CHAPITRE VII

SUR LES ALTÉRATIONS QUE LE MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DES COMÈTES PEUT ÉPROUVER PAR LA RÉSISTANCE DES MILIEUX Qu'eLLES TRAVERSENT ET PAR LA TRANSMISSION SUCCESSIVE DE LA PESANTEUR.

18. Imaginons un fluide répandu autour du Soleil, et déterminons l'eff'et de sa résistance sur le mouvement des planètes et des comètes. Nous nous sommes déjà occupés de cet objet dans le Chapitre VI du Livre VII; mais nous allons le reprendre ici avec plus d'étendue, et déterminer les altérations des orbites pour un temps quelconque.

Soit 9 (-) la densité du fluide à la distance r du centre du Soleil. Si

l'on nomme ds l'élément de la courbe planétaire décrit pendant l'in-

(i\ ds"^ ] 'di^ P^""^ l'expression de la résistance que la

planète éprouve dans le sens de son mouvement, K étant un coefficient constant dépendant de la figure et de la densité de la planète. Cette résistance, décomposée parallèlement aux coordonnées ^ et y du corps prises dans le plan de l'orbite, donne les résistances partielles

,. /i\ dsdx ,^ /i\ d&dr

Ayant donc représenté, dans le n° 64 du Livre II, par — -p et — ->les forces qui sollicitent la planète dans le sens des x et des y, on

aura ici

dR ^^ l A dsdr

On a ensuite, par le même numéro, et en prenant pour l'unité la somme des masses du Soleil et de la planète,

a - = 2 dR = 2 -,— a;c + 2 ^i— dy, a ox oy '

partant,

e étant le rapport de l'excentricité au demi-grand axe, et u étant la longitude du périhélie, on a, par le même numéro,

dx

partant.

d[esmxs5) = dxyx^-^ - T j^\ +[xdjr-rdx d[ecos7s) = df [x-^ ^ j [xdf-xd^) ^ ;

</(esinra)= -ilS.c^yA -^i^ [xdx—xdx], d(ecosm) = — sK^f -j —j— [xdy— rdx).

Enfin on a, par le numéro cité du Livre II,

/ 1 \ ds^ Jnz= 3andR= SKancjp ( -| -j-^-

Au moyen de ces équations, on aura les variations des éléments de l'orbite dues à la résistance du milieu; car cette résistance n'altère point la position du plan de l'orbite.

On a, par le n° 16 du Livre II,

xdy — ydx =: r^dv =:dt\Ja[i — e'^),

a(i — e2) 1 + ecos(v' — ct)'

de plus, on a

ds—\Jdr^ + r'^dv^,

d'où l'on tire

partant,

, r^dv J\-\-iec-0?,{v — Ts) -\- e^

ds = 7 Vï '

ds^ r^dvli-hiecoslv — vs) -h e^Y

aKçf -) r'^dv[^\ + aecos(f — gj) + e^p

Supposons qu'en développant la fonction

K<p(- j r2[i + 2ecos(v — Gj) + e2]=^

dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de ^ — ct et de ses multiples, on ait

A + eBcos(c — Gj) + e2Ccos{2f — aro) + . . .,

A, B, C, ... étant fonctions de e^ ; on aura, en négligeant les quantités périodiques,

On a ensuite d'où l'on tire