COS
Si l'on nomme E la valeur de s au zénith, où cos0 = i, on aura
logE étant égal à — Q(p)/, et (p)/ étant proportionnel à la hauteur observée du baromètre, il est clair que logE et généralement les logarithmes de l'intensité de la lumière des astres sont proportionnels à cette hauteur. Il est visible, d'ailleurs, que les deux logarithmes précédents peuvent être supposés tabulaires dans la dernière équation.
On aura facilement la valeur de E, en comparant les intensités de la lumière du même astre, par exemple, de la Lune, à deux hauteurs différentes. Bouguer a trouvé de cette manière que la lumière d'un astre vu au zénith se réduit, après avoir traversé l'atmosphère, à o,8i23. Le logarithme tabulaire de ce nombre est — 0,0902836; en divisant donc ce logarithme par le sinus de la hauteur apparente d'un astre, on aura le logarithme de l'intensité de sa lumière.
Très-près de l'horizon, la diminution de la lumière dépend, ainsi que la réfraction, de la constitution de l'atmosphère. En adoptant l'hypothèse que nous avons donnée dans le n° 7, on aura facilement, par l'analyse exposée dans ce numéro, la valeur correspondante de l'intensité de la lumière. Mais on pourra, sans crainte d'erreur sensible, employer l'hypothèse d'une température uniforme. Dans cette hypothèse, on a ^dr= — ld^\ en nommant donc d^ l'élément de la réfraction, on aura, à très-peu près,
dz HJg e ~ sin6
H étant une constante. Les logarithmes des intensités de la lumière sont donc alors comme les réfractions astronomiques divisées par les cosinus des hauteurs apparentes do l'astre.
On a vu précédemment qu'à la hauteur apparente de 5o degrés la réfraction est de 186^,728, et que, dans l'hypothèse d'une température uniforme, elle est, à l'horizon, de 7390", 71 ; d'où il est facile de con-
dure que l'extinction de la lumière à l'horizon est -^ On pourra,
par ces formules, déterminer la quantité de lumière que la Lune reçoit encore dans ses éclipses, au moyen des réfractions que les rayons du Soleil éprouvent en traversant l'atmosphère terrestre, et de leur extinction dans cette atmosphère.
13. Suivant les expériences de Bouguer, la lumière du disque solaire est moins intense vers ses bords qu'à son centre. A une distance des bords égale au quart du demi-diamètre, il a trouvé l'intensité de la lumière plus petite qu'au centre, dans le rapport de 35 à 48. Cependant une portion du disque du Soleil, transportée par la rotation de cet astre, du centre vers les bords du disque, doit y paraître avec une lumière d'autant plus vive qu'elle est aperçue sous un plus petit angle ; car il est naturel de penser que chaque point de la surface du Soleil renvoie une lumière égale dans tous les sens. Si l'on nomme 9 l'arc de grand cercle de la surface du Soleil, compris entre un point lumineux et le centre du disque apparent, le rayon du Soleil étant pris pour unité, une portion très-petite a de la surface, transportée à la distance 6 du centre du disque, y paraîtra réduite à l'espace acosO; l'intensité de sa lumière sera donc augmentée dans le rapport de l'unité à cos6. Au contraire, elle paraît diminuée. Cette différence s'explique trèssimplement, au moyen d'une atmosphère qui enveloppe le Soleil. On a vu, dans le numéro précédent, que l'intensité de la lumière qui en
résulte est égale à c "'"\ c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Ainsi l'intensité de la lumière étant c~-^ au centre du disque, celle qui subsiste, à la distance du bord égale au quart du
demi-diamètre, sera — ^ c """, sinO étant éasii à 1; on aura donc
Cette équation détermine/, et l'on trouve
ce qui donne
c'est-à-dire que la lumière du centre du disque solaire est réduite, par son extinction dans son atmosphère, à 0,240686. Une colonne d'air à zéro de température, et à la pression de 0^,76 de hauteur du baromètre, devrait avoir 54622 mètres de hauteur, pour éteindre ainsi la lumière. Telle serait donc la hauteur de l'atmosphère solaire, réduite à la densité précédente, si, à densités égales, elle éteignait la lumière comme l'air de notre atmosphère.
On voit ainsi que le Soleil nous paraîtrait beaucoup plus lumineux sans l'atmosphère qui l'environne. Pour déterminer de combien sa
lumière est affaiblie, nous observerons que, en prenant pour unité son
/ demi-diamètre et faisant cos6 = ^, sa lumière totale est ^Tzjdxc "",
l'intégrale étant prise depuis 57 = 0 jusqu'à a7 = i. A la vérité, l'in-
tensité de la lumière n'est très-sensiblement proportionnelle à c ^ que depuis 6 = 0 jusqu'à G = 88°; au delà, elle suit une autre loi. Mais le sinus de 88 degrés diffère si peu de l'unité, que l'on peut négliger la portion du disque solaire qui répond à cette différence, ou du moins y supposer, comme dans les autres parties du disque, l'intensité de la
lumière proportionnelle à c ^. En prenant donc pour unité la lumière
du Soleil, dans le cas où il serait dépouillé de son atmosphère, et où
/ l'on aurait par conséquent /= o, on aura Jdxc ' pour sa lumière affaiblie par son atmosphère.
Pour avoir cette intégrale, supposons ^ = ^ et 2 = -— -, elle devient
/dz c~'^ — — 5 mais alors l'intégrale doit être prise depuis z = co
jusqu'à z = -• On a
dz c-^ c-^ / 1.2 1.2.3 1.-2.3.A
-~-r- — — ^ ( I \ 5 ^-- -f- . . . + const.
qz^ qz^ \ z z^ z^
L'intégrale devant être prise depuis 2 = 00 jusqu'à s = ' > la constante
est nulle, et par conséquent l'intégrale devient
qc~f[i — I .iq + 1.2. 3^2 — 1.2.3.4^' + ' • •)•
On réduira cette série en fraction continue par la méthode exposée dans le n° 5. Pour cela, supposons
nous aurons
'' dt
du, ^>„ , -
q -j-[i — 0 'i.qu[i — t) — M + i = o.
Considérons u comme la fonction génératrice de j^, en sorte que Ton ait
le coefficient de ^''"', dans l'équation différentielle précédente, donnera, en l'égalant à zéro, l'équation aux différences finies
qryr+\— {iqr + i)xr+ qrxr-i = o-,
dans le cas de r= i, ce coefficient donnera
ce qui rentre dans l'équation précédente, en y supposant /o = -• Maintenant, l'équation aux différences finies en j,. donne
Xr-i iqr-hi Xr+\
Supposons
nous aurons
ou
Xr
qr
Tr
qr
+ Zr'
I + rq
+ Zr+i
rq
I 4- Zr+\
d'où l'on tire
iq
partant,
2fl
mais la comparaison des deux expressions précédentes de u donne yi^=\ — i.2g4-i.3.3^2 i.2.3.4^' + «'.;
de plus jo= S partant,
qc~f (i — \ .iq 4-i.2.3g2. . .)=: — 2.
iq
C'est la valeur de l'intégrale Jdxc ', prise depuis x = o jusqu'à ^ = i . Soit
et formons une suite de fractions dont les deux premières soient - et ■> et telles qu'en nommant N^'^^ le numérateur de la fraction r'*""^,
et D^'^^ son dénominateur, on ait
alors la valeur de la fraction continue
sera comprise entre les deux fractions ^tt^j et Y^^r+\)' ^^ trouve ainsi
/ Jdxc "" égal à un douzième à fort peu près, d'où il suit que le Soleil,
dépouillé de son atmosphère, nous paraîtrait douze fois plus lumineux.
Au reste, ces résultats sont subordonnés à l'expérience de Bouguer,
qui mérite d'être répétée plusieurs fois avec beaucoup de soin, sur
divers points du disque solaire.
OPMvret de L. — IV.
