CHAPITRE V
DE LA CHUTE DES CORPS QUI TOMBENT d'uNE GRANDE HAUTEUR.
15. Un corps qui, partant de l'état de repos, tombe d'une grande hauteur, s'éloigne sensiblement de la verticale, en vertu du mouvement de rotation de la Terre; cet écart, bien observé, est donc propre à manifester ce mouvement. Quoique la rotation de la Terre soit maintenant établie avec toute la certitude que les sciences physiques comportent, cependant une preuve directe de ce phénomène doit intéresser les géomètres et les astronomes. Afin que l'on puisse comparer sur ce point la théorie aux observations, je vais donner ici l'expression de la déviation du corps à l'orient de la verticale, quelles que soient la figure de la Terre et la résistance de l'air; je ferai voir, de plus, que sa déviation est nulle vers l'équateur.
Soient ce, y, z les trois coordonnées rectangles du corps, l'origine de ces coordonnées étant au centre de la Terre, supposée immobile, et l'axe des X étant l'axe de rotation de cette planète. Soient /- le rayon mené de ce centre au point d'où le corps tombe, G l'angle que r forme avec l'axe de rotation, et cj l'angle que le plan passant par r et par l'axe de la Terre forme avec le plan passant par le même axe et par l'un des axes principaux" de la Terre, situés dans le plan de son équateur. En nommant X, Y, Z les coordonnées du point d'où le corps tombe, on aura
X=rcos0,
Y = r sin 9 cos{ nt -{- cr),
Z = rsin 9 sin [nt -h rs),
nt -+-VS étant l'angle que le plan passant par r et par l'axe de la Terre
forme avec le plan des x et des y, en sorte que nt est le mouvement angulaire de rotation de la Terre, et / exprime le temps.
Supposons ensuite que, relativement au corps dans sa chute, r se change en r — a^, 6 dans 6 + aw, et ct dans ts -\- a.v; on aura
x^ [r— as] cos{9 -\- au),
j^= [r — as) sin [9 -+- au) cos [nt -h td + av),
z = (r— as) sin [Q -{- au) s'm [nt -i- rs -h av).
Nommons V la somme de toutes les molécules du sphéroïde terrestre, divisées par leurs distances au corps attiré. Les forces dont ce corps est animé par l'attraction de ces molécules sont, parallèlement aux
axes des x, des y et des z, -r— > j-' -3-' comme il résulte du n° 11 du Livre IL Pour avoir égard à la résistance de l'air, nous pouvons représenter par (p(a5, a-^J l'expression de cette résistance, lorsque le
corps, en tombant, part de l'état du repos; car la vitesse du corps, relative à l'air considéré comme immobile, étant considérablement plus grande dans le sens de r que dans le sens perpendiculaire à r, ainsi qu'on le verra bientôt, l'expression de cette vitesse relative est
ds .
à très-peu près a-i-- Si l'on fait, pour plus de simplicité, r=i, la
vitesse relative du corps dans le sens de 6 est a ^> et dans le sens de cr,
elle est égale à a^sin9;'la résistance de l'air sera donc
dans le sens de r
dans le sens de 6
"^V'^^dt) ds
—ds ''dt'
°"dt
ds\ '^{'"''''dt) Ju^ ds dt
dans le sens de gj ^^ j a. -j- sin Q.
ds dt
""Jt
( ds\
Nommons S le facteur — ^ — -j- — --^ on aura, par le principe des vitesses
""dt
virtuelles,
— Ô^ -r— — àr -T ÔZ -rr-
ox "^ oy oz
at dt at
la caractéristique différentielle § se rapportant aux coordonnées r, 6 et cT, dont x, y, z sont fonctions. En substituant pour x, j, z leurs valeurs précédentes, on a, en négligeant les termes de l'ordre a^,
/ 5 / d^s dv . .. ^ds
lo:=or[ — x^— — -îocnr-Y-sm^U — ah -r
\ dt^ dt dt
.^^fd^u dv . . , c^ du
-{- r^oB\ oc-j— nan^r sin9cos9 H- aS^-
\ dt^ dt dt
o 5. I «^ • o ri du . . , dt c^dv . ., ]
+ r2ôcj\ (x-T-r sm^O -h 7.<xn-r- sm 9 cos 9 l-aS j^sm^ô /
\ â?^^ 6?^ r dt /
-§Y——$[{r—ccs]^s'm^{9-hccu)'\.
L'équilibre de la couche d'air dans laquelle le corps se trouve donne , par le n° 35 du Livre I,
(î) o = ÔV+ — (5[(r-a5)2sin2(0 + aM)],
pourvu que la valeur de Sr soit assujettie à la surface de la couche de niveau, où la pression est constante, par le n° 22 du Livre IIL Soit, à cette surface,
y étant fonction de ô, de cy et de a, a étant constant pour la même
Œuvres de L.— \\. 38
couche. Si Ton désigne par Q la fonction
l'équation {2) devient
en ajoutant cette équation à l'équation (i), on aura
0 = dr [-- X -i— — ia.nr-r sin^S — aS -r \ al' dt dt
d^u dv . . - ^-, du
a -V—- — ixn-r- sm9cos9 + aS -7-
dt^ dt dt
o 5> • /^ / - - . /i du . ds s\x\Q r. dv . ^
-f- r2dcjsin0 a -^-rSin 9 + 2an-r- cos9 — 2an -7 haS-j-sinô
dt dt r dt i
Si l'on égale à zéro les coefficients des variations Sr, S0 et Sct, et si l'on
observe que — -t- exprime, par le n° 36 du Livre III, la pesanteur,
que nous désignerons par g, on aura, en prenant pour unité le rayon r, ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible, les trois équations suivantes :
d^s dv . ^. r, ds
'' = ''dl^^^°'''dt^'''^-^''^dt-^*
d^u dv . ^ . „ du dr
0 = oc -5— 2xn -j-smd cosy + aS -7- — e- — »
dt^ dt dt ° ad
d'^v . . du . ds . ^ ^dv . . S ày
dt^ dt dt dt sm9 dis
L'inspection de ces équations fait voir que af est, relativement à au et XV, du même ordre que l'unité relativement à -^ ou -:-• De plus,
a-^ est du même ordre que gt-^^ et par conséquent 2a/z .-sin^O est de l'ordre g^^-f- Si l'on prend pour unité de temps la seconde déci-
maie ou la cent- millième partie du jour moyen, n exprime le petit angle décrit dans une seconde par la rotation de la Terre ; nt est ce même angle multiplié par le nombre de secondes que dure la chute du corps. Ce nombre est toujours assez petit pour que le produit nt soit une très-petite fraction, que l'on peut négliger relativement à l'unité;
on peut donc supprimer le terme ^a/î-^- sin'^ô de la première des équations précédentes, et le terme — 2a/i^sinôcosO de la seconde de ces équations. On peut, par une raison semblable, supprimer le terme :2a/i^cos6 de la troisième de ces équations, qui se réduisent ainsi aux suivantes :
d'^u „du dy
d^v . . ds . ^ ^dv . . S àr
o = a-j— smO — 2(xn-^smQ -+- oc9-f-sin9 ^ -^'
dt^ dt dt sin9 ors
S étant une fonction de (x.s et de a -^-î la première de ces équations donne a^ en fonction du temps /. Si l'on fait
dy
od
on satisfera à la seconde de ces équations, parce que ^ et ^ peuvent
être supposés constants pendant la durée du mouvement, vu la petitesse de la hauteur d'où le corps tombe , relativement au rayon terrestre. Cette manière de satisfaire à la seconde équation est la seule qui
convienne à la question présente, dans laquelle m et -tt sont nuls, ainsi
ds , , . .
que ^ et -J-) à l'origine du mouvement. Maintenant, si l'on imagine
un fil à plomb de la longueur ols, suspendu au point d'où le corps
tombe, il s'écartera, au midi du rayon r, de la quantité a*^» et par
conséquent de la quantité aw; le corps, en tombant, est donc toujours sur les parallèles des points de la verticale qui sont à la même hauteur que lui; il n'éprouve ainsi aucune déviation sensible vers le midi de cette ligne.
Pour intégrer la troisième équation, nous ferons
et nous aurons
. . as dr ,
sinô OTJS
d'^v' ^ dv' ds .
Le corps s'écarte à l'est du rayon r de la quantité aç^sinO, ou ■^—^ j- -\- cLv'\ mais le fil à plomb s'écarte à l'est de ce rayon de la quantité -r— 0 -pj y^v' est donc l'écart du corps à l'est de la verticale.
Supposons maintenant la résistance de l'air proportionnelle au carré
ds de la vitesse, en sorte que S = ^^-'Tt^ m étant un coefficient qui dépend
de la figure du corps et de la densité de l'air, densité variable à raison
de la hauteur, mais qui peut être ici supposée constante sans erreur
sensible; on aura
d^s ^ ds"^
Pour intégrer cette équation, nous ferons
et nous aurons
ce qui donne, en intégrant,
s'=: Ac^'^'^-h Bc-'V^,
c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et A et B étant deux arbitraires. Pour les déterminer, nous observerons que xs
doit être nul lorsque t = o, ce qui donne alors s' = i, et par conséquent
De plus, oL-j- doit être nul avec t, et par conséquent aussi * jT' ce qui
donne
on a donc A = B = ^, d'où l'on tire et, en réduisant en série,
CCS — + j-p • • . .
Pour déterminer ap', nous observerons que l'on a
ds ^ I ds' dt m s'dt
et qu'ainsi l'équation différentielle en a^' devient
, c?2 v' ds' dv' -in ds' . .
o = ^s — — + a -77 -7- -rrsmd,
dt^ dt dt m dt
d'où l'on tire, en intégrant.
as -rr =:^ — s sm 9 H- G, dt m
G étant une constante. Pour la déterminer, nous observerons que, d^ dt
t étant nul, -7- = o, et qu'alors s' = 1 , ce qui donne
partant,
C = sin9;
dv' in ( I \ 2 /i ,
a -7- == — sni 9 I ; == — sin 9 i
dt m \ s) m \ Qts[mg ^ c ^\'"'^§
En intégrant de manière que v' soit nul avec t, on aura
in . ^ 4 'î sm 9 c* — c '
af = — tsind — ^ï — ■== arc tang , , __>
'w m smg ; t^*"^ - 5 v^wiff
et, en réduisant en série,
On doit observer, dans ces expressions de a* et de a/, que, t exprimant un nombre d'unités de temps ou de secondes décimales, g est le double de l'espace que la pesanteur fait décrire dans la première unité de temps; nt est l'angle de rotation de la Terre pendant le nombre / d'unités, et mg est un nombre dépendant de la résistance que l'air oppose au mouvement du corps.
Pour avoir le temps t de la chute du corps et l'écart vers l'est, en fonction de la hauteur d'où le corps est tombé, nommons h cette hauteur. On aura, par ce qui précède.
d'où l'on tire
2 C'»^ = C^v''»^ -i- c-f\fmg^
et ensuite
insinOV
av =z — m
sin9 r , , .—^ ^^ Jcmh ï 1
~T=^\ logHvc'"'^+» + Jc"'^— 0 — îarclang ^,—^
La hauteur h étant donnée, l'observation du temps t donnera la valeur de m, et l'on en conclura a.ç' ou la déviation du corps à l'est de la verticale. On pourra encore déterminer m par la figure et la densité du corps, et par les expériences déjà faites sur la résistance de l'air.
Dans le vide, ou, ce qui revient au même, dans le cas de m infiniment petit, on a
