le n° 7, on aura à très-peu près, à de petites hauteurs,
P= (p)(i — "-^86,93), u=^s — îf. 0,20 187, ce qui donne
d'où l'on tire la réfraction terrestre égale à
c'est la valeur qui me paraît devoir être adoptée, à moins que par des observations directes on n'ait déterminé la valeur de i. Cette dernière valeur est très-variable; il peut même arriver que, par des circonstances particulières, la densité des couches atmosphériques près de la surface de la Terre, loin d'aller en diminuant, aille au contraire en croissant,
et alors la réfraction, au lieu d'élever les objets, les abaisse; aussi les observateurs ont trouvé de très-grandes variétés dans les réfractions terrestres.
On n'a besoin de connaître les réfractions que pour corriger les hauteurs observées des objets; mais on peut déterminer directement ces hauteurs en intégrant l'expression précédente de dv. En effet, si l'on y
suppose p = (p) ( i— ^J5 et qu'ensuite on l'intègre depuis ^ = o, on trouvera
i/cos20 + ^«sin^e — ^ (p)y * ~" ^^^^
sine . „ ^K, > ia
sin^e-— {p)y
d'où l'on tire
av^ r "î K , . m "l . ^
as=^ — I T p -,—r-TK H- (IV CO10,
a L f^ /sm-6J
as étant à très-peu près la hauteur de l'objet observé au-dessus du niveau de l'observateur. Il est facile de s'assurer que cette expression coïncide avec celle que l'on aurait en corrigeant la hauteur au moyen de l'expression précédente de la réfraction.
Pour déterminer as, quelle que soit la hauteur apparente 0, il faut intégrer l'expression de dv, et cette intégration suppose la connaissance de la loi suivant laquelle la densité des couches de l'atmosphère diminue. En partant de celle que nous avons adoptée dans le n°7 , on pourra facilement intégrer l'expression de dv par l'analyse exposée dans ce numéro et en conclure la valeur de s en fonction de v. Mais, à des hauteurs apparentes un peu grandes, on peut obtenir cette valeur indépendamment de toute hypothèse sur la constitution de l'atmosphère, comme on a vu, dans le n° 8, que la réfraction astronomique en est alors indépendante.
Si l'on suppose - = i — 5, on aura
, d$ sin 0
dv
\/cos20 — aa ' - A +•25(1 — Î5)sm20
En réduisant en série, on aura
e^iiiLl^...L
cos2© ;
dv = dsiangQ) i — s(i — 1 5) tangue + |*2 tgng^i
ce qui donne, en intégrant depuis ^ = o, *
^r , „^ 52(9. sin20 4-i) ^^1 a langer fpdsl
Soit as' la hauteur calculée sans avoir égard à la réfraction, et désignons par a^s la correction due à la réfraction, en sorte que s = s'—'^s. La réfraction n'altère point la valeur de ç, parce que, élevant les objets dans le plan d'un vertical, un point vu des deux extrémités d'une base est aperçu sur la commune intersection des deux verticaux qui passent par ces extrémités et par l'objet même; or cette commune intersection est un rayon de la Terre; la valeur de ç reste donc la même que lorsqu'on n'a point égard à la réfraction. Ainsi, en substituant, pour s, s'— h, et négligeant les produits s^s et a^^, on aura
cos-'e L (p) J
d'où l'on tire
- oc r , afpdsl
aàs = — as ^^-r— -,
cos^0 1 (p) J
agfpds est, par le n° 5, la pression de l'atmosphère à la station de l'observateur, moins sa pression à l'objet observé. Soit s la différence des hauteurs du baromètre à ces deux points, le mercure y étant réduit à zéro de température, et supposons que (p) réponde à cette température et à o™, 76 de hauteur du baromètre ; on aura
afpds e/
Il faut faire varier cette valeur en raison du rapport de la densité supposée pour (p) à sa densité véritable; mais, comme la valeur de a
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varie en raison inverse, il en résulte que, s restant le même, la valeur de —j-^ — restera toujours la même. En substituant pour a sa valeur donnée dans le n° 4, on aura
Pour avoir Tinclinaison de l'horizon visuel avec l'horizon vrai, lorsqu'on s'élève au-dessus du niveau de la mer, il faut connaître les valeurs de
—j- dans les diverses parties de la trajectoire du rayon lumineux qui
rase la surface de la mer. L'expression précédente de dv donne, lorsque
• dr r j ^^ f ^
ou, à très-peu près,
EL rdv
dr On doit observer que -j- est la tangente de l'angle de dépression de
l'horizon visuel à la hauteur as, tangente que l'on peut confondre avec l'angle lui-même.
Si la hauteur est peu considérable, on aura, pour l'expression de cet angle,
1S\ I — OC-j
