VALEURS OBSERVÉES

de V,

en degros sexagésimaux.

VALEURS CALCULEES

par la formule prccédento.

DIFIERENCE

delà valeur calculée

à la valeur observée,

en parlies aliquotes

do cette dernière valeur.

Les valeurs calculées de V s'accordent avec les valeurs observées aussi bien qu'on doit l'attendre d'une formule qui n'est qu'approchée et d'observations dans lesquelles les fractions de { de degré n'étaient qu'estimées. C'est vers les limites de la plus petite et de la plus grande

OEuvrcs de L.— IV.

4iO MÉCANIQUE CÉLESTE.

distance de la goutte à la ligne d'intersection des plans que les différences sont les plus considérables, et il est visible, par l'analyse du n° 10, que cela doit être, parce que dans la plus grande distance la goutte n'a pas encore assez de largeur relativement à son épaisseur, et dans la plus petite distance sa largeur a un trop grand rapport à sa distance de la ligne d'intersection.

C'est à cette expérience d'Hawksbee que se rapporte le passage suivant de Newton dans son Optique (Question 31 ) : « Si l'on prend deux plaques de verre planes et polies de 3 ou 4 pouces de large et de 20 ou 23 pouces de long, qu'on les couche, l'une parallèle à l'horizon et l'autre sur celle-là, de telle manière qu'en se touchant par une de leurs extrémités elles forment un angle d'environ 10 ou 1 5 minutes; qu'auparavant on ait mouillé leurs plans intérieurs avec un linge net trempé dans de l'huile d'orange ou dans de l'esprit de térébenthine, et qu'on ait fait tomber une ou deux gouttes de cette huile ou de cet esprit sur l'extrémité du verre inférieur la plus éloignée de l'angle susdit; aussitôt que la plaque supérieure aura été placée sur l'inférieure, de sorte que (comme on vient de le dire) elle la touche par un bout et qu'elle touche la goutte par l'autre bout, les deux plaques faisant un angle d'environ 10 ou i5 minutes, dès lors la goutte commencera de se mouvoir vers les deux plaques de verre et continuera à se mouvoir d'un mouvement accéléré jusqu'à ce qu'elle y soit parvenue; car les deux verres attirent la goutte et la font courir du côté vers lequel les attractions inclinent. Et si, dans le temps que la goutte est en mouvement, vous levez en haut l'extrémité des verres par où ils se touchent et vers où la goutte s'avance, la goutte montera entre les deux verres, et, par conséquent, elle est attirée. A mesure que vous lèverez plus haut cette extrémité des verres, la goutte montera toujours plus lentement, et, s'arrêtant enfin, elle sera autant entraînée en bas par son propre poids qu'elle était emportée en haut par attraction. Par ce moyen, vous pouvez connaître par quel degré de force la goutte est attirée à toutes les distances du concours des verres.

» Or, par quelques expériences de ce genre, faites par feu M. Hawks-

SUPPLÉMENT AU LIVRE X. Ml

bee, on a trouvé que l'attraction est presque réciproquement en raison doublée de la distance du milieu de la goutte au concours des verres, savoir, réciproquement en proportion simple, à raison de ce que la goutte se répand davantage et touche chaque verre par une plus grande surface, et encore réciproquement en proportion simple, à raison de ce que les attractions deviennent plus fortes, la quantité des surfaces restant la même. Donc l'attraction qui se fait dans la même quantité de surface attirante est réciproquement comme la distance entre les verres, et, par conséquent, où la distance est excessivement petite l'attraction doit être excessivement grande. »

Les explications que Newton donne des phénomènes capillaires, dans ce passage et dans celui que nous avons précédemment rapporté, sont bien propres à faire ressortir les avantages de la théorie mathématique et précise exposée dans la première Section.

15. On a vu que l'eau s'élève dans un tube capillaire par l'effet de la concavité de sa surface intérieure. L'effet de la convexité des surfaces devient sensible dans les expériences suivantes.

Si l'on enfonce dans l'eau à une petite profondeur un tube capillaire; qu'ensuite, ayant fermé avec le doigt l'extrémité inférieure du tube, on le retire de l'eau, en ôtant le doigt on voit le fluide s'abaisser dans le tube et former une goutte d'eau à sa base inférieure. Mais, lorsqu'il a cessé de descendre, la hauteur de la colonne reste toujours plus grande que l'élévation de l'eau dans le tube au-dessus du niveau lorsqu'il était plongé dans ce fluide. Cet excès est dû à l'action de la goutte d'eau sur la colonne; car il est visible que, dans cette expérience, la concavité de la surface intérieure de la colonne et la convexité de sa surface extérieure au tube, et qui est celle de la goutte elle-même, contribuent à élever l'eau dans le tube.

ABC [fig. 1 1) est un tube capillaire recourbé dont les branches sont d'inégale longueur. En le plongeant verticalement dans l'eau de manière que sa branche la plus courte AB y soit entièrement plongée, l'eau s'élèvera dans la branche BG au-dessus du niveau, à une hauteur

que nous représenterons par FG. En retirant le tube de l'eau, il se forme à l'extrémité A une goutte ANO, et, lorsque le fluide est stationnaire dans le tube, on observe que, en menant par le sommet N de la goutte l'horizontale NI', la hauteur TC de l'eau dans la plus longue

Fig. II.

branche surpasse FG. Si avec le doigt on ôte successivement les gouttes qui se forment en A, cette hauteur diminue graduellement, et, lorsque l'on est ainsi parvenu à rendre la surface de l'eau à ce point plane et horizontale, alors l'élévation de l'eau dans la branche BC, au-dessus de l'horizontale AI, est égale à FG. Enfin, si l'on restitue successivement de nouvelles gouttes d'eau à l'extrémité A, la surface de l'eau à cette extrémité redevient convexe et le fluide s'élève de plus en plus dans la branche BC, en sorte que les phénomènes précédents se reproduisent dans un ordre inverse. L'excès de la hauteur de la colonne dans la branche BC sur la hauteur FG paraît, dans ces expériences, répondre à la convexité de la surface ANO; il faudrait, pour s'assurer de l'exacte correspondance, mesurer la largeur et la flèche de cette surface. Mais la grande difficulté de ces mesures n'a pas permis de les faire. L'effet d'une surface plus ou moins convexe est encore sensible dans l'expérience suivante. ABC [fig- 12) est un siphon capillaire qui renferme une colonne ABC de mercure. On incline le tube du côté A ; le mercure alors parvient jusqu'en A' dans la branche AB et se retire jusqu'en C dans la branche BC. En relevant lentement le tube, le mercure de la branche AB revient vers A, tandis que celui de la branche BC revient vers C. On observe alors que la surface du mercure dans la

branche AB est moins convexe que celle du mercure dans la branche BC, et, si par le sommet de la première de ces deux surfaces on conçoit un plan horizontal, le sommet de la seconde surface est au-dessous de ce plan. Cette différence dans la convexité des deux surfaces tient au

Fig. 12.

frottement du mercure contre les parois du tube; les parties de la surface dans la branche AB qui se retirent vers A et qui touchent le tube sont un peu arrêtées par ce frottement, tandis que les parties du milieu de cette surface n'éprouvent point le même obstacle, et de là doit résulter une surface moins convexe, au lieu que le même frottement doit produire un effet contraire sur la surface du mercure de la branche BC. Or, de ce que la première de ces surfaces est moins convexe que la seconde il en résulte que le mercure éprouve, par son action sur lui-même, une moindre pression dans la branche BA que dans la branche BC, et qu'ainsi sa hauteur dans la première de ces deux branches doit surpasser un peu sa hauteur dans la seconde, ce qui est conforme à l'expérience. Un effet semblable s'observe dans un baromètre lorsqu'il monte ou lorsqu'il descend.

16. Les siphons capillaires offrent quelques phénomènes qui sont encore un résultat de la théorie. Ils peuvent être ramenés à ce phénomène général donné par l'expérience. Si l'on plonge dans un vase d'eau un siphon quelconque ABC [fig, i3) dont les deux branches soient d'égale ou d'inégale largeur, et qu'ensuite on le retire, l'eau ne s'écoulera pas de la branche la plus longue BC si la différence des deux

branches du siphon est moindre que la hauteur FG à laquelle le fluide s'élèverait dans un tube de même largeur que celle de la branche AB. Pour faire voir que ce résultat est une suite de notre théorie, supposons que le fluide, en s'écoulant par la branche C, ait pris la posi-

tion oiaBC, le point a étant très-voisin de l'extrémité A. Soit alors q la hauteur de B au-dessus de la surface aio; la pression que le fluide éprouve en i milieu de la surface aio sera égale : i° à la pression de l'atmosphère, que nous désignerons par P; 2° à l'action du fluide sur luimême, et qui est égale à K — ^.FG, g étant la pesanteur; 3° à la pression de la colonne q, prise avec le signe —, ou à — gq. Ainsi un canal infiniment étroit, passant en i par l'axe du siphon, sera pressé de bas

en haut par la force

P + K-g-.FG-g-g.

q' étant la hauteur du point B au-dessus du point C, le fluide au point C sera pareillement pressé de bas en haut par la force V -\-K — gq' si la surface du fluide est plane en C, ou par une force plus grande si cette surface est convexe, et l'un ou l'autre de ces deux cas doit avoir lieu pour que le fluide coule en C ou tende à couler. Dans cette supposition, cette seconde force doit être moindre que la précédente; la différence

doit être une quantité positive, et, par conséquent, l'excès q' — q de la branche la plus longue sur la plus courte doit être égal ou plus grand que FG, ce qui est le résultat même de l'expérience.

En général, si l'on compare à notre théorie les divers phénomènes capillaires observés avec soin par les physiciens, on verra qu'ils en sont autant de corollaires.

17. Il nous reste présentement à rapporter les expériences que l'on a faites pour déterminer la concavité ou la convexité des surfaces des fluides dans les tubes capillaires. Les physiciens n'ayant jusqu'ici considéré la courbure des surfaces que comme un effet secondaire et non comme la cause principale des phénomènes capillaires, ils se sont peu occupés de la déterminer. MM. Haûy et Trémery ont bien voulu, à ma prière, déterminer celle de la surface de l'eau. Ils ont introduit dans un tube AB [fig. i4)» de i millimètres de diamètre intérieur, une colonne d'eau MmnN, et, après avoir fermé le tube à ses deux extrémités,

Fig. 14.

ils l'ont tenu verticalement et ils ont mesuré avec beaucoup de soin les deux longueurs Mm et h', I et i étant les points les plus bas des deux surfaces MIN et min. La différence Mm — h" leur a donné la somme des deux flèches IP et ip^ et ils ont trouvé cette somme égale à 5tMN. Suivant l'analyse du n° 5 , cette somme serait égale à MN si l'angle que nous avons désigné par 6' dans ce numéro était un angle droit ou si les surfaces de l'eau étaient tangentes aux parois du tube. Mais on doit considérer qu'en les supposant tangentes on ne peut pas observer exactement les points de contingence. Ce que l'on a pris pour

il6 MÉCANIQUE CÉLESTE.

le point M est un point où la surface de l'eau commence à quitter sensiblement les parois du tube, et il est facile de s'assurer que, pour trouver IP -h ip — f^MN, il suffit d'avoir pris pour M et m des points qui ne s'écartent du tube que de o™"", 0226, ce qui n'est point invraisemblable. L'expérience précédente paraît donc indiquer que l'angle 0' est droit, pour l'eau relativement au verre; une expérience semblable faite sur l'huile d'orange conduit au même résultat. Ainsi l'on peut croire avec vraisemblance que les surfaces de l'eau, de l'huile et généralement des fluides qui mouillent le verre sont à très-peu près demi-sphériques dans les tubes capillaires.

En déterminant de la même manière la surface convexe du mercure dans un tube de verre très-étroit, on a observé qu'elle est à peu près celle d'une demi-sphère. Si l'on rapproche ce résultat de celui que nous avons donné ci-dessus sur l'abaissement du mercure au-dessous du niveau dans les tubes de verre très-étroits, on pourra corriger de l'effet de la capillarité les hauteurs du baromètre. Cet effet est nul dans les baromètres à deux branches d'égale largeur; mais, dans les baromètres formés d'un tube plongeant dans une large cuvette, l'effet capillaire devient d'autant plus sensible que le tube est plus étroit. La hauteur barométrique comptée du sommet de la colonne est toujours moindre que celle qui est due à la pression de l'atmosphère; ainsi l'on voit combien est fautive la méthode de quelques observateurs qui mesurent la hauteur du baromètre depuis le niveau jusqu'aux points où la surface supérieure de la colonne touche le tube. Pour ramener les hauteurs du baromètre à celles qui résultent delà pression de l'atmosphère et pour rendre ainsi les divers baromètres comparables entre eux, il faut corriger ces hauteurs de l'effet capillaire, et l'on y parviendra en intégrant par approximation l'équation différentielle {b) du n® 4. Cette équation donne, en l'intégrant,

H H du ^/T /• j

-r = ■ ^ I zu du,

b u I fhi u^^

u I dz-

les z étant ici comptés du haut en bas depuis le sommet de la surface

de la colonne. -^ est l'effet capillaire ou ce qu'il faut ajouter k la hauteur du baromètre pour avoir la hauteur due à la pression de l'atmosphère. On a, par ce qui précède,

,miu o J '

Soit / le demi-diamètre du tube évalué en millimètres. Aux points où w =: /, on a

dz du

dz^

= sinô';

la valeur de —r sera donc go

jmm „mm 333 ^

-^ j:Jzudu,

l'intégrale étant prise depuis m = o jusqu'à u = /.

Il faudrait connaître z en fonction de u pour avoir cette intégrale. On peut la déterminer par l'expérience, en observant que iT.^zuda est l'espace compris entre la surface du mercure à l'extrémité supérieure de la colonne, la surface du tube, et un plan horizontal mené par le sommet de la colonne, espace que l'on peut mesurer avec précision par le poids du mercure nécessaire pour le remplir. On pourra donc former, soit par l'Analyse, soit par l'expérience, une Table de correction de l'effet capillaire dans les baromètres, relative aux divers diamètres de leurs tubes. Cela suppose que ces tubes sont de la même nature; mais la différence entre leurs matières est peu considérable, et d'ailleurs, l'action des tubes sur le mercure devant être très-petite pour que la surface de ce fluide dans les tubes très-étroits soit à peu près celle d'une demi-sphère, cette difïérence ne peut pas avoir d'influence sensible sur les hauteurs du baromètre.

CEuvres de L. — IV. 53