II II

rence -r — y sera donc augmentée de Qg{b' ~ b), ou, à très-peu près,

de ^vg'otsmro j^^ valeur de sinV sera donc augmentée du terme

.^'"^- Sans déterminer Q, on voit qu'il doit être un petit nombre, et il y a lieu de croire qu'il est au-dessous de l'unité, comme dans l'ex-

pression de t du n° 4, où il n'est que { lorsque G' est un angle droit.

La valeur de V ne sera donc augmentée par là que d'un angle très-petit et moindre que cj; ainsi l'on pourra, sans erreur sensible, négliger cet accroissement.

10. Considérons de la même manière une goutte de fluide entre deux plans qui se touchent par deux de leurs bords, supposés dans une situation horizontale. Cette goutte prendra entre ces plans une forme à peu près circulaire et semblable à celle d'une poulie. Déterminons d'abord la figure qu'elle prendrait entre deux plans horizontaux trèsproches l'un de l'autre. Sa surface sera celle d'un solide de révolution autour d'un axe vertical passant par son centre de gravité. En prenant donc ce point pour l'origine des ordonnées verticales z et des ordonnées horizontales u, on aura, par le n** 4, l'équation diff'érentielle

d^z I dz / dz^\

dn'^ u du \ du- J igz

/ dz^y "

b' étant le rayon de la circonférence produite par la section de la goutte par un plan horizontal mené par son centre de gravité; b est le rayon osculateur de la section de la surface de la goutte par un plan vertical passant par son centre de gravité, au point où z est nul. Je donne aux

deux fractions t et r? deux signes contraires, parce que la surface est

concave vers le centre de gravité dans le sens horizontal et convexe vers ce point dans le sens vertical.

Si l'on néglige l'action de la pesanteur g, comme nous l'avons fait dans le numéro précédent, l'équation précédente donnera, en la multipliant par udu et en l'intégrant,

dû «2 ni =r: COnSl. r 4-

^22 " ' ib >.b'

'^- du^

OEiivres de L. — \\. ^ 49

Pour déterminer la constante, nous observerons que, z étant nul, on a

-r- infini et m = b'; on aura donc

et par conséquent

Soit

on aura

consl.

rb''

dz du

1 dz-^

L'intégrale de cette équation différentielle dépend de la rectification des sections coniques. En intégrant, on aura z en fonction de u. Soit 2h la distance des deux plans entre lesquels la goutte est comprise, et nommons/ la valeur extrême de m, h étant la valeur extrême de z; l'intégrale précédente donnera h en fonction de/, b et b'. Si l'on nomme ensuite, comme précédemment, 0' le complément de l'angle que le côté extrême de la section verticale forme avec le plan horizontal, on aura à

. ^ dz COS0' 1 ce point T- = . ai'i donc ' du sinô'

cose' ^U

en substituant dans le second membre de cette équation /pour m, d'où l'on tire

ces 9'= '' -'- - — '

fb ib^ -xb' ' 2/6'

Si l'on substitue dans l'expression de h en fonction de /, b et b' , au lieu de/, sa valeur tirée de cette dernière équation, on aura une équation entre A, b et b\ d'où l'on tirera b en fonction de h et de b' .

Si l'on suppose h' considérablement plus grand que A, c'est-à-dire si l'on suppose l'épaisseur de la goutte fort petite par rapporta sa largeur, comme on l'a fait dans le numéro précédent, on peut alors déterminera par une approximation convergente. Pour cela, soit

et faisons

u' sera fort petit relativement à b'y et l'on aura

Soit encore

m" 2 / If "'

m'2 on aura, en négligeant les quantités de l'ordre -y,

ce qui donne

Soit

^ = h"ii-^~\ w"=B(i-cos9.);

on aura, à très-peu près,

dz = b"d9(cos9 r-/ -! n cos20 ,

\ 10 ib j

ce qui donne, en intégrant et en observant que z est nul avec m" et par conséquent avec 6,

[a] z=:6"sin0 j-, B -\- -rr,'&\x\i

^ ' ib ^b

Nommons h la valeur extrême de z, et désignons par 6" la valeur cor-

respondante de 6; nous aurons

\ ib' smQ nb' )

d'où l'on tire, à fort peu près,

I sin9" / h B" h cosB"'

V 26' sin^B" "^26' sinô'7

On déterminera G" au moyen de l'angle 6', complément de l'inclinaison

des côtés extrêmes de la courbe sur les deux plans. Aux points extrêmes

de la courbe on a

dz cosO' u

du' ~ sin I

r I — ÂSi

- étant ici la valeur extrême de cette fonction. Cette valeur est donc u

égale à cosô'. On a ensuite à ces points, par ce qui précède,

«"=B{i-cos0"),

d'où il est facile de conclure

b" r=B'- p-sinô';

on aura donc ainsi

'^l(i- A. ^' A cos B' \ V -i-b' sin2 0' 26' sinô'j

I smi

j__ sing' Q b" ~ h F' en faisant

Q = — t-^, +icosô'.

^ 1 sin B' ^

Dans le cas de 6' égal à un angle droit ou à -» Q devient égal à y-

Considérons maintenant une goutte fluide suspendue en équilibre entre deux plans qui se touchent par deux de leurs bords supposés horizontaux. Soit ivs le très-petit angle formé par ces plans, et, ayant mené un plan intermédiaire qui divise cet angle en deux parties égales, soit V l'inclinaison de ce plan à l'horizon. La section de la surface de la goutte par le plan intermédiaire sera à très-peu près un cercle si, comme nous venons de le supposer, la largeur de la goutte est considérable par rapport à son épaisseur. Concevons par un point quelconque de cette section et par le milieu de la goutte un plan perpendiculaire au plan intermédiaire; la section de la surface fluide par ce plan aura à très-peu près pour équation l'équation [a). Menons dans le plan intermédiaire et par le centre de la goutte une perpendiculaire à la ligne d'intersection des deux plans qui comprennent la goutte. Par ce même centre, menons une parallèle à cette ligne d'intersection. Prenons ces deux droites pour les axes des coordonnées x ei y d'un point quelconque de la section faite par le plan intermédiaire, l'origine des coordonnées étant supposée au centre de la goutte. Enfin désignons par a la distance du centre de la goutte à la ligne d'intersection des plans et par 2ot la largeur de la goutte. La distance du point de la section à cette ligne sera a — x, et il est facile de voir que l'on aura, à fort peu près,

ïtoc

h = (a — X lang40' ) langw.

ce qui donne

1+ -langi0' langTO , , .,

I « "^ " I ^ (, , «lang40 tangcT

7i (a — o^jlangcï ~ a langer a'-tanguj

Si l'on imagine un canal dont les deux extrémités soient au point de la section déterminé par les coordonnées x et y et au point de la section par lequel l'axe des j passe, l'équilibre du fluide dans ce canal donnera l'équation

en marquant d'un trait en bas les quantités relatives à ce dernier point.

Mais on a, par ce qui précède,

sinÔ'

sinO'

~ lu

~ Il

h' étant ici le rayon osculateur de la courbe que forme la section de la goutte par le plan intermédiaire. De plus,

II ^ ( «tangi^'lansci^

Â~alangGj a* tangnr \ a

Ai atangro' on aura donc

H^sinô' / alang^ô' langniX QH / i

na'^ langGT

/ a langue' langniX QH / i i\ . ,,

La section différant peu d'un cercle, b' est à peu près égal à la demilargeur a de la goutte ; 6" est, par ce qui précède, égal à peu près à -^^7» et h est la demi-épaisseur de la goutte; b' est donc fort considérable relativement à b'\ et, par conséquent, -n est très-petit par rapport k o; la différence -n — jr peut donc être négligée, eu égard à jr, — T>r- Cela est d'autant plus permis que, è', tenant le milieu entre les valeurs extrêmes de b', la plus grande valeur de la différence -n— y "'^^^ qu'environ la moitié de la différence des valeurs extrêmes de y>' D'ailleurs, la figure de la goutte étant à fort peu près circulaire, comme l'expérience elle-même l'indique, la différence t7 — rr est presque insensible. On peut encore, dans l'équation précédente, négliger la frac-

.. rtlang^ô' langer • ^ • i i. •-' ♦ '* *

tion ^!^^ ^^— vis-a-vis de 1 unité, parce que, satangtj étant

l'épaisseur de la goutte dont la largeur est 2a, cette fraction est le rapport de l'épaisseur de la goutte à sa largeur, rapport qui, par la

supposition, est très-petit. Cela posé, l'équation précédente donnera

H sin Q'

sinV =

"ia-g-tangcT

Ainsi l'angle V est, à fort peu près, en raison inverse du carré de a, comme pour une goutte suspendue en équilibre dans un cône. En comparant cette expression de sinV à celle du numéro précédent, on voit que, l'angle formé par les deux plans étant supposé égal à l'angle formé par l'axe du cône et ses côtés, le sinus de l'angle V relatif au plan intermédiaire est égal au sinus de l'inclinaison relative à l'axe du cône. Au reste, on ne doit pas oublier, dans la comparaison de l'analyse précédente avec l'expérience, que ces expressions de sinV ne sont qu'approchées.

11. L'analyse précédente donne l'explication et la mesure d'un phénomène singulier que présente l'expérience. Soit que le fluide s'abaisse ou s'élève entre deux plans verticaux et parallèles plongeant dans ce fluide par leurs extrémités inférieures, les plans tendent à se rapprocher. Ainsi deux petits vases de verre, de forme parallélépipède, nageant sur l'eau ou sur le mercure, se réunissent lorsqu'ils approchent très-près l'un de l'autre. Pour faire voir que cela doit être, considérons les deux plans MB et NR (fig. 6), et supposons d'abord que le fluide

FisT. 6. . ^.

s'élève entre eux. La partie infiniment petite, extérieure en R, au-dessous du niveau, sera pressée par une force que l'on peut évaluer ainsi.

Concevons un canal VSR dont la branche VS soit verticale et la branche SR horizontale. La force dont le fluide est animé dans le canal VS est égale à ^.VS, plus à la force qui agit en V, soit par l'action du fluide sur le canal, soit par la pression de l'atmosphère. La première de ces deux forces est représentée par K; nommons P la seconde ; la force totale de la colonne VS sera donc P -i-Kh-^.VS. L'action dont le fluide du canal RS est animé est égale : i° à l'action du fluide sur ce canal, et cette action est égale à K; 2" à l'action du plan sur le même canal. Mais cette action est détruite par l'attraction du fluide sur le plan, et il ne peut en résulter dans le plan aucune tendance à se mouvoir; car, en ne considérant que ces attractions réciproques, le fluide et le plan seraient en repos, l'action étant égale et contraire à la réaction ; ces attractions ne peuvent produire qu'une adhérence du plan au fluide, et l'on peut ici en faire abstraction. Il suit de là que le fluide presse le point R avec une force égale à P h- K -f- ^.VS — K, ou simplement P -h ^.VS.

Déterminons la pression intérieure correspondante. Pour cela, concevons le canal OQR dont la branche OQ soit verticale et la branche QR horizontale. La force dont le fluide est animé dans la branche OQ est égale à ^.00, plus k la pression P de l'atmosphère, plus à la force avec laquelle le fluide agit sur la colonne OQ, et qui, par ce qui précède,

est égale à K ^- La force dont le fluide OQ est animé est donc

P + K r + ^-OQ. Or on a, par ce qui précède,

donc la force du canal OQ est P + K H- ^.PQ. La force du canal QR est égale à K; le point R sera donc pressé à l'intérieur par la diff'érence de ces forces, ou par P -h ^.PQ ou P -f- ^.VS. Ainsi le plan est également pressé à l'intérieur et à l'extérieur, et il sera en équilibre en vertu de ces pressions.

Le fluide à l'extérieur s'élève jusqu'en Z, en formant une courbe VZ'Z, et dans l'intérieur, il s'élève jusqu'en N, en formant la courbe ON'N. Les parties du plan extrêmement voisines de Z et de N, et semblable-

ment placées à une distance de Z et de N égale ou moindre que le rayon de la sphère d'activité sensible du plan, sont également pressées à l'intérieur et à l'extérieur, parce que les surfaces du fluide comprises dans cette sphère vers Z et vers N sont les mêmes à très-peu près. D'ailleurs, la différence extrêmement petite qui peut en résulter entre les pressions intérieure et extérieure du fluide n'ayant lieu que dans une étendue insensible , on peut la négliger et ne considérer que la pression exercée par le fluide aux points où l'action du plan sur la surface cesse d'être sensible. Soit donc 11 un des points de cette surface,

et concevons un canal horizontal Tlq. La force en Z' sera P -+- K jr»

R étant le rayon osculateur de la surface en Z'. Si l'on fait Z'T = x, l'équilibre du fluide dans le canal Z'LFV donnera, par le n° 8,

le point V étant placé à une distance du plan telle que le rayon osculateur de la surface en V peut être censé infini. La pression extérieure en

q sera donc

P + K — gx.

La pression intérieure correspondante sera

ou P + K -- gx; les pressions sont donc égales à l'intérieur et à l'extérieur dans toute l'étendue ZG.

Considérons maintenant la pression au-dessus du point Z. La pression extérieure se réduit à P. La pression intérieure sur un point R' se déterminera eji considérant un canal OQ'R', Q'R' étant horizontal. La pression de la colonne OQ' est P + K— -^ +^.0Q', ou P+ K— ^.OP+^.OQ',

ou enfin P -i-K — ^.PQ'. La pression contraire du canal R'Q' est K; le point R' est donc pressé à l'intérieur par la force P — ^.PQ'; ainsi le plan à ce point est pressé du dehors au dedans par la force ^.PQ'.

Dans la partie NKO, la pression en N' est P -!- K p, h' étant le

OEuvres de L.— IV.

rayon osculateur en N'; ainsi, en concevant le canal horizontal N'p', la

pression en p' sera P jp- Soit x' la hauteur du point N' au-dessus

de IK; on aura, par le n° 8,

le plan sera donc pressé en p' du dehors en dedans par la force g.p'G.

De là il est facile de conclure que la force qui presse le plan NR du dehors en dedans est égale à la pression d'une colonne de fluide dont la hauteur est ^(NG + GZ) et dont la base est la partie du plan mouillée à l'intérieur depuis Z jusqu'en N.

Un résultat semblable a lieu pour le plan MB; on a donc ainsi la force avec laquelle les deux plans tendent à se rapprocher, et l'on voit que cette force croît à très-peu près en raison inverse du carré de leur distance mutuelle lorsque les plans sont très-rapprochés.

Dans le vide, les deux plans tendraient encore à se rapprocher, l'adhérence du plan au fluide produisant alors le même eff'et que la pression de l'atmosphère.

On prouvera de la même manière que, dans le cas de l'abaissement du fluide entre les plans, la pression que chaque plan éprouve du dehors en dedans est égale à la pression d'une colonne fluide dont la hauteur serait la moitié de la somme des abaissements, au-dessous du niveau, des points de contact des surfaces intérieure et extérieure du fluide avec le plan, et dont la base serait la partie du plan comprise entre les deux lignes horizontales menées par ces points.

12. Il nous reste, pour compléter cette théorie des attractions capillaires, à examiner ce qui détermine la concavité ou la convexité du fluide renfermé dans un tube ou entre deux plans. La principale cause est l'attraction réciproque du tube et du fluide, comparée à l'action du fluide sur lui-même. Nous supposerons ici que ces attractions suivent la même loi des distances, tant pour les molécules du tube que pour

celles du fluide et qu'elles ne différent que par leur intensité à la même distance. Soient donc p et p' ces intensités. Cela posé , considérons {^g. 7) le tube vertical ABCD plongeant dans un vase rempli de fluide, et que MN soit la ligne de niveau du fluide du vase. Supposons que, dans le tube, toute la surface du fluide soit plane et au même niveau. Le

Fig. 7.

point 0 de cette surface, compris dans la sphère d'activité sensible du tube, sera à la fois attiré par le tube et par le fluide qu'il renferme. L'attraction, sur ce point, de la partie du tube inférieure à MN se décomposera en deux : l'une verticale, que nous désignerons par px;' l'autre horizontale et dirigée vers/?, que nous désignerons par pj. L'attraction de la partie supérieure du tube sur le même point se décomposera pareillement dans une force verticale — ^x et dans une force horizontale p/. Je donne à la première force le signe —, parce qu'elle agit en sens contraire de la force verticale pa?, produite par l'attraction de la partie inférieure du tube. Pour déterminer l'action du fluide sur le point 0, prenons Op' égal à 0/?; il est clair que l'attraction de la partie />/?VD du fluide sur ce point sera verticale; nous la désignerons par p'^. L'attraction de la partie rp'gC du fluide ne diff'érera de l'attraction de la partie inférieure du tube que par son intensité; elle se décomposera donc en deux forces: l'une verticale, égale à p'a7, et l'autre horizontale, mais dirigée de 0 vers/?' et égale à — p'j. Ainsi le point 0 sera animé par les forces verticales

px, —px, p'z, px,

et par les forces horizontales

pr> pr> -p'r-

Les premières donnent la force verticale unique ^'oo -h p'^; les secondes donnent la force horizontale unique (2p — p')j. Cette force sera nulle si p'= 2p ou si l'intensité de la force attractive de la matière du tube est la moitié de celle du fluide. Alors le point 0 ne sera soumis qu'à la force verticale, qui, étant perpendiculaire à la surface, maintiendra le fluide en équilibre.

Considérons maintenant un plan vertical CAB {/ig. 8), plongeant dans un vase MNB rempli du fluide. Soit AR la section de la surface

Fig. 8.

de ce fluide par un plan vertical perpendiculaire au premier. Soit encore AD une tangente à la courbe AR. Nommons 0 l'angle BAD; nommons pK l'action que la partie inférieure AB du plan CAB exerce sur la molécule fluide qui le touche en A, perpendiculairement à AB; pK sera pareillement la force avec laquelle cette partie du plan attire la molécule A suivant AB. Cette molécule sera pareillement attirée par la partie supérieure du plan, avec une force égale à pK perpendiculaire à ce plan et avec une force — pK parallèle au même plan. Cette molécule sera encore attirée par le fluide BAD, et il est facile de voir que, p'K représentant l'attraction verticale du fluide si l'angle BAD était

droit, son attraction verticale, lorsque cet angle est 6, sera p'KsinG, et son attraction horizontale sera p'K(i— cosO). En effet, p'Kd/ÔcosG et p'Kc^Gsinô seront les attractions élémentaires de la partie infiniment petite/? AD, dans laquelle c?ô représente l'angle/? AD. En les intégrant depuis 0 = 0, on aura les expressions précédentes.

La partie du fluide interceptée entre la tangente AD et la courbe AR* agira sur la molécule A avec une force que nous désignerons par Q et dont nous supposerons que AQ soit la direction. Soit donc u l'angle QAB; l'attraction verticale du fluide DAR sera Qcoscj et son attraction horizontale sera Qsincy. Ainsi la molécule A sera animée par les forces verticales

pK, — pK, p'Ksin^, Qcosct,

et par les forces horizontales

pK, pK, — p'K(i — cos9), — QsincT.

J'affecte ces deux dernières du signe —, parce qu'elles agissent de A vers N ou en sens contraire des deux premières forces horizontales.

La réunion de toutes ces forces produit une force unique AV, qui doit être perpendiculaire à AD. Soit R cette résultante. En la décomposant en deux, l'une verticale et l'autre horizontale, on aura

R sin 0 = p' K sin Ô H- Q ces m,

Rcos0= 2pK — p'K-hp'Kcos9 — Qsincr,

d'où l'on tire

Qcos(cj — 9)={ip~p')Ksin9.

Qcos(t7 — 0) et sinO étant positifs dans le cas où la courbe est concave, on voit que 2p — p' doit être positif et que p doit alers surpasser ^p'.

Si le facteur 2p — p' est nul, on vient de voir que la surface du fluide est horizontale, ce qui satisfait à l'équation précédente, car alors Q est nul.

Les courbes AR, relatives aux divers fluides remplissanj; successive-

ment un même tube, sont différentes entre elles. Pour le faire voir, considérons un point I placé dans toutes ces courbes à la même distance du tube et dans sa sphère d'activité sensible ; l'action du tube sur ce point sera la même et horizontale. Si toutes ces courbes étaient les mêmes, l'action des fluides sur le point I aurait la même direction; mais elle varierait d'un fluide à l'autre à raison de l'intensité respective de l'action de ces fluides. Cette action, en se composant avec l'action horizontale du tube, produirait donc une action résultante dont la direction serait différente dans les divers fluides. Cette résultante doit être, par la condition de l'équilibre, perpendiculaire à la surface; l'inclinaison des plans de cette surface ne serait donc pas la même pour les divers fluides, ce qui est contre l'hypothèse. Ainsi les courbes AR diftèrent suivant le rapport des intensités respectives p et p'. Leurs côtés extrêmes, à la limite de la sphère d'activité sensible du tube, ont des inclinaisons différentes relativement aux parois du tube. Cette inclinaison détermine, comme on l'a vu, la grandeur du segment de la surface sphérique qu'affecte la surface du fluide dans les tubes très-étroits, au delà de la sphère d'activité sensible du tube, et cette grandeur détermine le rayon de cette surface, dont le rapport inverse détermine l'ascension du fluide dans le tube.

A mesure que le rapport de p à p' augmente, la courbe AR devient de plus en plus concave, et, lorsque p est égal à p', la surface du fluide dans le tube est une demi-sphère. Pour le faire voir, imaginons [fig- 9) que le tube soit de même matière que le fluide et que sa surface ABC soit une demi-sphère. Formons la surface sphérique entière ABCS et supposons que le fluide remplit la partie supérieure RASC du tube. En faisant abstraction de la pesanteur, comme on peut le faire dans les tubes très-étroits, il est visible que, à cause de l'homogénéité de la matière du tube et de celle du fluide, tous les points de la surface concave ABC seront animés, en vertu des attraction du tube et du fluide, par des forces égales et perpendiculaires à la surface, ce qui suffit pour l'équilibre du fluide. Maintenant, si l'on supprime le fluide supérieur RASC, il ne peut en résulter qu'un changement insen-

sible dans les forces qui sollicitent les divers points de la surface ABC et dans la direction de ces forces; car, AR étant tangent à la surface sphérique, il est facile de voir que l'action de la partie RAS du fluide sur le point A est incomparablement plus petite que l'action du tube sur ce point lorsque l'attraction devient insensible à des distances sensibles; l'équilibre du fluide inférieur ABCNM ne sera donc point altéré par la suppression du fluide supérieur RASG, d'où il suit que la surface du fluide est une demi-sphère lorsque p est égal à p'.

Si l'intensité de l'attraction du tube sur le fluide surpasse celle de l'attraction du fluide sur lui-même, il me paraît vraisemblable qu'alors le fluide, en s'attachant au tube, forme un tube intérieur qui seul élève le fluide, dont la surface devient ainsi concave et celle d'une demi-sphère. Je conjecture que ce cas est celui de l'eau et des huiles dans un tube de verre.

Considérons maintenant le cas où la surface du fluide, au lieu d'être concave, est convexe. Soient [fig. lo), BAC un plan vertical qui plonge dans un vase rempli de ce fluide, et AR la section de la surface du fluide par un plan perpendiculaire au premier. Soit AD une tangente à la courbe AR, et nommons Ô l'angle BAD. L'attraction verticale du fluide DAN .sur le point A sera, par ce qui précède, — p'K(i — sin8) du haut en bas, et l'attraction horizontale sera p'KcosOdeA vers N.

Pour avoir l'attraction du fluide RAN, il faut retrancher des attractions précédentes celles du segment DAR. Soient Q l'action de ce segment sur le point A et AQ sa direction. Soit vs l'angle BAQ. L'attraction verticale

du segment sera — Qcoscr, et son attraction horizontale sera Qsincr. Ainsi l'attraction verticale de RAN sera

QcoscT — p'K(i — sinô),

et son attraction horizontale sera

p'KcosÇ — Qsincj.

L'attraction verticale du fluide NAC sera p'K, ainsi que son attraction horizontale. Enfin l'attraction verticale du plan BAC sera nulle, et son attraction horizontale sera — 2pK. Le fluide sera donc animé par la

force verticale

p'K + QcossT— p'K(i — sin0)

et par la force horizontale

p'K— 2pK — Qsinnr + p'K cos5.

Soit AV la résultante de ces forces et nommons-la R; cette résultante étant perpendiculaire à AD, on aura

R sm6 = p'K-}- QcosGT — p'K(i — sin0), Reosô ~ (p'— ^pjK H-p'Kcos0 — Qsinnr,

d'où l'on tire

( p' — a p ) K sin 9 = Q cos [w — 0);

sin9, Q et cos(cj — G) étant positifs lorsque la courbe AR est convexe, le facteur p'— 2p doit être positif ou l'intensité p doit être moindre que ^p'.

Si l'on rapproche ce résultat du précédent, on voit que la surface du fluide dans un tube sera concave ou convexe, suivant que p sera plus grand ou moindre que ^p'.

Le tube étant capillaire, la surface approchera d'autant plus de celle d'une demi-sphère convexe que p sera plus petit, et, si p est nul ou insensible, cette surface sera celle d'une demi-sphère. En effet, supposons alors que cette surface ASC soit celle d'une demi-sphère (j%. 9). En la continuant au-dessous de A, on formera une sphère ASCB. En supprimant par la pensée le fluide ABCNM et faisant abstraction de la pesanteur, il est visible que tous les points de la surface ASC seront animés par des forces égales et perpendiculaires à cette surface; le fluide sera donc en équilibre. Rétablissons maintenant le fluide supprimé; il est facile de voir que, AM étant tangent à la sphère, l'action du fluide MAB sur le point A sera incomparablement plus petite que l'action de la sphère sur ce point; on peut donc la négliger, et, à plus forte raison, on peut négliger l'action du même fluide sur les autres points de la surface ASC; l'équilibre a donc lieu alors lorsque la surface convexe du fluide est celle d'une demi-sphère. Entre les limites p = o et p = Jp', la surface devient de moins en moins convexe. Elle est horizontale lorsque p = |p'; lorsqu'il surpasse {p', la surface devient de plus en plus concave, et enfin elle est celle d'une demi-sphère lorsque

Œupres de L. — IV. 5l