CHAPITRE VI

SUR QUELQUES CAS OU l'oN PEUT RIGOUREUSEMENT OBTENIR LE MOUVEMENT d'un SYSTÈME DE CORPS QUI s'aTTIRENT.

17. Le problème du mouvement de deux corps soumis à leur attraction mutuelle peut être résolu exactement, comme on l'a vu dans le Livre II; mais, lorsque le système est composé de trois ou d'un plus grand nombre de corps, le problème, dans l'état actuel de l'Analyse, ne peut être résolu que par approximation. Voici cependant quelques cas où il est susceptible d'une solution rigoureuse.

Si l'on conçoit les différents corps disposés dans un même plan, de manière que les résultantes des forces dont chacun d'eux est animé passent par le centre de gravité du système, et que ces diverses résultantes soient proportionnelles aux distances respectives des corps à ce centre, alors il est clair qu'en imprimant au système un mouvement angulaire de rotation autour de son centre de gravité, tel que la force centrifuge de chaque corps soit égale à la force qui le sollicite vers ce centre, tous les corps continueront de se mouvoir circulairement autour de ce point, en conservant entre eux la même position respective, en sorte qu'ils paraîtront décrire 'des cercles les uns autour des autres.

Les corps étant dans la position précédente, si l'on imagine que le polygone, aux angles duquel on peut toujours les supposer, varie d'une manière quelconque, en conservant toujours une figure semblable, il est visible que, la loi de l'attraction étant supposée propor-

tionnelle à une puissance quelconque de la distance, les résultantes des forces dont les corps sont animés seront à chaque instant entre elles comme les distances des corps au centre de gravité du système. Cela posé, concevons que l'on imprime aux différents corps des vitesses proportionnelles à leurs distances à ce centre, et dont les directions soient également inclinées aux rayons menés de ce point à chacun des corps; alors les polygones formés à chaque instant par les droites qui joignent ces corps seront semblables; les corps décriront des courbes semblables, soit autour du centre de gravité du système, soit autour de l'un d'eux, et ces courbes seront de la même nature que celle que décrit un corps attiré vers un point fixe.

Pour appliquer ces théorèmes à un exemple, considérons trois corps dont les masses soient m, m', m", et qui s'attirent suivant la fonction 9(r) de la distance r. Soient œ et y les coordonnées dLe m, rapportées au plan qui joint ces trois corps et au centre de gravité du système; soient œ' et y' les coordonnées de m', et ac" et y" celles de m". La force qui sollicite m parallèlement à l'axe des x sera

s étant la distance de m à m', et s' étant la distance de m à m". La force qui sollicite m parallèlement à l'axe des j sera

Pareillement , la force dont m' est animé parallèlement à l'axe des œ sera

s" étant la distance de m' à m'\ La force qui sollicite m' parallèlement à l'axe des y sera

Enfin les forces qui sollicitent m" parallèlement aux axes des x et

des y seront respectivement

Maintenant, pour que la résultante des deux forces qui sollicitent m parallèlement aux axes des x et des y passe par le centre de gravité du système, il est nécessaire que ces forces soient dans le rapport de X 'à y; on aura donc

K étant une quantité quelconque. La force qui sollicite m vers le centre de gravité sera K\'x^-\-y^. On aura pareillement, en considérant les forces dont m' est animé,

mfi^(x'-x) + m" ^ ix' - x") = K'x', s ^ s

ce qui donne K'\/x'^ -hy'^ pour la force qui sollicite m' vers le centre de gravité du système. Pour que cette force soit à celle qui sollicite le corps m dans le rapport des distances des deux corps à ce centre , il faut que l'on ait K = K', et, comme on doit appliquer le même résultat aux forces dont m" est animé, on aura les trois équations sui-

vantes :

m'^{x -x')-^m"^{x -x'') = Kx,

m 'ni)[:^'-j:)-^m"^^{x'-x") = Kx',

m mj.lx"-x]-i-m' '^{x"-x')=:Kx\

En changeant dans ces équations x, x', x" en j, y\ y" , on aura celles qui sont relatives à ces trois dernières variables.

Les équations précédentes, multipliées respectivement par m, m', m", et ajoutées ensemble, donnent

o^=-inx -\- m! x' -\- m"x" y

équation qui résulte pareillement de la nature du centre de gravité. Cette équation, combinée avec la première des équations (a), donne

en supposant donc s = s', on aura

K = [m-hm'-^m")^- ^ ' s

Si l'on suppose, de plus, s — s", les deux dernières des équations {a) donneront la même expression de K, d'où il suit que, dans la supposition de ^ = /= s", cette expression satisfait aux équations [a) et aux équations semblables en j, y' et y".

Si, dans cette supposition, on nomme r, r\ r" les. distances respectives des corps m, m , m" au centre de gravité du système, les forces qui sollicitent ces corps vers ce point seront Kr, Kr', Kr"; ainsi, en imprimant à ces trois corps des vitesses proportionnelles à r, r', r", et dont les directions soient également inclinées à ces rayons, on aura, durant le mouvement, ^ = 5' = s", c'est-à-dire que les trois corps formeront toujours un triangle équilatéral par les droites qui les joignent; ils décriront des courbes parfaitement semblables les uns autour des autres, et autour de leur centre commun de gravité.

En nommant X et Y les coordonnées de ce centre, rapportées à un point quelconque, x et j celles du corps m rapportées au même point, x' et y' celles de m', et ainsi de suite, on a, par le n** 15 du Livre P',

V2 , v2^^(-^' + r'') lmm'[{x-x')^-h{r-r')''}. X +Y ^-^ -j— ,

en prenant donc le centre du corps m pour origine des coordonnées, ce qui donne ce et y nuls, et

(ip"- ^)2 H- (/'— j)2::= 5'2= 52,

on aura

{m'-hm"]s^ { mm' -\- mm" -\- m' m" ] s^

d'où l'on tire

yjm'^-{- m!m," -\- m"^

En substituant cette valeur de s dans la fonction 9(^), on aura la loi de la gravitation du corps m vers le centre de gravité du système. La force qui sollicite m vers ce point étant égale à Kr, et K étant égal à

(m + m' + m")^^5 cette force sera

slm'^-\-m'm"-\-m"^.cf\

[m-\- m' -h m")r sjm' '^ -h mm" -h m" 2

On aura, par la formule (3) du n^ 2 du Livre II, l'équation de la courbe décrite par le corps m autour du même point, et par conséquent celles des courbes décrites par les corps m' et m", puisque ces trois courbes sont semblables entre elles, avec des dimensions respectivement proportionnelles à r, r' et r".

Dans le cas de la nature, 9(5) = — ; la force qui sollicite m vers le

centre de gravité du système est donc

{m'^-hm'm"-i-m"^)^

(m + /n'H-An")2r2

Ainsi les trois corps décrivent des sections coniques semblables autour du centre de gravité du système, en formant constamment entre eux

un triangle équilatéral, dont les côtés varient sans cesse et s'étendent même à l'infini, si la section est une parabole ou une hyperbole.

Supposons maintenant que les trois quantités s, s\ s'' ne soient point égales entre elles, que s, par exemple, ne soit point égal à s', et reprenons l'équation

^ [;n' îtil + (m + m'O ^] + m':r' [îi?^ - ii^] = K.r. On aura une équation semblable entre y et j'; d'où l'on tirera

ainsi les deux corps m et m' sont sur une même droite avec le centre de gravité du système, ce qui exige que les trois corps m, m', m" soient sur la même droite. Prenons, à un instant quelconque, cette droite pour l'axe des abscisses, et supposons les corps rangés dans l'ordre m, m', m", et que leur centre commun de gravité soit entre m et m'. Soit

x' =z — ^x, x" = — vx;

supposons, de plus, que la loi d'attraction soit comme la puissance n de la distance, en sorte que (f[s)-=s"; les équations (a) donneront, en observant qu'ici s = x{i -f-(jt.), ^' = ^7(1 -h v),

K = ^«-' [/n'{i + |ji)« + m"(n- v)«], IJ.[m'{\ + fx)« + m"(i + v)"] = m{i -h ijl)" — m"[v — /x)«.

Soit

nous aurons

et par conséquent

|ui[m' + m"{\ H-z)«] = m — m''^";

mais l'équation

0=: mx + m'x' + m"x"

donne

d'où l'on tire

^ m' + ni"[ H- z ) '

on aura donc

(m - m"z)\^m' + m"[i + 2)«] = [m' + /n"(i + z)] (m - m"z'']. Dans le cas de la nature, o\x n — — 2, cette équation devient

o = mz2[(i + 2)3 i],n'{i + s)2(i-23)-m"[(i + z)3-z3],

équation du cinquième degré, et par conséquent susceptible d'une racine réelle; et comme, dans la supposition de ^ = o, le second membre de cette équation est négatif, tandis qu'il est positif dans le cas de z infini, z a nécessairement une valeur réelle et positive. Si Ton suppose que m soit le Soleil, m' la Terre et m" la Lune, on

aura, à très-peu près,

ce qui donne z =^ -^ k peu près. Donc si, à l'origine, la Terre et la Lune avaient été placées sur une même droite, à des distances respectives de cet astre proportionnelles à i et i + 7^; si, de plus, on leur avait imprimé des vitesses parallèles et proportionnelles à ces distances, la Lune eût été sans cesse en opposition au Soleil; ces deux astres se seraient succédé l'un à l'autre sur l'horizon, et comme, à cette distance, la Lune n'eût point été éclipsée, sa lumière, pendant la nuit, eût remplacé la lumière du Soleil.

OEtivres de L.— IV. 4*>