X :=. rcosv, j^=rsinc
De là il est facile de conclure
j, . V (îA + B)ec?(^sincT
j, . (aA -h B)ecfccos5T d ecosGj =— ^ 7-^ — !
et par conséquent
de-
{'î\-h'R)edv
drj3 =
ainsi le périhélie est immobile, et il n'y a d'altération que dans le grand axe et l'excentricité de l'orbite.
Les deux expressions précédentes de de et de û?- donnent
, {'îk-hB)e[ï — e^)da
En intégrant cette équation différentielle, on aura e en fonction de a; en substituant ensuite cette fonction dans l'équation
on aura, en l'intégrant, v en fonction de a, et réciproquement a en fonction de v.
Pour avoir la valeur de v en fonction du temps ty on observera que, si l'on rejette les quantités périodiques, on a dv=^ndt\ de plus,
w = -3^; partant,
dt = a^dv.
Substituant pour a sa valeur en fonction de v, et intégrant, on aura t en fonction de v, et réciproquement v en fonction de t.
Dans le cas des orbites peu excentriques, on a, en négligeant le carré de e,
B = -Ka>,(i)+K«çp'(i <p'(-) étant la différence de <p(-) divisée par la différence de -• On
aura donc alors
C?rt — — 2 K«2 </(^ <p ( - I ,
de e.
-K*[acp(i)H-<p'(i)].
<p(-j est toujours positif, et <p'(-) est aussi positif, si, comme il est naturel de le supposer, çf-l augmente quand la distance r au Soleil
diminue; ainsi, en même temps que la planète se rapproche de plus en plus du Soleil par l'effet de la résistance du milieu, l'orbite devient de plus en plus circulaire. Les deux équations précédentes donnent
\/kV
q étant une constante arbitraire. On voit clairement que, a diminuant et 9(-) augmentant sans cesse, la valeur de e diminue sans cesse.
19. Si la lumière consiste dans les vibrations d'un fluide élastique, l'analyse précédente donnera l'effet de sa résistance sur le mouvement des planètes et des comètes. Si elle est une émanation du Soleil, la même analyse donnera encore, avec quelques modifications légères, l'effet de sa résistance. En effet, on peut transporter, en sens contraire, à la lumière, le mouvement réel de la planète, et considérer celle-ci comme immobile, ce qui ne change rien à leur action réciproque. Alors la lumière agit sur la planète suivant une direction un peu inclinée à sa direction primitive; elle communique à son centre de gravité, suivant cette direction nouvelle, une force que l'on peut ensuite décomposer en deux, l'une suivant le rayon vecteur de la planète, l'autre en sens contraire de la direction de l'élément de la courbe qu'elle décrit. Si l'on nomme 0 la vitesse de la lumière, ces deux forces sont entre elles
ds comme 9 est à ^-- Soit p la densité de la lumière à la distance r du
Soleil, et (p) sa densité à la distance i; on aura p = ^^ -, les deux forces
dont il s'agit pourront donc être représentées par — ^ et -^ -t;- L^ pi**"-
mière est en sens contraire de la gravitation vers le Soleil, et, comme elle suit la même loi, elle se confond avec elle en la diminuant un peu. La seconde force est en sens contraire du mouvement de la planète, et produit une résistance à ce mouvement. En la comparant à la résistance
r) „ ds
dt ce qui donne, par le numéro précédent, les trois équations
, I -îH ds"-
a r^ dt
d[e^mxs)= "^ -^[xdy-xdx], d{ecosnj)=- ~ -Jj [xdf ~ fd^)- • ,
Ces trois équations deviennent, en négligeant les quantités périodiques,
a e sincj = : 5
,, , iHdv.ecQSvs d[e. rnsTTt = ■>
d'où l'on tire
dTD = 0, ^
' îrfi '-i ;«[»
^^ iHedv eda[i — e^) ^
\ja[i-e'^) a(i + e2) '
partant.
da (i +e2)c/e
En intégrant, on a
q étant une constante arbitraire. En substituant pour a cette valeur dans l'expression de de, on aura
de=: — lYLdv \Jqe,
ce qui donne
e=:(A-Ht'v^)',
h étant une arbitraire égale à la racine carrée de e, lorsque c= o.
On a a^dv=z dt\ substituant pour a et dv leurs valeurs en e et de,
on aura
— ede
dt
d'où l'on tire, en intégrant,
e étant une arbitraire. Substituant pour e sa valeur en v, on aura
2H^2Vi-(//-H(^v/(7)'
En réduisant en série et déterminant e de manière que v commence avec le temps /, on aura à très-peu près
/i, e et « étant relatifs à l'origine du temps. Le second terme de l'expression de V est l'équation séculaire de la planète, due à l'action de la lumière.
20. Déterminons maintenant l'inégalité séculaire correspondante de la Lune. Si l'on marque d'un trait, pour ce satellite, les quantités que
nous avons désignées par H, a et /i pour la planète, que nous supposerons être ici la Terre, et si l'on nomme x\ y', z' ses coordonnées rapportées au centre de la Terre, ses coordonnées rapportées au centre du Soleil seront a; -\-œ\ y-+-y', z -h z'; ainsi, en nommant /la distance de la Lune à cet astre, on aura
Il est aisé de voir, par le numéro précédent, que l'action de la lumière solaire produit sur le centre de la Lune, et en sens contraire de ses coordonnées, les forces
p dt ' p ' dt ' ' p dt
Il faut en retrancher les forces dont le centre de la Terre est animé par la même action, pour avoir son mouvement relatif autour de ce centre, et ces forces sont, par le numéro précédent,
on a donc ici
Rdx n dy- ^ dz
r2 dt ' r^ dt' r^ dt
^ IL ^ /IT H\ ^ dx' ~ p- dt ^ \/2 r2J dt '
dy ~ p dt "^ \p r2J dt '
dz' ~ p dt ^ \/2 r2J dt'
ce qui donne
.„ H' dx'^ + û(r'2 + f/2'2 /H' H\ dxdx' -f- drdr' + dz dz'
la caractéristique d ne se rapportant qu'aux coordonnées de l'orbite relative de la Lune. L'équation séculaire de ce satellite est, par le n" 65 du Livre II,
OEuvres de L. — IV. ^\
Ici y. est la somme des masses de la Terre et de la Lune. Si l'on néglige les quantités périodiques, on a, à très-peu près,
H' fi?x'2 + </r'2+c?2'2 H'a'2 , .
-^ "ji = — ^n'^dt.
f^ at a^
De plus, on a, à fort peu près,
H' H' r i[xx' -^yy' -\- zz')'\
En prenant ensuite pour plan fixe celui de l'écliptique, on a, à fort
peu près,
x^=acosnt, j = asinn/, z = o,
x' =za'cosn't, y =ia'sinn't;
en négligeant donc les termes périodiques, on aura
\P r^ I dt
De là on conclut
H' n'\ dxdx'-hdrdf-hdzdz' R'a'^ ,,
dR =r — - n'dt[n' — n).
Ainsi l'équation séculaire de la Lune, due à l'action de la lumière, sera
Mais on a 7i'^= ~ et /i^= — ; cette équation devient ainsi
L'équation séculaire de la Terre est, par le numéro précédent, en négligeant le carré de l'excentricité,
3Hn2/a
», \ja
ainsi l'équation séculaire de la Terre est à celle de la Lune comme
1 unité est a -^r •
Pour avoir le rapport -^f nous supposerons que les actions de la
lumière du Soleil sur la Terre et la Lune sont proportionnelles aux surfaces de ces corps, ce qui est l'hypothèse la plus naturelle que l'on puisse faire. On aura les forces qui en résultent sur les centres de ces deux derniers corps en divisant respectivement ces actions par les masses de la Terre et de la Lune; on a ainsi, à fort peu près,
H surface lunaire X masse de la Terre masse de la Terre X carré du demi-diamètre apparent de la Lune
H hurlace terrestre X masse de la Lune masse de la Lune x carre de la parallaxe lunaire
On a vu, dans le Chapitre VI du Livre VII, que cette quantité est égale
à ^Q~7* ^^ plus, on a — =0,0748013, d'où il suit que l'équation
séculaire de la Terre est à celle de la Lune comme i : 63,169.
21. Ces équations séculaires dépendent de l'impulsion de la lumière du Soleil. Mais, si cette lumière est une émanation du Soleil, la masse de cet astre doit diminuer sans cesse, et il doit en résulter, dans le moyen mouvement de la Terre, une équation séculaire d'un signe contraire à celle que produit l'impulsion de la lumière et qui est incomparablement plus grande. Il est facile de la déterminer par les considérations suivantes. Si l'on n'a égard qu'à la diminution de la masse solaire, la Terre sera constamment sollicitée vers son centre; le principe des aires donnera donc
r^dv = cdt,
c restant toujours le même. Or, si l'on néglige le carré de l'excentricité, on a r-dv=^a^ndt', ainsi a^n est une constante, quoique la masse du Soleil diminue sans cesse. Soient a^ et n^ les valeurs de a et de /i à l'origine du temps t\ on aura
Nous observerons ensuite que la force centrifuge est égale au carré de la
vitesse divisé par le rayon. En négligeant donc l'excentricité de l'orbite, cette force sera an^; mais elle est égale et contraire à la force attractive du Soleil, c'est-à-dire à sa masse divisée par le carré de la distance. Soient i cette masse à l'origine de ^, et i — xt sa valeur après le temps t, a étant un très-petit coefficient constant ; on aura
i — at an^= — — —
Cette équation, combinée avec la précédente, donne, en observant
que a,n;= I,
l — OCt
/t = n,(i — af)2.
La longitude moyenne de la Terre étant /w^^, on aura, en négligeant le carré de a,
pour son expression. L'équation séculaire du moyen mouvement due à la diminution de la masse du Soleil est donc
Comparons son expression à l'expression =:— de l'équation séculaire
due à l'impulsion de la lumière. Si l'on nomme i le rapport de la vitesse de la lumière à celle de la Terre dans son orbite, ian sera la première de ces vitesses, p étant la densité de la lumière au point de l'espace qu'occupe la Terre, la perte de la lumière du Soleil dans l'instant dt sera ^iandt multiplié par la surface de la sphère dont le rayon est a\ elle sera donc l^a^^i^ndt, x étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. On aura ainsi
et, par conséquent, l'équation séculaire due à la diminution de la masse du Soleil sera
Si l'on nomme e la parallaxe du Soleil en parties du rayon, la surface d'un grand cercle de la Terre sera t^Tza^. La lumière reçue par ce grand cercle dans l'instant dt sera t'^7:a^^iandt, et, comme cette lumière est animée de la vitesse ian, son impulsion sera, en la supposant absorbée par la Terre,
ce qui produit dans le centre de la Terre la force
T étant la masse de la Terre. Cette force, par le n'* 19, est égale à H
ian; on a donc
„ z^Tza^inp
L'équation séculaire =— devient ainsi, en observant que a^rî^ = i,
■xsja
Les deux équations séculaires dues à la diminution du Soleil et à l'impulsion de sa lumière seront donc entre elles dans le rapport de
— 4 à -™ ou de — I à -^^
Si l'on suppose la parallaxe solaire de 26",J\2od et la masse de la Terre égale à jj^-^^, on trouve ces deux équations dans le rapport de
— I à 0,0002129. L'équation séculaire de la Terre due à la diminution de la masse du Soleil est à l'équation séculaire de la Lune due à l'impulsion de sa lumière comme — i : o,oi345. Ainsi i seconde dans l'équation séculaire de la Lune produite par cette cause correspond à 74", 35 dans l'équation séculaire de la Terre, et, comme on est certain, par les observations, que l'équation séculaire de la Terre n'est pas de 18 secondes, il en résulte que l'impulsion de la lumière du Soleil sur la Lune n'influe pas d'un quart de seconde sur son équation séculaire.
Il résulte de l'analyse précédente que depuis deux mille ans la
masse du Soleil n'a point éprouvé ^mhôô ^^ diminution ni d'accroissement; car, —cLt.n^t étant l'équation séculaire de la Terre due à cette cause, si l'on suppose que t représente un nombre d'années sidérales, n^ sera égal à l\oo degrés et — a.t sera la diminution de la masse solaire. Soit donc t= 2000, et représentons par q degrés l'équation séculaire de la Terre correspondante à deux mille ans; on aura
Les observations ne permettent pas de supposer q égal ou plus grand quef; ainsi a/ est au-dessous de ^^nrïôôô-
22. Si la gravitation était produite par l'impulsion d'un fluide vers le centre du corps attirant, l'analyse précédente, relative à l'impulsion de la lumière solaire, donnerait l'équation séculaire due à la transmission successive de la force attractive. En effet, il résulte de ce qui précède que, si l'on nomme g l'attraction du corps attirant, par exemple du Soleil, l'équation séculaire du corps attiré, de la Terre par exemple, sera
2 ai ''
car alors on a, par le n° 19, g = —^= —, ce qui change dans la
précédente l'équation séculaire p— • Mais g est égal à la force cen-
trifuge, et cette force est égale à an^; l'équation séculaire du corps
attiré est donc —i i étant ici le rapport de la vitesse du fluide gra-
vifique à celle du corps attiré.
Si l'on applique ce résultat à la Lune, et que l'on nomme Ni le moyen mouvement sidéral de la Terre, / exprimant un nombre d'années juliennes, on aura l'équation séculaire de la Lune égale à
hm---
Soient a! la moyenne distance du Soleil à la Terre, a celle de la Lune, i le rapport de la vitesse du fluide gravifique à celle de la lumière, et supposons l'aberration égale à 62", 5; l'équation séculaire de la Lune
deviendra
3 a fny N2f2sin6'2''',5
On a vu, dans le n° 23 du Livre II, que l'équation séculaire de la Lune est de 3i", 4^47^7 lorsque l'on suppose t= 100; en l'attribuant donc à la cause précédente, on aura
3 a /n\3 ioooosin62'',5
2 a' VN; 3i",424757
En appliquant les nombres à cette expression de i', on trouve la vitesse du fluide gravifique environ sept millions de fois plus grande que celle de la lumière, et, comme il est certain que l'équation séculaire de la Lune est due presque en entier à la cause que nous lui avons assignée dans le Livre VI, on doit supposer au fluide gravifique une vitesse au moins cent millions de fois plus grande que celle de la lumière, c'està-dire qu'il faudrait supposer une semblable vitesse au moins à la Lune pour la soustraire à l'action de sa pesanteur vers la Terre. Les géomètres peuvent donc, comme ils l'ont fait jusqu'ici, supposer cette vitesse infinie.
Il est aisé de voir que l'équation séculaire de la Terre due à la transmission successive de la gravité n'est qu'un sixième environ de l'équation correspondante de la Lune, et, par conséquent, elle est nulle ou insensible.
