nh 11 II
«v = —rr- 1/ — sinô.
On a déjà fait, en Italie et en Allemagne, plusieurs expériences sur la chute des corps, qui s'accordent avec les résultats précédents. Mais ces expériences, qui exigent des attentions très-délicates, ont besoin d'être répétées avec plus d'exactitude encore.
16. Considérons présentement le cas où le corps a un mouvement quelconque dans l'espace. Reprenons pour cela les équations (A) du numéro précédent, et supposons
(XU=: OCS-^ -\-C/.U ,
. f, dm ,
a i' sin 9 = -T— 7- + a ts
v-u' et aç'' seront les déviations du corps de la verticale qui passe par le point de départ, l'une dans le sens du méridien, l'autre dans le sens du parallèle. Les équations (A) donneront ainsi les suivantes, en faisant abstraction de la résistance de l'air,
d^s dv . - ds dv
o = a -}— - + '^a'î-T- sin9 H- aan-y- -~ sr,
dt'^ ■ dt dt OTs °
d'^s dr d^u' ds dr cosO dv ^ dr
dt^ dd dt^ dt dxs sin0 dt ° dB
d'^s ôxs d^v' ds dr „ du'
dt^ sinô dt- dt dd dt
dr
ds . . ^ âm
— 2 an -7- sm y : — r--
dt sin y
En retranchant des deux dernières équations la première, multipliée
ôy
successivement par ^ et ^^^ et rejetant les produits de ces deux
quantités par «-n-^i <^n-^ ^^ ^^ ~dT^ ^^ formera les trois équations
o:=<x—j— 2 an -7- COS0,
at^ at
d^i'' du' - ds . ^
o = a -7— - -h lan -j- cosd — lacn-rsmd. aP dt dt
d^s dv' . ^
Ces équations donnent, en les intégrant et fixant au point du départ l'origine des coordonnées a^, glu' et ccv', et l'origine du temps t à l'instant du départ,
au'= BtsinO -h ^gf^sinO cosQ -h C ces 0 [ces (an/ + e) — cose],
, srtsinO „r • , . \ • n av =z- Crsin(2n/ + e) — sins|,
as = BtcosO-h^gt^ COS20 — C sin9[cos('2n/+ e) — cose],
B, C, e étant trois arbitraires, que déterminent les vitesses initiales du corps dans le sens des trois coordonnées.
Supposons, par exemple, que le corps soit lancé verticalement de bas en haut, avec une vitesse égale à K. Les valeurs positives de s étant
prises ici de haut en bas, on aura, à l'origine du temps t, -r- == — K.
On aura de plus, à cette origine, -7- = o, -j- = o; partant,
o :== B sinô — 2nCcosô sine,
o = -^sin0 — nnC cose, in
— K = B cos 6 + 2 nC sin ô sin e,
d'où l'on tire
C sin e = —
Ksin0 2n
Ccose=:
g- sin 5 4n2 '
Kcosô,
ce qui donne
<xs = — Kf + ^^2+ ^ . . I — in^P — cosint] H — [int — smint),
ot.u!r=z— sin0 cos9 — [int — sinci/i/) + 7^ (i — in'^t'^— cosanO L 10 r e-sin2/z/ ,^ , ."l
sin
En réduisant ces expressions en séries, et négligeant les quantités de l'ordre /î^, on a
ce
v' = -^ smB [gt - -ML]
Ces expressions nous montrent que la déviation du corps, dans le
sens du méridien, est très-peu sensible; elle ne l'est que dans celui du
parallèle. En supposant K nul, on a la même expression que ci-dessus
pour cette déviation. Si, K n'étant pas nul, on cherche le point où le
corps doit retomber, on fera a^ = o, ce qui donne ^/=2K, et par
conséquent
' — 4^K«sing ^ — 3g-2 '
Pour réduire en nombres cette formule, on observera que n est l'angle décrit par la rotation de la Terre dans une seconde, et cet angle est
égal à — j parce que la durée du jour sidéral est de 99727 secondes. Il faut le réduire en parties du rayon, ou le diviser par l'arc égal au rayon, c'est-à-dire par 636619", 8. ^esl le double de l'espace que la pesanteur fait décrire aux graves dans la première seconde de leur chute, et ce double espace est, à la latitude de Paris, égal à 7™, 32214, Supposons, par exemple, la vitesse K égale k 5oo mètres par seconde; on aura pour Paris, dont la latitude est de 54°, 2636, 6 égal au complément de cette latitude, et, par conséquent, égal à 45°, 7864, ce qui
OEnvres de L, — IV. 3q
donne
av
4 „ / Soo"" \2 4o" . ^^,
- 5 . Soo"" --—5- 7 — a-iaii // o sin45°, 7364,
d'où l'on tire
oiv' ^=^ — i'î8'",9;
c'est la quantité dont le corps retombera à l'occident du point du départ; car la rotation de la Terre ayant lieu d'occident en orient, les aç'' négatifs ont lieu dans le sens opposé.
