SUR L'ACTION CAPILLAIRE

J'ai considéré, dans le Livre X de cet Ouvrage, les phénomènes dus à l'action réfringente des corps sur la lumière. Cette force est le résultat de l'attraction de leurs molécules; mais la loi de cette attraction ne peut pas être déterminée par ces phénomènes, qui ne l'assujettissent qu'à la condition d'être insensible à des distances sensibles. Toutes les lois d'attraction dans lesquelles cette condition est remplie satisfont également aux divers phénomènes de réfraction indiqués par l'expérience, et dont le principal est le rapport constant du sinus de réfraction au sinus d'incidence dans le passage de la lumière à travers les corps diaphanes. On n'a réussi que dans ce cas à soumettre ce genre d'attractions à une analyse exacte. Je vais offrir ici aux géomètres un second cas plus remarquable encore que le précédent par la variété et par la singularité des phénomènes qui en dépendent, et dont l'analyse est susceptible de la même exactitude : c'est le cas de l'action capillaire. Les effets du pouvoir réfringent se rapportent à la Dynamique et à la théorie des projectiles; ceux de l'action capillaire se rapportent à l'Hy-

( * ) Ce Supplément a été publié en 1806. [Note de l'Éditeur.)

drostatique ou à l'équilibre des fluides, qu'elle soulève ou qu'elle déprime suivant des lois que je me propose d'expliquer.

Clairaut est le premier, et jusqu'à présent le seul, qui ait soumis à un calcul rigoureux les phénomènes des tubes capillaires, dans son Traité sur la figure delà Terre. Après avoir fait sentir, par des raisonnements qui s'appliquent également à tous les systèmes connus, le vague et l'insuffisance de celui de Jurin, il analyse avec exactitude toutes les forces qui peuvent concourir à élever l'eau dans un tube de verre. Mais sa théorie, exposée avec l'élégance qui caractérise son bel Ouvrage, laisse à désirer l'explication de la loi de cette ascension, qui, d'après l'expérience, est en raison inverse du diamètre du tube. Ce grand géomètre se contente d'observer qu'il doit y avoir une infinité de lois d'attraction qui, substituées dans ses formules, donnent ce résultat. La connaissance de ces lois est cependant le point le plus délicat et le plus important de cette théorie; elle est indispensable pour lier entre eux les divers phénomènes capillaires, et Clairaut en eût lui-même reconnu la nécessité s'il eût voulu, par exemple, passer des tubes aux espaces capillaires renfermés entre des plans parallèles, et déduire de l'analyse le rapport d'égalité que l'expérience indique entre l'ascension du fluide dans un tube cylindrique et son ascension entre deux plans parallèles dont la distance mutuelle est égale au demi-diamètre du tube, ce que personne encore n'a tenté d'expliquer. J'ai cherché, il y a longtemps, à déterminer les lois d'attraction qui représentent ces phénomènes; de nouvelles recherches m'ont enfin conduit à faire voir qu'ils sont tous représentés par les mêmes lois qui satisfont aux phénomènes de la réfraction, c'est-à-dire par les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distances insensibles, et il en résulte une théorie complète de l'action capillaire.

Clairaut suppose que l'action d'un tube capillaire peut être sensible sur la colonne infiniment étroite de fluide qui passe par l'axe du tube. Je m'écarte en cela de son opinion, et je pense, avec Hawksbee et beaucoup d'autres physiciens, que l'action capillaire, comme la force réfringente et toutes les affinités chimiques, n'est sensible qu'à des distances

imperceptibles. Hawksbee a observé que, dans les tubes de verre ou très-minces ou très-épais, l'eau s'élevait à la même hauteur toutes les fois que les diamètres intérieurs étaient les mêmes. Les couches cylindriques du verre qui sont à une distance sensible de la surface intérieure ne contribuent donc point à l'ascension de l'eau, quoique dans chacune d'elles, prise séparément, ce fluide doive s'élever au-dessus du niveau. Ce n'est point l'interposition des couches qu'elles embrassent qui arrête leur action sur l'eau, car il est naturel de penser que les attractions capillaires se transmettent à travers les corps, ainsi que la pesanteur; cette action ne disparaît donc qu'à raison de la distance du fluide à ces couches, d'où il suit que l'attraction du verre sur l'eau n'est sensible qu'à des distances insensibles.

En partant de ce principe, je détermine l'action d'une masse fluide, terminée par une portion de surface sphérique concave ou convexe, sur une colonne fluide intérieure, renfermée dans un canal infiniment étroit, dirigé vers le centre de cette surface. Par cette action, j'entends la pression que le fluide renfermé dans le canal exercerait, en vertu de l'attraction de la masse entière, sur une base plane située dans l'intérieur du canal, perpendiculairement à ses côtés, à une distance quelconque sensible de la surface, cette base étant prise pour unité. Je fais, voir que cette action est plus petite ou plus grande que si la surface était plane : plus petite, si la surface est concave; plus grande, si la surface est convexe. Son expressix)n analytique est composée de deux termes : le premier, beaucoup plus grand que le second, exprime l'action de la masse terminée par une surface plane, et je pense que de ce terme dépendent la suspension du mercure dans un tube de baromètre à une hauteur deux ou trois fois plus grande que celle qui est due à la pression de l'atmosphère, le pouvoir réfringent de corps diaphanes, la cohésion, et généralement les affinités chimiques; le second terme exprime la partie de l'action due à la sphéricité de la surface, c'està-dire l'action du ménisque compris entre cette surface et le plan qui la touche. Cette action s'ajoute à la précédente ou s'en retranche, suivant que la surface est convexe ou concave. Elle est réciproque au rayon de

la surface sphérique; il est visible en effet que, plus ce rayon est petit, plus le ménisque est considérable près du point de contingence. C'est à ce second terme qu'est due l'action capillaire, qui diffère ainsi des affinités chimiques représentées par le premier terme.

De ces résultats relatifs aux corps terminés par des segments sensibles de surface sphérique je conclus ce théorème général :

Dans toutes les lois qui rendent l'attraction insensible à des distances sensibles, l'action d'un corps terminé par une surface courbe sur un canal intérieur infiniment étroit, perpendiculaire à cette surface dans un point quelconque, est égale à la demi- somme des actions sur le même canal de deux sphères qui auraient pour rayons le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface à ce point.

Au moyen de ce théorème et des lois de l'équilibre des fluides, on peut déterminer la figure que doit prendre une masse fluide animée par la pesanteur et renfermée dans un vase d'une figure donnée. On est conduit à une équation aux différences partielles du second ordre, dont l'intégrale se refuse à toutes les méthodes connues. Si la figure est de révolution, cette équation se réduit aux différences ordinaires, et on peut l'intégrer d'une manière fort approchée lorsque la surface est très-petite. Je fais voir ainsi que, dans les tubes très-étroits, la surface du fluide approche d'autant plus de celle d'un segment sphérique que le diamètre du tube est plus petit. Si ces segments sont semblables dans divers tubes de même matière, les rayons de leurs surfaces seront en raison inverse du diamètre des tubes. Or cette similitude des segments sphériques paraîtra évidente si l'on considère que la distance où l'action du tube cesse d'être sensible est imperceptible, en sorte que, si par le moyen d'un très-fort microscope on parvenait à la faire paraître égale à i millimètre, il est vraisemblable que le même pouvoir amplifiant donnerait au diamètre du tube une grandeur apparente de plusieurs mètres. La surface du tube peut donc être considérée comme étant plane, à très-peu près, dans un rayon égal à celui de sa sphère d'activité sensible; le fluide, dans cet intervalle, s'abaissera donc ou

s'élèvera, depuis cette surface, à très-peu près comme si elle était plane. Au delà, ce fluide n'étant plus soumis sensiblement qu'à la pesanteur et à son action sur lui-même, sa surface sera à peu près celle d'un segment sphérique dont les plans extrêmes, étant ceux de la surface fluide aux limites de la sphère d'activité sensible du tube, seront à très-peu près, dans les divers tubes, également inclinés à leurs parois, d'où il suit que tous ces segments seront semblables.

Le rapprochement de ces résultats donne la vraie cause de l'ascension ou de l'abaissement des fluides dans les tubes capillaires, en raison inverse de leurs diamètres. Si, par l'axe d'un tube de verre, on conçoit un canal infiniment étroit qui, se recourbant un peu au-dessous du tube, aille aboutir à la surface plane et horizontale de l'eau d'un vase dans lequel l'extrémité inférieure du tube est plongée, l'action de l'eau du tube sur ce canal sera moindre, à raison de la concavité de sa surface, que l'action de l'eau du vase sur le même canal; le fluide doit donc s'élever dans le tube pour compenser cette diff'érence, et, comme elle est, par ce qui précède, en raison inverse du diamètre du tube, l'élévation du fluide au-dessus de son niveau doit suivre le même rapport.

Si la surface du fluide intérieur est convexe, ce qui a lieu pour le mercure dans un tube de verre, l'action de ce fluide sur le canal sera plus grande que celle du fluide du vase ; le fluide doit donc s'abaisser dans le tube en raison de cette diff'érence, et par conséquent en raison inverse du diamètre du tube.

Ainsi l'attraction des tubes capillaires n'a d'influence sur l'élévation ou sur l'abaissement des fluides qu'ils renferment qu'en déterminant l'inclinaison des premiers plans de la surface du fluide intérieur extrêmement voisins des parois du tube, inclinaison dont dépend la concavité ou la convexité de cette surface et la grandeur de son rayon. Le frottement du fluide contre ces parois peut augmenter ou diminuer un peu la courbure de sa surface; le baromètre en ofl^re des exemples journaliers; alors les eff'ets capillaires augmentent ou diminuent dans le même rapport. Ces eff^ets s'accroissent d'une manière très-sensible par

OEuvres de L.— IV. 4^

le concours des forces dues à la concavité et à la convexité des surfaces. On verra dans la suite que l'on peut ainsi élever l'eau dans les tubes capillaires à une plus grande hauteur au-dessus de son niveau que lorsqu'on les plonge dans un vase rempli de ce fluide.

L'équation différentielle de la surface des fluides renfermés dans des espaces capillaires de révolution conduit à ce résultat général, savoir que, si dans un tube cylindrique on introduit un cylindre qui ait le même axe que le tube et qui soit tel que l'espace compris entre sa surface et la surface intérieure du tube ait très-peu de largeur, le fluide s'élèvera dans cet espace à la même hauteur que dans un tube dont le rayon est égal à cette largeur. Si l'on suppose les rayons du tube et du cylindre infinis, on a le cas du fluide renfermé entre deux plans verticaux et parallèles très-proches l'un de l'autre. Le résultat précédent est vérifié à cette limite par des expériences faites autrefois en présence de la Société royale de Londres et sous les yeux de Newton, qui les a citées dans son Optique, Ouvrage admirable, dans lequel ce profond génie a jeté en avant de son siècle un grand nombre de vues originales que la Chimie moderne a confirmées. M. Haûy a bien voulu faire, à ma prière, quelques expériences vers l'autre limite, c'est-à-dire en employant des tubes et des cylindres d'un très-petit diamètre, et il a trouvé le résultat précédent aussi exact à cette limite qu'à la première.

Les phénomènes que présente une goutte fluide en mouvement ou suspendue en équilibre, soit dans un tube capillaire conique, soit entre deux plans très-peu inclinés l'un à l'autre, sont très-propres à vérifier notre théorie. Une petite colonne d'eau, dans un tube conique ouvert par ses deux extrémités et maintenu horizontalement, se porte vers le sommet du tube, et l'on voit que cela doit être. En efl^et, la surface de la colonne fluide est concave à ses deux extrémités; mais le rayon de cette surface est plus petit du côté du sommet que du côté de la base; l'action du fluide sur lui-même est donc moindre du côté du sommet, et par conséquent la colonne doit tendre vers ce côté. Si la colonne fluide est de mercure, alors sa surface est convexe, et son rayon est moindre encore vers le sommet que vers la base ; mais , à

raison de sa convexité, l'action du fluide sur lui-même est plus grande vers le sommet, et la colonne doit se porter vers la base du tube.

On peut balancer cette action par le propre poids de la colonne et la tenir suspendue en équilibre en inclinant l'axe du tube à l'horizon, Un calcul fort simple fait voir que, si la longueur de la colonne est peu considérable, le sinus de l'inclinaison de l'axe est alors à peu près en raison inverse du carré de la distance du milieu de la colonne au sommet du cône, ce qui a lieu semblablement si l'on place une goutte fluide entre deux plans qui forment entre eux un très-petit angle en se touchant par leurs bords horizontaux. Ces résultats sont entièrement conformes à l'expérience, comme on peut le voir dans VOptique de Newton (Question 31). Ce grand géomètre a essayé de les expliquer; son explication, comparée à celle que nous venons de donner, fait ressortir les avantages d'une théorie mathématique et précise.

Le calcul nous apprend encore que le sinus de l'inclinaison de l'axe du cône à l'horizon est alors à peu près égal à une fraction dont le dénominateur est la distance du milieu de la goutte au sommet du cône et dont le numérateur est la hauteur à laquelle le fluide s'élèverait dans un tube cylindrique dont le diamètre serait celui du cône au milieu de la colonne. Si les deux plans qui renferment une goutte du même fluide forment entre eux un angle égal à l'angle formé par l'axe du cône et ses côtés, l'inclinaison à l'horizon du plan qui divise également l'angle formé par les plans doit être la même que celle de l'axe du cône, pour que la goutte reste en équilibre. Hawksbee a fait avec un très-grand soin une expérience de ce genre, que je rapporte ici en la comparant au théorème précédent; le peu de différence qui existe entre les résultats de cette expérience et ce théorème en est une preuve incontestable.

La théorie donne l'explication et la mesure d'un phénomène singulier qu'o/Tre l'expérience. Soit que le fluide s'élève ou s'abaisse entre deux plans verticaux et parallèles plongeant dans ce fluide par leurs extrémités inférieures, ces plans tendent à se rapprocher. L'Analyse nous montre que, si le fluide s'élève entre eux, chaque plan éprouve,

(lu dehors en dedans, une pression égale à celle d'une colonne du même fluide dont la hauteur serait la moitié de la somme des élévations audessus du niveau des points de contact des surfaces intérieures et extérieures du fluide avec le plan, et dont la base serait la partie du plan comprise entre les deux lignes horizontales menées par ces points. Si le fluide s'abaisse entre les plans, chacun d'eux éprouvera pareillement, du dehors en dedans, une pression égale à celle d'une colonne du même fluide dont la hauteur serait la moitié de la somme des abaissements au-dessous du niveau des points de contact des surfaces intérieures et extérieures du fluide avec le plan, et dont la base serait la partie du plan comprise entre les deux lignes horizontales menées par ces points.

Les physiciens n'ayant considéré jusqu'ici la concavité et la convexité des surfaces des fluides dans les espaces capillaires que comme un eff'et secondaire de la capillarité, et non comme la principale cause de ce genre de phénomènes, ils ont mis peu d'importance à déterminer la courbure de ces surfaces. Mais la théorie précédente faisant dépendre ^incipalement de cette courbure tous ces phénomènes, il devient intéressant de la déterminer. Plusieurs expériences, faites avec beaucoup de précision par M. Haùy, indiquent que, dans les tubes de verre capillaires et d'un très-petit diamètre, la surface concave de l'eau et des huiles et la surface convexe du mercure difl^èrent très-peu de celle d'une demi-sphère.

Clairaut a fait cette singulière remarque, savoir que, si la loi de l'attraction de la matière du tube sur le fluide ne diff*ère que par son intensité de la loi de l'attraction du fluide sur lui-même, le fluide s'élèvera au-dessus du niveau tant que l'intensité de la première de ces attractions surpassera la moitié de l'intensité de la seconde. Si elle en est exactement la moitié, il est facile de s'assurer que la surface du fluide dans le tube sera horizontale et qu'il ne s'élèvera pas au-dessus du niveau. Si ces deux intensités sont égales, la surface du fluide dans le tube sera concave et celle d'une demi-sphère, et il y aura élévation du fluide. Si l'intensité de l'attraction du tube est nulle ou insensible, la

surface du fluide dans le tube sera convexe et celle d'une demi-sphère; il y aura dépression du fluide. Entre ces deux limites, la surface du fluide sera celle d'un segment sphérique, et elle sera concave ou convexe suivant que l'intensité de l'attraction de la matière du tube sur le fluide sera plus grande ou plus petite que la moitié de celle de l'attraction du fluide sur lui-même.

Si l'intensité de l'attraction du tube sur le fluide surpasse celle de l'attraction du fluide sur lui-même, il me paraît vraisemblable qu'alors le fluide , en s'attachant au tube , forme un tube intérieur qui seul élève le fluide dont la surface est concave et celle d'une demi-sphère. On peut conjecturer avec vraisemblance que ce cas est celui de l'eau et des huiles dans les tubes de verre.

Les fluides qui s'élèvent entre des plans verticaux formant entre eux de très-petits angles ou qui s'écoulent par des siphons capillaires présentent divers phénomènes qui sont autant de corollaires de ma théorie. En général, si l'on se donne la peine de la comparer aux nombreuses expériences des physiciens sur l'action capillaire, on verra que les résultats obtenus dans ces expériences, lorsqu'elles ont été faites avec les précautions convenables, s'en déduisent, non par des considérations vagues et toujours incertaines, mais par une suite de raisonnements géométriques qui me paraissent ne laisser aucun doute sur la vérité de cette théorie. Je désire que cette application de l'Analyse à l'un des objets les plus curieux de la Physique puisse intéresser les géomètres et les exciter à multiplier de plus en plus ces applications, qui joignent à l'avantage d'assurer les théories physiques celui de perfectionner l'Analyse elle-même, en exigeant souvent de nouveaux artifices de calcul.