THEORIE DE L ACTION CAPILLAIRE
1. Considérons un vase ABCD [fig. i), plein d'eau jusqu'en AB, et concevons un tube capillaire de verre NMEF, ouvert par ses deux extrémités et plongeant dans le vase par son extrémité inférieure; l'eau s'élèvera dans le tube jusqu'en 0, et sa surface prendra la figure concave NOM, 0 étant le point le plus bas de cette surface. Imaginons,
Fig. I.
par ce point et par l'axe du tube, un filet d'eau renfermé dans un canal infiniment étroit OZRV; il est clair, d'après le principe que nous venons d'exposer sur le peu d'étendue des attractions capillaires, que l'action de l'eau inférieure à l'horizontale lOK sera la même sur la colonne OZ que l'action du vase sur la colonne VR. Mais le ménisque MIOKN agira sur la colonne OZ de bas en haut et tendra, par conséquent, à soulever le fluide. Ainsi, dans l'état d'équilibre, l'eau du canal OZRV devra être
SUPPLÉMENT AU LIVKE X. 359
plus élevée dans le tube que dans le vase, pour compenser par son poids cette action du ménisque.
La loi de cette ascension dans les tubes de différents diamètres dépend de l'attraction du ménisque, et ici, comme dans la théorie de la figure des planètes, il y a une dépendance réciproque de la figure et de l'attraction du corps qui rend leur détermination difficile. Pour y parvenir, nous allons considérer l'action d'un corps de figure quelconque sur une colonne fluide renfermée dans un canal infiniment étroit, perpendiculaire à sa surface, et dont nous prendrons la base pour unité.
Supposons d'abord que le corps soit une sphère, et déterminons son action sur le fluide renfermé dans un canal extérieur perpendiculaire à sa surface. Reprenons, pour cela, l'analyse que nous avons donnée dans le n** 12 du Livre il. Soit r la distance du point attiré au centre d'une couche sphérique dont u est le rayon et du l'épaisseur. Soient encore 6 l'angle que le rayon u fait avec la droite r, et cj l'angle que le plan qui passe par les deux droites r et u fait avec un plan fixe passant parla droite r; l'élément de la couche sphérique sera u^dudvsdfisin^i. Si l'on nomme ensuite /la distance de cet élément au point attiré, que nous supposerons extérieur à la couche, nous aurons
/- = /•■- ~ 2 ru ces 6 ~\- U-.
Représentons par ç(/) la loi de l'attraction à la distance/, attraction qui, dans le cas présent, est insensible lorsque /a une valeur sensible; l'action de l'élément de la couche sur le point attiré, décomposée parallèlement à r et dirigée vers le centre de la couche, sera
li- du dm dO smQ j. ?(/)•
On a
r—u ces Q df
ce qui donne à la quantité précédente cette forme
[a] u-^dudvsdBs\nO-j-(if[f).
Désignons par c — n{/) l'intégrale Sd/<^{/), prise depuis /=o, c étant la valeur de cette intégrale lorsque/ est infini; n(/) sera une quantité positive qui décroît avec une extrême rapidité, de manière à devenir insensible lorsque / a une valeur sensible. La quantité précédente {a) sera le coefficient de cardans la différentielle, prise par rapport à r, de la fonction
u^dudwdB s\nô[c —ll{f)],
et, par conséquent, elle sera le coefficient de cardans la différentielle de
la fonction
— u^ du dîjsdd sine ll{f).
Pour étendre cette fonction à la couche entière, il faut d'abord l'intégrer relativement à w, depuis vs = o jusqu'à tr = 2Tr, x étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, et alors elle devient
— vfKu'^dud9smeJl{f).
Il faut ensuite intégrer cette dernière fonction depuis G = o jusqu'à 6 = 77. On a, en différentiant la valeur précédente de/^ par rapport à 6,
'd9sm0=i^, ru
et par conséquent
-'27:u^dufdQsmeil{f) = -^i:~~ffdfn{f].
Représentons encore l'intégrale f/d/Il{/) par c'~^(/), c' étant la valeur de cette intégrale lorsque /est infini; W{/) sera encore une quantité positive qui décroît avec une extrême rapidité. On aura, en observant que l'intégrale doit être prise depuis 6 = 0 jusqu'à 0 = r et qu'à ces deux points/= r—u et/= r-h u,
- '27:u^dufdesin6n{f) = - Vl^ [^(r- u) - ^(rn- «)].
En différentiant cette fonction par rapport à r, le coefficient de dr donnera l'attraction de la couche sur le point attiré; mais, si l'on veut avoir
l'action de la couche sur une colonne fluide dirigée suivant r et dont l'extrémité la plus voisine du centre de la couche soit à la distance b de ce centre, il faut multiplier ce coefficient par dr et prendre l'intégrale du produit, ce qui redonne la fonction précédente elle-même, à laquelle il faut ajouter une constante, que l'on doit déterminer de manière que l'intégrale commence lorsque r = b. On aura ainsi, pour cette intégrale,
Maintenant W{b-i-u) est une quantité toujours insensible lorsque b a une valeur sensible, et si, comme nous le supposerons, r, à l'extrémité de la colonne la plus éloignée du centre de la couche, surpasse b d'une quantité sensible, W{r— u) sera insensible, et à plus forte raison W{r-+- u); la fonction précédente se réduira donc à celle-ci :
qui, par conséquent, exprimera l'action de la couche sur le fluide renfermé dans un canal infiniment étroit, dirigé suivant r, et dont l'extrémité la plus voisine du centre de la couche en est distante de la quantité b. Cette action est évidemment la pression que ce fluide exercerait, en vertu de l'attraction de la couche, sur une base plane placée à cette extrémité, dans l'intérieur du canal, perpendiculairement à sa direction, cette base étant prise pour unité.
Pour avoir l'action de la sphère entière dont le rayon est b, supposons 6 — M = z ; cette action sera égale à l'intégrale
-dz^[z),
prise depuis z = o jusqu'à z — b. Soit donc K l'intégrale iizjdz W(z), prise dans ces limites, et H l'intégrale 2'KfzdzW{z), prise dans les
OF.uvres de L, — IV. 4^
mêmes limites; l'action précédente deviendra
On doit observer ici que K et H peuvent être considérés comme étant indépendants de b; car, W{z) n'étant sensible qu'à des distances insensibles, il est indifférent de prendre les intégrales précédentes depuis z = o jusqu'à z=^b ou depuis s = o jusqu'à z infini, en sorte qu'on peut supposer que K et H répondent à ces dernières limites.
On doit observer encore que -r est considérablement plus petit que K, parce que la différentielle de son expression est la différentielle de l'expression de K, multipliée par r; ainsi, le facteur ^{z) de ces différentielles n'étant sensible que pour des valeurs insensibles de t5 l'in-
TT
tégrale -r doit être considérablement plus petite que l'intégrale K.
L'action de la sphère entière sur la colonne fluide qui la touche
étant K — ^j cette quantité exprimera encore l'action d'un segment
sphérique sensible que forme la section de la sphère par un plan auquel la direction de la colonne est perpendiculaire; car, la partie de la sphère située au delà de ce plan étant à une distance sensible de la
colonne, son action sur cette colonne est insensible; K — ^ exprimera
donc, par cette raison, l'action d'un corps quelconque, terminé par la surface convexe d'un segment sphérique dont le rayon est h, sur une colonne fluide extérieure et perpendiculaire à cette surface.
Dans l'expression K — v^, K représente l'action d'un corps terminé
par une surface plane; car alors, h étant infini, le terme -r disparaît;
ce dernier terme exprime donc l'action du ménisque MIOKN {Jig. i), différence du segment sphérique au solide terminé par un plan tangent, pour soulever la colonne OZ; ainsi cette action est réciproque au rayon b de la surface MON, supposée sphérique.
On peut observer ici que la fonction K est analogue à celle que j'ai désignée par la même lettre dans la théorie des réfractions astronomiques, exposée dans le Livre X.
2. Il est facile de conclure, de ce qui précède, l'action d'une sphère sur une colonne fluide intérieure infiniment étroite et perpendiculaire à sa surface. Concevons deux sphères égales, MON et POQ [Jig. 2), en
Fig. 2.
contact au point 0. Soient lOK un plan tangent à ces deux sphères et OS la colonne fluide. Le point q du ménisque inférieur lOQPK agira sur la colonne OS pour la soulever. En eff'et, si l'on forme le triangle isoscèle O^r, il est visible que les actions du point q sur la partie Or de la colonne se détruisent mutuellement; mais, par son action sur rS, il tend à soulever le fluide de la même manière qu'un point q' semblablement placé dans le ménisque supérieur lOMNK. Les deux ménisques agissent donc avec la même force pour soulever le fluide de la colonne ; or on a vu, dans le numéro précédent, que l'action du ménisque supé-
rr
rieur, pour cet objet, est -r- : cette quantité exprime donc pareillement
l'action du ménisque inférieur.
Maintenant, l'action d'une masse indéfinie supérieure à OS et terminée par le plan lOK est la même sur la colonne OS que celle d'une masse inférieure terminée par le même plan; car un point quelconque r de cette colonne est également attiré par les deux masses, mais dans
Z6h. MÉCANIQUE CÉLESTE.
des directions contraires, puisqu'il est en équilibre au milieu de ces attractions. Ainsi, K exprimant, par le numéro précédent, l'action de la masse supérieure sur la colonne OS, il exprimera aussi l'action de la masse inférieure sur cette colonne, de haut en bas; or cette action est composée de deux parties, savoir de celle de la sphère QOP et de l'action du ménisque lOQPK. En nommant donc S l'action de la sphère, et en observant que le ménisque attire la colonne de bas en haut et
que son action sur elle est -r, on aura
partant
d'où il suit que l'action d'un corps terminé par une portion sensible de surface sphérique sur une colonne fluide placée dans son intérieur et
perpendiculaire au milieu de cette surface est représentée par K 4- y
Si la surface du corps, au lieu d'être convexe, est concave, comme dans \2i fig. I, alors l'action de la masse MEFN sur le canal OZ sera,
comme on vient de le voir, égale à K— y Ainsi l'action d'un corps
TT
terminé par une portion sensible de surface sphérique sera K ± ^j le
signe + ayant lieu si la surface est convexe, et le signe — si elle est concave.
3. On peut maintenant déterminer généralement l'action d'un corps terminé par une surface courbe sur une colonne fluide intérieure renfermée dans un canal infiniment étroit perpendiculaire à un point quelconque de cette surface. Si l'on conçoit par ce point un ellipsoïde osculateur, l'action de cet ellipsoïde sera la même à très-peu près que celle du solide, puisque, cette action étant supposée ne s'étendre sensiblement qu'à des distances insensibles, le ménisque diff"érence du solide et de l'ellipsoïde n'a point d'action sensible sur la colonne, aux
points où ces deux corps s'écartent sensiblement l'un de l'autre. On a vu, dans le n° 1, que l'action du ménisque qui fait la différence de la
TT
sphère au solide terminé par un plan tangent est ^» et qu'elle est,
relativement à l'action K de ce solide, de l'ordre t» z étant égal ou
moindre que le rayon de la sphère d'action sensible du corps. Il est aisé de voir que, par la même raison, l'action du ménisque différence de
rr
l'ellipsoïde osculateur au corps sera, par rapport à l'action -r-) de l'ordre T' et par conséquent qu'elle peut être négligée relativement à -r' Déterminons donc l'action de l'ellipsoïde osculateur sur la colonne. Un des axes de cet ellipsoïde est dans la direction même de la colonne; nommons cet axe 2a. Si l'on fait passer deux plans par cet axe et par les deux autres axes de l'ellipsoïde, leurs sections donneront* deux ellipses, qui auront chacune la pour un de leurs axes. Nommons 2.a' et ia" les deux autres axes. Le rayon osculateur de la pre-
mière ellipse au point de contact du corps et de l'ellipsoïde sera — -,
et celui de la seconde au même point sera — Nommons b et b' ces
deux rayons osculateurs. Si, par le même point de contact et par l'axe 2a, on fait passer un plan qui forme l'angle ô avec le plan qui passe par les deux axes ia et la', la section de l'ellipsoïde par ce nouveau plan sera une ellipse, dont 2a sera un des axes et dont l'autre axe, que nous désignerons par 2A, sera tel que
n"in"i
a'^sin^ô -\- a"'^ co'à'^0
Le rayon osculateur de cette ellipse au point de contact est — s en nommant donc B ce rayon, on aura
4 = «(— sin2 9+ -^cos2 9)=I•/7sin2 0-^ Icos^ô. B \a"^ a ^ I o h
L'action d'une portion infiniment petite de l'ellipsoïde formée par le
plan qui passe par les axes ia et 2 A, et par un autre plan faisant avec le premier l'angle d^ et passant par l'axe ia, cette action, dis-je, est à très-peu près la même que celle d'une portion semblable d'une sphère dont le rayon serait B; ainsi, l'action de cette sphère étant, par ce qui
précède, K -h :^» celle de la portion infiniment petite dont il s'agit
sera — c?6(Kh-^j; l'action entière de l'ellipsoïde sur le canal sera donc
~ JdQ (k + 3 cos2 0 + 5 sin2 b\
l'intégrale devant être prise depuis G = o jusqu'à 9 = 2:7, ce qui donne pour cette action
Si la surface est concave, il faut supposer b et b' négatifs. Si elle est en partie concave et en partie convexe, comme la gorge d'une poulie, il faut supposer positif le rayon osculateur relatif à la partie convexe et négatif celui qui appartient à la partie concave.
En nommant B et B' les rayons osculateurs des sections de la surface du corps par deux plans qui forment entre eux un angle droit, on aura, par ce qui précède,
- = TTsin^ô -f- - cos^B, •^ a o o
d'où l'on conclut, en changeant 6 en - + 9, ce qui change B en B',
— = — cos^ ^ + 7 sin2 B ,
partant
L'action précédente peut donc encore être mise sous cette forme,
c'est-à-dire que l'action d'un corps de figure quelconque sur le fluide renfermé dans un canal infiniment étroit, perpendiculaire à un point quelconque de sa surface, est égale à la demi-somme des actions de deux sphères qui auraient pour rayons le rayon osculateur d'une section quelconque de la surface par un plan mené perpendiculairement à la surface par ce point et le rayon osculateur de la section formée par un plan perpendiculaire au premier.
4. Déterminons présentement la surface de l'eau renfermée dans un tube de figure quelconque. On peut, comme on sait, employer dans cette recherche ou le principe de l'équilibre d'un canal curviligne aboutissant par ses extrémités à deux points de la surface, ou le principe de la perpendicularité de la force à la surface. Dans la question présente, le premier de ces principes a un grand avantage sur le second en ce qu'il n'exige que la détermination des deux actions K
et — l^ + pU et même la seule détermination de la seconde action, la
première K disparaissant de l'équation à la surface, comme on le verra bientôt. Quoique la force qui produit cette seconde action soit, à la surface, incomparablement plus puissante que la pesanteur, cependant, cette force n'agissant que dans un intervalle insensible, son action sur une colonne fluide d'une longueur sensible est comparable à l'action de la pesanteur sur cette colonne. Mais, si l'on voulait faire usage du principe de la perpendicularité de la résultante de toutes les forces à la surface, il faudrait considérer, non-seulement les forces qui produisent les actions K et — ( ^ + ^J? forces qui doivent être perpendiculaires à cette surface, mais encore la pesanteur et la force qui résulte de l'attraction du ménisque difl'érence de l'ellipsoïde osculateur et du corps; car, quoiqu'il n'en résulte qu'une action insensible sur une colonne fluide, parce que cette force n'agit sensiblement que dans un intervalle insensible, cependant elle est du même ordre que la pesanteur. La difficulté d'évaluer toutes ces forces et leurs directions rend donc ici le principe de l'équilibre des canaux beaucoup plus commode.
Soit donc 0 [fig- 3) le point le plus bas de la surface AOB de l'eau renfermée dans un tube. Nommons z la coordonnée verticale OM, x et j les deux coordonnées horizontales d'un point quelconque N de la
surface. Soient R et R' le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface à ce point.
R et R' seront les deux racines de l'équation
équation dans laquelle
dz
dz d^z
On aura donc
I I {i-{- q'^)r— ipqs -h [i-^ p'^)t
Cela posé, si l'on conçoit un canal quelconque infiniment étroit NSO, on doit avoir, par la loi de l'équilibre du fluide renfermé dans ce canal,
b et b' étant le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface au point 0, et g étant la pesanteur. En effet, l'action du fluide
sur le canal au point N est, par ce qui précède, K f ^ + ^,j» et de
plus, la hauteur du point N au-dessus du point 0 est z. L'équation pré-
cédente donne, en y substituant pour - + ^^ sa valeur,
{i -{-q^)r—'ipqs-hij-hp'^]t "^gz i j ^ (a) -j- ~--ïr-6"^F'
cette équation est aux différences partielles du second ordre : en l'intégrant, on aura deux fonctions arbitraires, que l'on déterminera par l'équation de la surface des parois du tube dans lequel le fluide est renfermé et par l'inclinaison des plans extrêmes de la surface du fluide, inclinaison qui, comme on l'a vu, doit être la même pour tous ces plans. Lorsque la surface est de révolution autour de l'axe des z, l'équation précédente se réduit aux diff'érences ordinaires. En eff'et, z devient alors une fonction de \/x^-+-y^. Soit u = \/x^-^y^; on aura
dz X dz d^z sc"^ d^z f^ dz
dx u du dx^ M^ du- u^ du
â'^z __ xy d^z xy dz dx dy u^ du^ u^ du
dz y dz d^z y^ d^z x"^ dz
dy M du ôf^ u^ du^ u^ du
L'équation précédente devient ainsi
d^z ldz/ dz^
du^ udu\ du'^J "îgz
dz^^'^ du^j
car, au point 0, è est égal kb' lorsque la surface est de révolution. Dans le cas où la surface est une couronne circulaire, b et b' étant inégaux,
j exprime alors la somme des deux fractions qui, ayant l'unité pour
numérateur, ont pour dénominateurs le plus grand et le plus petit des
rayons osculateurs au point le plus bas de la surface. On peut observer
encore que, dans l'équation (6), le terme ^ représente ^^
/ dz^y
OEuvres de L. — \\ . 4?
passant par l'axe de révolution. Le terme — — représente ^, ;
du'^
R étant le rayon osculateur de la section de la surface par un plan
I dz u du
R' étant l'autre rayon de courbure ; ce rayon est égal à la perpendiculaire à la surface, prolongée jusqu'à sa rencontre avec l'axe de révolution.
Soit ^ = a; on aura, en intégrant,
dz
ixj zudu:= -r- + const.
du
dz^
'-^dïT^
En faisant commencer l'intégrale fzudu avec m, la constante sera
nulle. Soit
, lacb ^ j
u =z u^ I zudu;
l'équation précédente donnera
u' du
dz =.
v/62 — m'2 Dans le cas de oc nul, on a m'= w, ce qui donne
z — b—sJb-^—u^, et par conséquent
"^ fzudu= — {bu^-h'i[b^- u-^f-^b^].
La différentielle du second membre de cette équation est ab''^du{^u^ + ib^] labdu
slb'^ — ui[b^-hiu^).
Si l'on néglige les quantités de l'ordre a?, on peut changer u en u' dans cette fonction différentielle. On aura ainsi, en différentiant l'expression
précédente de u' ,
du = du'[x - ocb^) + ^ du'[{b^ + 2m'2) ^W^l^'^- b^},
ce qui donne
, u'du'{i — ûcb^) labdu' f,^ ,, b^ \
Soit m' = 6 sin 6; on aura
— - =d9sm9ii — <x.b^] h ^ — a9 sin20
b ^ ' 3 V ces
ce qui donne, en intégrant,
^ = (i — a62)(i — CCS 5) H- ^ (i — cos-iô) + ^:^— logcos^0.
En nommant / le demi-diamètre du tube, et observant que ce demidiamètre est à très-peu près égal à la valeur extrême de u, parce que les plans extrêmes de la surface du segment que nous considérons ne sont, comme on l'a vu, éloignés du tube que d'une quantité imperceptible, on aura, pour la valeur extrême de u' ,
u'=l-]-ccb^l~jocj-{-^ocjCOS^d\
6' étant ici la valeur extrême de 0, valeur qui est le complément de l'angle que les côtés extrêmes de la courbe AOB forment avec les parois du tube. On a ensuite, pour la valeur extrême de u\
u'=: b sin9'.
En comparant ces deux valeurs de u\ on aura
,___/ ccb^l a ccb^ i ocb^ ces"» g' ~ sinô' "^ sîrTô" ~ 3 TsinS' "^ 3 ~7sin0' '
ou, à très-peu près,
. / ce/3 ^ a/^ 2 «/3 cos3 q'
~ siu0' sin^ô' 3 sin^ô' 3 sin^ô'
ce qui donne, pour la valeur extrême de z.
et
/tangue' I — fa — ^ — ^-tk, ^ + 5-7—^ + -^t^-tk, logcos^ô'
I sin g' r g/^ / 2 I — cos^e^X"!
Il est facile de s'assurer que les expressions de s et de r ont encore
lieu lorsque la surface du fluide est convexe; seulement les z doivent alors être comptés de haut en bas, depuis le point le plus élevé de la surface.
5. Considérons présentement le tube capillaire MNFE [fig- i). L'action du ménisque MIOKN pour soulever le fluide du canal OZ est, par le
n° 1, égale à ^- Si l'on nomme q l'élévation du point 0 au-dessus du
niveau du fluide du vase ABCD, on aura, par le même numéro, j =^g<l''>
en substituant donc pour r sa valeur trouvée dans le numéro précédent, on aura, k très-peu près,
Hsin^T a/2
-1 I— ^os^V"!
3 ~sin-^0' )\
Pour déterminer a, nous observerons que a = ^ et que l'on a à très peu près q= — -. — ? ce qui donne
sin 9' a= — 7- > ql
et par conséquent
H sin 9' r / / ^ I — ces
g-/ L ^ sin Q' \ 3 sin^ Q
— est une quantité constante quel que soit le demi-diamètre / du tube,
et H' est, comme on l'a vu, une quantité indépendante de ce demi-dia-
mètre; de plus, si /est très-petit, la fraction -peut être négligée visà-vis de l'unité ; on aura donc, à très-peu près,
H sinô' consl.
^ g l il
c'est-à-dire que l'élévation du fluide est à très-peu près réciproque au diamètre du tube, conformément à l'expérience.
Pour juger de l'approximation que l'on obtient en supposant
^ = -. — > supposons 6' égal au quart de la circonférence, ce qui paraît avoir lieu pour l'eau dans un tube capillaire de verre; le terme que l'on néglige alors est — ^ ou — ^v-- En supposant / égal à i millimètre ou le diamètre du tube égal à 2 millimètres, on a, par l'observation, comme on le verra dans la suite, relativement à l'eau dans
un tube de verre, 5^ = 6°^'",784; la fraction ^ devient donc alors
— ^^\ elle peut donc être négligée relativement à l'unité. Dans les
tubes plus étroits, cette fraction diminue en raison du carré de /, car q augmente en raison réciproque de /. On voit ainsi que dans les tubes capillaires on peut supposer, sans erreur sensible,
consl.
OU la hauteur du fluide au-dessus du niveau en raison inverse du diamètre du tube.
Si la surface du fluide intérieur est convexe, en concevant, comme précédemment, par l'axe du tube, un canal infiniment étroit qui, se recourbant au-dessous du tube, aille aboutir à la surface du fluide contenu dans le vase, l'action du fluide du tube sur le canal intérieur sera,
par le n° 1, égale à K + y L'action du fluide du vase sur la branche
extérieure du canal sera égale à K. Mais, si l'on nomme q l'élévation du fluide extérieur au-dessus du fluide de la branche intérieure du canal,
Zn MÉCANIQUE CÉLESTE.
il faudra ajouter à l'action K le poids gq; on aura donc, par la condition de l'équilibre du fluide renfermé dans le canal,
ce qui donne
et par conséquent
H sin0
/ L^ ^sinô'V ^ sin2 0' jj
d'où il suit que, dans les tubes très-étroits, la dépression q du fluide intérieur du tube au-dessous du niveau du fluide extérieur est réciproque au diamètre 2/ du tube, ce que l'expérience indique encore.
Si le tube est incliné à l'horizon, la surface du fluide qu'il renferme sera à très-peu près la même que si le tube était vertical; elle sera, dans l'un et l'autre cas, à fort peu près celle d'un segment sphérique dont l'axe est celui du tube, parce que l'action de la pesanteur ne fait qu'introduire dans les résultats du calcul des termes multipliés par a, et l'on vient de voir que, relativement aux tubes très-étroits, ces termes peuvent être négligés. En nommant donc q la hauteur verticale du fluide au-dessus du niveau ou sa dépression au-dessous, on aura toujours
H sinô'
ce qui est conforme à l'expérience.
6. On peut étendre l'analyse précédente au cas où un tube cylindrique serait traversé par un cylindre de même matière et qui aurait le même axe que le tube. Le fluide s'élèverait dans l'espace compris entre les parois intérieures du tube et la surface du cylindre, et, si cet espace est capillaire, on déterminera ainsi l'équation de la surface du fluide qu'il renferme.
Reprenons l'équation différentielle (b) du n° 4. Le terme î de son second membre exprime ici la somme de deux fractions qui ont cha-
cune l'unité pour numérateur, et pour dénominateurs le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface du fluide au point le plus bas d'où l'on compte les z. Cette équation donne, en l'intégrant,
dz
du ^ j u^
— -ixj zudu = -j- + const.
dz^ '-^du?
Pour déterminer la constante, nous observerons qu'au point où le fluide touche la surface du cylindre on a
dz du
dz-^ dû^
sinô'.
Je donne à sin6' le signe —, parce qu'à ce point ~ est une quantité
négative. En faisant donc commencer l'intégrale Jzudu à ce point, et
nommant / le rayon du cylindre ou la valeur de m à ce même point,
on aura
const. = — / sin 0' — -r ?
ce qui donne
dz
du „ , m2/2
■2ocjzudu=: — r Ismd .
dz-^
'-^diT-
Supposons d'abord a nul, et nommons /' le rayon du creux du tube; /' sera la valeur de u au point où le fluide touche les parois du tube. A ce point on a
on a donc à ce point
/sini
ce qui donne
dz
du
dz'^ '^du^
sin0'
I sm6' b~ l-l
sinl
Gela posé, on aura
"rfa «2—//' . .,
dz^ l — l
^-^rf^
d'où l'on tire
(M2//')c?asin0'
rfz =
v/(/' — /)2m2 - (m2— //' )2 sin2 0'
équation dont l'intégrale dépend de la rectification des sections coniques, a n'étant plus supposé nul, on a
£ sin9' a a r ^
l'intégrale Jzudu étant prise depuis m = / jusqu'à u = l'. On a
Jzudu z=z^u^z — ^fu^dz.
Si l'on néglige les quantités de l'ordre a, l'expression précédente de dz, substituée dans le second membre de cette équation, donnera
r , , oT (u^— indusinO' i C (u^— ll']u^dusin9'
J ^{l'—i)''u-^- {W^- II' y sin^e' -^ J ^[l'-iy^ u^-{u'-U' )^sin^ 9'
et, par conséquent, on aura, aux quantités près de l'ordre a^ (*), 1— ?l5l' r, «"'^ r {u^ — ll')du g r (iû—ll')u^du 1
f>~ i'-ll ' + '' J v/(/'-/)2a2(e^2//'j2sin2ô' "*" l-^l' J v/(F-/)2M2(w2/>)2sin2 0'J'
les intégrales étant prises depuis u = l jusqu'à u — V . Ces intégrales ne peuvent être déterminées que par approximation ; mais il nous suf-
( ' ) Celte formule est évidemment inexacte, puisqu'elle contient « en dehors du signe / et qu'ainsi elle donnerait, pour la constante tî une valeur variable. Il est aisé de rectifier l'analyse de l'auteur et de s'assurer qu'on a
où l'on a représenté par U l'expression "~ ,,
y/(/'/)ï„i(„î.//')ïsinîô' V. P.
tira d'observer ici que, a étant fort petit lorsque l'espace compris
entre les parois du tube et le cylindre est très-étroit, on peut, sans
erreur sensible, négliger les termes multipliés par a, comme on a vu
dans le n° 5 que cela pouvait se faire dans un tube très-étroit. On aura
alors à très-peu près
I sin0'
7. Imaginons maintenant, par le point le plus bas de la surface du fluide compris dans l'espace capillaire, un canal infiniment étroit parallèle à l'axe du tube, et qui, en se recourbant au-dessous du tube, aille aboutir à la surface du fluide contenu dans le vase dans lequel le tube
est plongé. L'action du fluide intérieur sur ce canal sera K— ^; car, t
étant, par ce qui précède, la somme de deux fractions qui ont pour numérateur l'unité et pour dénominateurs le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface au point le plus bas, l'action du
fluide intérieur sera, par le théorème du n° 3, K — ^Hv* Cette action sera donc, par le numéro précédent,
Si l'on nomme q' l'élévation du fluide dans la branche intérieure du canal au-dessus du niveau du fluide du vase, en ajoutant gq' à l'action précédente, la somme doit faire équilibre à l'action K du fluide du vase sur le canal; on aura donc
ce qui donne
, H sin0'
Par le n** 5, l'élévation du fluide au-dessus de son niveau, dans un tube dont le rayon est / — /, est égale à cette valeur de q'; le fluide s'élève donc dans l'espace capillaire comme dans un tube dont le rayon est égal à la largeur de cet espace.
OEuvres de L.- W. ^S
Si la surface du fluide est convexe, l'expression précédente de q' est alors celle de la dépression du fluide au-dessous du niveau, et le fluide s'abaisse dans l'espace capillaire comme dans un tube dont le rayon est égal à la largeur de cet espace.
En supposant infinis les rayons du tube et du cylindre, on aura le cas de deux plans verticaux et parallèles très-proches l'un de l'autre; le théorème précédent a donc encore lieu dans ce cas, que nous allons traiter par une analyse particulière.
8. AOB {fig. 3) étant la section de la surface du fluide compris entre les deux plans par un plan vertical qui leur soit perpendiculaire, si l'on nomme NM, j, z sera fonction de y seul. De plus, h et b' étant le plus grand et le plus petit rayon osculateur de la surface du fluide au point 0 le plus bas, h sera infini et b' sera le rayon osculateur de la courbe AOB au point 0. On aura ainsi, dans l'équation (a) aux difl'érences partielles
du n" 4,
dz I r=o, s = o, p = o, q = ^^ ^=o;
cette équation devient, par conséquent,
en la multipliant par dz et l'intégrant, on aura
— (xz^= -n -+■ consl.
dz^
dz Au point 0, ^=o; donc const. = — i, et par conséquent
''^ dy^ Soit
-{- OiZ'^ =
dz^ *b'
i£ = — 77 az'
df
Cette équation est celle de la courbe élastique : cela doit être, parce qu'ici, comme dans la courbe élastique, la force qui dépend de la courbure est réciproque au rayon osculateur. Au point A le plus élevé de
dz la courbe AN, on a -i- = tangO', 6' étant comme ci-dessus le complément de l'angle que le côté extrême de la courbe fait avec le plan ; on
a donc à ce point
Z — cosô',
ce qui donne, pour déterminer la valeur extrême de z,
-rT^-az2:^cosÔ'
ou
\ ^ Asin40'
2a6' ' V <^ ^oc^b"-
Si les deux plans sont à une distance infinie l'un de l'autre, h' est infini, et l'on a
^■2 oc
On a, par le n° 4, ^ = a : d'ailleurs, dans un tube capillaire dont le demi-diamètre est /, on a ^ = -^r— î q étant la hauteur à laquelle le fluide s'élève dans ce tube au-dessus du niveau ; on a donc
z — s/qltdiUgjO'.
En supposant 6' égal à un angle droit, comme cela paraît avoir lieu .pour l'eau relativement au verre, /étant i millimètre, on SLg=6^^,']S/\, ce qui donne, pour la hauteur à laquelle l'eau est soulevée par un plan de verre plongeant verticalement dans un vase rempli de ce fluide, 2"™,6o46. L'expérience doit donner cette hauteur un peu plus petite, parce que, le point que nous prenons pour l'origine de la courbe ne pou-
vant être sensible que par son écart des parois du tube, il doit être un peu au-dessous du point A. On doit observer que nous entendons toujours par le point A extrême le point le plus près du tube, situé hors de sa sphère d'activité sensible, et qui, étant à une distance insensible du tube, peut être censé le toucher.
Dans le cas d'une distance infinie des deux plans, l'équation différentielle de la courbe devient
'i — ocz^]dz
djr
XZ'
Ainsi, dans \^fig. 4» PQ étant la ligne de niveau du fluide, PV sera s,
Fig. 4.
et, faisant VN^j', on aura dy' — — dy\ l'équation différentielle de la courbe ANQ que le fluide forme près du plan AP sera donc
dr'=-
'i — ocz^]dz
z \ll(X. V^l — ^OLZ'^
équation facilement intégrable.
Si la distance mutuelle des plans est très-petite, l'équation
h'-z h' ou
OiZ'
donne, par la formule (p) du n° 21 du Livre II,
|r = I - Z - a6'2(i - Z)>H- 2a2 6'*(i - Z)»- 5as6'»(i -Z)*-4-,
d'où l'on tire
(/z = -6'c?Z[i-aa6'2{i-Z) +...]»
et par conséquent
dy ZdL{i — i<xh"^[i-Z) +...']
Soit Z = cos9; on aura
-^ = e/0 cosô[i — 2a6'2(i — COS0) + . . .],
d'où l'on tire, en intégrant,
^ =sin0 — a6'2(2sinô — B — ^sinai
on aura donc, en supposant que la valeur extrême dey est /, que celle de Ô est 0', et que l'on a, par ce qui précède, a = — r-»
-T— I r^r I — — T-^ — ^ COS0' -,
I sjni
ainsi, /étant fort petit relativement à q, lorsque les plans sont très-rapprochés, on a à fort peu près
F~ l Dans le cas de 0' égal à un angle droit, la fraction
qsin
devient
Si / est I millimètre, cette fraction, relativement à l'eau, est égale à g— g^(i — jTc), ou g g ; elle peut donc être négligée vis-à-vis de
l'unité.
L'expression précédente de ^7 donne, pour l'élévation q' du fluide entre deux plans verticaux et parallèles distants l'un de l'autre de 2/,
-7-1 ^~E> ï ^-Z7 — lCOS9'
;/ L qsmB \ 2Sin0 ^ /J
H sinô' r 2/ / 0'
g ii
C'est encore l'expression de la dépression du fluide au-dessous de son niveau, entre les mêmes plans, lorsque la surface intérieure du fluide, au lieu d'être concave, est convexe, et, dans le cas de /très-petit, elle
se réduit a tres-peu près a v--
Si les deux plans parallèles, au lieu d'être verticaux, sont inclinés à l'horizon, la surface du fluide intérieur et sa position relativement aux plans qui le renferment sont à très-peu près les mêmes que si les plans sont verticaux, comme on l'a vu dans le n° 5, relativement aux tubes inclinés. La hauteur verticale du fluide au-dessus du niveau est donc la même, quelle que soit l'inclinaison des plans.
9. Considérons maintenant une petite colonne de fluide renfermée dans un tube conique capillaire, ouvert par ses deux extrémités. Soient ABCD ce tube et MM'N'N la colonne fluide {Jig. 5). Supposons d'abord
Fig. 5.
l'axe OE du tube horizontal, 0 étant le sommet du cône prolongé par la pensée. Supposons de plus la surface du fluide concave. Il est visible que, le tube étant plus étroit en/? qu'en/?', le rayon de courbure de sa surface est plus petit dans le premier point que dans le second. En nommant donc h et h' ces rayons, l'action du fluide en/? sur un canal
T| TJ
infiniment étroit/?/?' sera K— -ri et en/?' cette action seraK— y\ ainsi, h' étant plus grand que è, cette action sera plus grande en /?' qu'en /?, et, par conséquent le fluide renfermé dans le canal tendra à se mou-
voir vers le sommet 0 du cône. Ce serait le contraire si la surface du fluide était convexe, car alors ces actions seraient respectivement K h- -r
etK+rr; l'action du fluide sur le canal est donc alors plus grande en p qu'en p', et, par conséquent, le fluide tend à se mouvoir de p vers p'.
Déterminons les rayons de courbure b et b'. Soit Oq = a, q étant le milieu de pp'. Nommons de plus icl la largeur pp' de la goutte et vs l'angle très-petit MO/?. Enfin nommons 0' le complément de l'inclinaison du côté extrême de l'arc /?M sur le côté OM du tube. Il est facile de voir que, si l'on suppose les courbes M/?N et M'/?'N' circulaires, on
aura
, (a — alsiriîn ,, («-f-a)sinnî
siny+smcj sin& — sincT
ce qui donne
H H Hsinô' (ia ia^ \ '>M ^Ha^
6 b' sincj \a^ a* / « a^
Mais si, en élevant le point A, on incline à l'horizon l'axe OE d'un angle V, le poids de la colonne pp' sera 2^asinV, g étant, comme cidessus, la pesanteur; lorsque la colonne reste suspendue en équilibre
au moyen de cette inclinaison, ce poids doit balancer la force -. — j;
avec laquelle elle est poussée vers 0 par l'attraction du fluide; on a donc, en négligeant les termes insensibles,
. ,. Hsinô' -îa -2 H
^e-a sm V = — -. —-h •
° sincj «2 a
Nommons / la hauteur à laquelle le fluide s'élèverait dans un tube cylindrique dont le demi-diamètre intérieur serait asincy ou dont le diamètre serait celui du tube conique au point y; on aura, par le n° 5,
, Hsinô' *' asmcj On aura donc
. ,. / /sincj a asinS
Le terme — r-77 peut être mis sous la forme 7—7r,\ 11 sera tres-
asiny ^ a oc sm 9'
petit par rapport au terme - si asintr est fort petit relativement à a,
c'est-à-dire si la longueur de la petite colonne est beaucoup plus grande que la largeur du cône au point q. Dans ce cas, on a à fort peu près
/étant en raison inverse de a, - est en raison inverse de a^, et, comme V
est un angle peu considérable, il en résulte que cet angle est alors à peu près réciproque au carré de la distance du milieu de la goutte au sommet du cône.
Le terme — r-7-, est dû à la différence des nombres de degrés que ce sm Q' D ^
renferment les arcs M/?N et M'p'K, et cette différence vient de ce que l'un de ces arcs tourne sa concavité et l'autre sa convexité vers le sommet 0 du cône. Le terme dépendant de cette différence peut donc être négligé sans erreur sensible lorsque la largeur 2a de la colonne est beaucoup plus grande que son épaisseur ou le diamètre du cône au point q, et alors on peut supposer que les deux courbes M/>N et M'/)'N' sont semblables.
Nous avons supposé les deux surfaces de la colonne fluide sphériques; mais cette supposition n'est pas exacte, et l'on voit, par le n° 4,
qu'à raison de l'action de la pesanteur g la valeur de t sera diminuée d'un petit terme de la forme tQS^'*» Q étant un coefficient indépendant de b. Pareillement, ^ sera diminué du terme ttOS^^î '«i diflfé-
